河北省衡水中学2016届高三下学期一调考试（理）数学试题 14页

‎2015-2016学年度下学期高三年级一调考试 数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数，且有，则（ ）‎ A．5 B． C．3 D．‎ ‎2.已知全集，集合，那么集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎4.执行所示框图，若输入，则输出的等于（ ）‎ A．120 B．240 C．360 D．720‎ ‎5.某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲，乙，丙三所高校的自主招生考试，没人限报一所高校，若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（ ）‎ A．144种 B．150种 C．196种 D．256种 ‎6.在中，三边之比，则（ ）‎ A．1 B． 2 C．-3 D．‎ ‎8.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知和分别为数列与数列的前项和，且，则当取得最大值时，的值为（ ）‎ A．4 B．5 C．4或5 D．5或6‎ ‎11.在正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎12.已知函数，设函数，且函数的所有零点均在区间，则的最小值为（ ）‎ A．6 B．8 C．9 D．10‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知的展开式中（且）的系数为0，则 .‎ ‎14.设满足约束条件，若目标函数的最大值为1，则的最小值为 .‎ ‎15.在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的交点，则的离心率为 .‎ ‎16.在等腰梯形中，已知，动点和分别在线段和上，且，则的最小值为 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分12分）已知数列满足（为实数，且），，且成等差数列.‎ ⑴求的值和的通项公式；‎ ⑵设，求数列的前项和.‎ ‎18（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生体检表，并得到如图的频率分布直方图.‎ ⑴若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；‎ ⑵学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1-50名和951-1000名的学生进行调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；‎ ⑶在⑵中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1-50的学生人数为，求的分布列和数学期望.‎ 附：‎ ‎19.（本小题满分12分）如图，在中，是的中点，，将沿折起，使点与图中点重合.‎ ⑴求证：平面；‎ ⑵当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；‎ ⑶在⑵条件下，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为？证明你的结论.‎ ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形.‎ ⑴求椭圆的方程；‎ ⑵设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；‎ ⑶过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，探究是否过定点，并说明理由.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数.‎ ⑴当时，求函数在上的极值；‎ ⑵若，求证：当时，.‎ ‎（参考数据：）‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，圆与圆内切于点，其半径分别为3与2，圆的弦交圆于点（不在上），是圆的一条直径.‎ ⑴求的值；‎ ⑵若，求到弦的距离.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，设倾斜角为的直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点.‎ ⑴若，求线段中点的坐标；‎ ⑵若，其中，求直线的斜率.‎ ‎24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知，函数 ⑴求的值；‎ ⑵求的最小值.‎ 参考答案 一、 选择题 ‎1-5 BDACB 6-10 BBDBC 11-12 CD 二、填空题 ‎13. 2 14. 8 15. 16.‎ 三、 解答题 又因为，所以 由 当时，‎ 当时，‎ 所以数列的通项公式为;‎ ‎(2)由(1)，得、‎ 设数列的前项和为，则 上述两式相减，得 所以数列的前项和为 ‎18.(1)设各组的频率为 由图可知，第一组有3人，第二组有7人，第三组有27人，‎ 因为后四组的频数成等差数列 所以后四组频数依次为27,24,21,18‎ 所以视力在5.0以下的频率为 ‎0.03+0.07+0.27+0.24+0.21=0.82‎ 故全年级视力在5.0以下的人数约为；‎ ‎(2)‎ 因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；‎ ‎(3)依题意9人中年级名次在名和名的人数分别为3人和6人 所以可能的取值为0,1,2,3‎ ‎，，，‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎.‎ ‎19.(1) ，且是的中点 ‎，即 又平面 ‎(2)在平面内，作于点 则由(1)可知，又平面 即是三棱锥的高 又当与重合时，三棱锥的体积最大 过点作于点，连接 由(1)知，平面 平面，‎ 平面，‎ 所以即为二面角的平面角 在中，‎ ‎(3)存在，且为线段的中点，以为坐标原点，建立，如图所示的空间直角坐标系 设，‎ 又平面的一个法向量为 解得：‎ ‎20.(1)由已知可得 所以所求椭圆方程为；‎ ‎(2)设点的中点坐标为，即 由，得，代入上式，得；‎ ‎(3)若直线的斜率存在，设方程为，依题意 设，由 ‎，由已知 所以，即 所以 故直线的方程为 所以直线过定点；‎ 若直线的斜率存在，设方程为 设 由已知 此时方程为，显然过点 综上，直线过定点.‎ ‎21.(1) ‎ 在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以极小值为，无极大值；‎ ‎(2)构造函数 在区间上单调递增 ‎，在区间上有唯一零点 ‎，即，由的单调性 有 构造函数在去甲上单调递减 即，.‎ ‎22.(1)设交圆于点，连接 因为圆与圆内切于点，所以点在上，‎ 所以分别是圆与圆的直径 所以 ‎(2)若，由⑴的结果可知，，面在中，，又由，得到弦的距离为1.‎ ‎23.(1)将曲线，化为普通方程，得 当，设点对应的参数为 直线的参数方程为（为参数）‎ 代入曲线的普通方程 即 设直线上的点对应的参数分别为 则 所以点的坐标为；‎ ‎(2)将代入曲线的普通方程 得 因为，得 由于 故，所以直线的斜率为.‎ ‎24.(1)因为 当且仅当时，等号成立 又所以，所以的最小值为4，所以；‎ ‎(2)由(1)知，由柯西不等式，得 故 当且仅当时等号成立 故的最小值为.‎