2018-2019学年陕西省榆林市第二中学高二下学期期末考试数学（理)试题 解析版 16页

绝密★启用前 陕西省榆林市第二中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数的共轭复数所对应的点位于复平面的（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过化简，于是可得共轭复数，判断在第几象限即得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意得，所以共轭复数为，对应的点为 ‎，故在第三象限，答案为C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的概念，难度不大.‎ ‎2．若，则（　　）‎ A．2 B．4 C． D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过导数的定义，即得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意得，‎ ‎，故答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的定义，难度不大.‎ ‎3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（　　）‎ A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度 C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过命题否定即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎“三角形的内角中至少有一个不大于60度”的否定是“至多有0个小于60度”即“三内角都大于60度，故答案为B.‎ ‎”‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题的否定，难度不大.‎ ‎4．设则（ ）‎ A．都大于2 B．至少有一个大于2‎ C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由基本不等式，a，b都是正数可解得。‎ ‎【详解】‎ 由题a，b，c都是正数，根据基本不等式可得，‎ 若，，都小于2，则与不等式矛盾，因此，至少有一个不小于2；‎ 当，，都等于2时，选项A，B错误，都等于3时，选项D错误。选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式，此类题干中有多个互为倒数的项，一般都可以先用不等式求式子范围，再根据题目要求解题。‎ ‎5．若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（　　）‎ A．的虚部为 B．‎ C．为纯虚数 D．的共轭复数为 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到复数的代数形式，然后根据复数的有关概念对给出的四个结论分别进行分析、判断后可得正确的结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意得．‎ 对于A，由得复数的虚部为，所以A不正确．‎ 对于B，，所以B不正确．‎ 对于C，由于，所以为纯虚数，所以C正确．‎ 对于D，的共轭复数为，所以D不正确．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的有关概念，解题的关键是得到复数的代数形式和熟悉复数的相关概念，属于基础题．‎ ‎6．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ①假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也是真话，这与四人中只有一个人说的是正矛盾，所以假设不成立，故甲说的是假话；‎ ‎②假定乙说的是真话，则丁说“反正我没有责任”也为真话，这与四人中只有一个人说的是正矛盾，所以假设不成立，故乙说的是假话；‎ ‎③假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是正矛盾，所以假设不成立，故丙说的是假话；‎ 综上可得，丁说的真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，所以甲负主要责任，故选A.‎ ‎7．已知函数的图象如图，则与的关系是：（　　）‎ A． B．‎ C． D．不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过导数的几何意义结合图像即得答案.‎ ‎【详解】‎ 由于导数表示的几何意义是切线斜率，而由图可知，在A处的切线倾斜角小于在 B处切线倾斜角，且都在第二象限，故，答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义，比较基础.‎ ‎8．已知函数，则的值为（　　）‎ A． B．1 C． D．0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的导函数，代入即得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，，所以，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函的四则运算，比较基础.‎ ‎9．若函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过对比导函数图像和原函数图像，导函数为负，原函数递减，导函数为正，原函 数为增，于是可得答案.‎ ‎【详解】‎ 从导函数图像可看出，导函数先负再正再负，于是原函数先减再增再减，排除AD，再对比，函数极小值点为正，故答案为C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函数图像与原函数之间的关系，意在考查学生的图像识别能力，分析能力，难度不大.‎ ‎10．已知函数在处有极值10，则等于( )‎ A．1 B．2 C．—2 D．—1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎，‎ 函数 在处有极值为10，‎ ‎，解得．‎ 经检验知，符合题意．‎ ‎，‎ ‎．选B．‎ 点睛：‎ 由于导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，故在求出导函数的零点后还要判断在该零点两侧导函数的值的符号是否发生变化，然后才能作出判断．同样在已知函数的极值点求参数的值时，根据求得参数的值后应要进行检验，判断所求参数是否符合题意，最终作出取舍．‎ ‎11．由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（　　）‎ A． B．4 C． D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解析：作出曲线，直线y＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由得交点A(4，2)．‎ 因此与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为：‎ ‎.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．‎ ‎12．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．‎ 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为，第二行公差为，第三行公差为，第行公差为，第一行的第一个数为；第二行的第一个数列为；第三行的第一个数为；；第行的第一个数为，第行只有，故选B.‎ 考点：数列的综合应用.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到等差数列的概念与通项公式，等比数列的通项公式等知识点应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的转化与化归思想的应用，本题的解答中正确理解数表的结构，探究数表中数列的规律是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．与的大小关系为______.‎ ‎【答案】>‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将要比较大小的两数平方即可比较大小.‎ ‎【详解】‎ 要比较与的大小，‎ 只需比较与的大小，‎ 只需比较与的大小，‎ 只需比较与的大小，只需比较与的大小，∵，∴‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数的比较大小，属于基础题.‎ ‎14．若直线为曲线的一条切线，则实数的值是______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 设切点为，又，所以切点为（0,1）代入直线得b=1‎ ‎15．定积分的值为_____ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎16．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图可知，由勾股定理可得,利用等差数列的通项公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 根据图形，‎ 因为都是直角三角形，‎ ‎,‎ 是以1为首项，以1为公差的等差数列，‎ ‎，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．求曲线，，所围成图形的面积．‎ ‎【答案】平面图形的面积 ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：先确定交点坐标，可得积分区间，再利用定积分求面积即可；‎ 详解：由曲线，，可得的横坐标为1，由，可得的横坐标为3．‎ ‎∴所求面积为 ‎ 点睛：本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定积分区间与被积函数，属于中档题．‎ ‎18．已知函数，，若在处与直线相切．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求在上的极值．‎ ‎【答案】（1） （2）极大值为，无极小值．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，利用切线意义可列得方程组，于是可得答案；‎ ‎（2）利用导函数判断在上的单调性，于是可求得极值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎∵函数在处与直线相切，‎ ‎∴，即，解得；‎ ‎（2）由（1）得：，定义域为．‎ ‎，‎ 令，解得，令，得．‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴在上的极大值为，无极小值．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义，利用导函数求极值，意在考查学生的分析能力，转化能力和计算能力，比较基础.‎ ‎19．已知函数．‎ ‎（1）当，求函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，求函数的单调区间．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：（Ⅰ）由，求出函数的导数，分别求出，，即可求出切线方程；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论的范围，即可求出函数的单调区间 试题解析：（Ⅰ）当时，‎ ‎∴‎ ‎∴，；‎ ‎∴函教的图象在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）由题知，函数的定义域为，，‎ 令，解得，，‎ ‎①当时，所以，在区间和上；在区间上，‎ 故函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.‎ ‎②当时，恒成立，故函数的单调递增区间是.‎ ‎③当时，，在区间，和上；在上，‎ 故函数的单调递增区间是，，单调递减区间是 ‎④当时，，时，时，‎ 函数的单调递增区间是，单调递减区间是 ‎⑤当时，，函数的单调递增区间是，‎ 单调递减区间是，‎ 综上，①时函数的单调递增区间是和，单调递减区间是 ‎②时，函数的单调递增区间是 ‎③当时，函数的单调递增区间是，，单调递减区间是 ‎④当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是 点睛：确定单调区间的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；(4)确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.‎ ‎20．已知函数在处的切线的斜率为1．‎ ‎(1)求的值及的最大值；‎ ‎(2)用数学归纳法证明：‎ ‎【答案】（1）；（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导函数，利用即可求出的值，再利用导函数判断函数 的增减性，于是求得最大值；‎ ‎（2）①当，不等式成立；②假设当时，不等式成立；验证时，不等式成立即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）函数的定义域为．求导数，得．‎ 由已知，得，即，∴．‎ 此时，，‎ 当时，；当时，．‎ ‎∴当时，取得极大值，该极大值即为最大值，‎ ‎∴；‎ ‎（2）用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，左边，右边，∴左边＞右边，不等式成立．‎ ‎②假设当时，不等式成立，即．‎ 那么，‎ 由（1），知（，且）．‎ 令，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 即当时，不等式也成立．‎ 根据①②，可知不等式对任意都成立．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义，利用导函数求函数的最值，数学归纳法证明不等 式，意在考查学生的计算能力，分析能力，逻辑推理能力，难度较大.‎ ‎21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.‎ ‎(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎(2)若点坐标为，圆与直线交于两点，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由加减消元得直线的普通方程,由得圆的直角坐标方程；（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根据韦达定理可得结果 试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0‎ 又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；‎ ‎（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，‎ 得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0‎ 设t1，t2是上述方程的两实数根，‎ 所以t1+t2=3‎ 又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．‎ ‎22．已知，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由柯西不等式即可证明；‎ ‎（2）可先计算的最小值，再分，，三种情况讨论即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由柯西不等式得．‎ ‎∴，当且仅当时取等号．‎ ‎∴；‎ ‎（2），‎ 要使得不等式恒成立，即可转化为，‎ 当时，，可得，‎ 当时，，可得，‎ 当时，，可得，‎ ‎∴的取值范围为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查柯西不等式，均值不等式，绝对值不等式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力，分类讨论能力，难度中等.‎