2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版 22页

绝密★启用前 黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若与为互斥事件，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据互斥事件的概念，判断其正确性即可．‎ ‎【详解】‎ 若与为互斥事件，则.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查互斥事件的含义，解答此题的关键是要弄清楚：互斥事件是不可能同时发生的事件．‎ ‎2．条件：动点到两定点距离的和等于定长，条件：动点的轨迹是椭圆，条件是条件的(　　)‎ A． 充要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分不必要条件 D． 既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 此题主要是考查椭圆的定义．椭圆是到两个定点的距离和为定值的点的集合，并且距离和应该大于两定点之间的距离．‎ ‎【详解】‎ ‎：①若点M到F1，F2的距离之和恰好为F1，F2‎ 两点之间的距离，则轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者． ②根据椭圆的定义，椭圆到两焦点的距离和为常数2a．所以后者能推出前者． 故前者是后者的必要不充分条件． 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查条件问题和椭圆的定义，本题解题的关键是准确理解椭圆的几何意义，本题是一个基础题．‎ ‎3．命题“若，则”的逆否命题是（ ）‎ A．若，则或 B．若，则 C．若或，则 D．若或，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：命题的逆否命题需将条件和结论加以否定并交换，因此逆否命题为：若或，则 考点：四种命题 ‎4．在算式大+庆+精+神=中，“大、庆、精、神”分别代表四不同的数字，且依次从大到小，则“庆”字所对应的数字为(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由可得“庆”字所对应的数字为3.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数幂的计算，属基础题.‎ ‎5．某个容量为的样本的频率分布直方图如图所示，则在区间上的数据的频数约为(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率分布直方图各组频率之和为1，从图中的各段的频数计算出在区间[4，5）上的频率，再由频率=，计算其频数．‎ ‎【详解】‎ 根据题意， 在区间[4，5]的频率为：1-（0.05+0.1+0.15+0.4）×1=0.3， 而总数为100，因此频数为30． 故选D.．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，输出的(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T，n的值，当S=12，n=4，T=29时，满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．‎ ‎【详解】‎ 执行程序框图，有 S=3，n=1，T=2， 不满足条件T＞2S，S=6，n=2，T=8 不满足条件T＞2S，S=9，n=3，T=17 不满足条件T＞2S，S=12，n=4，T=29 满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29． 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查．‎ ‎7．命题“对任意的”的否定是（ ）‎ A． 不存在 B． 存在 C． 存在 D． 对任意的 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【详解】‎ 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x∈R，sinx≤1”的否定是：存在x∈R，sinx＞1． 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．‎ ‎8．是一组已知统计数据，其中, 令 ‎ ， 当( )时，取到最小值 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据方差的意义知，当 时，S有最小值，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵ =nx2-2（x1+x2+…+）x+x12+x22+…+2 ∴当时，S有最小值， 故答案选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查方差的定义与意义：属基础题.‎ ‎．‎ ‎9．已知是双曲线的两个顶点，为双曲线上（除顶点外）‎ ‎ 一点，若直线的斜率乘积为，则双曲线的离心率(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得A（-a，0），B（a，0）．设P（m，n），利用直线的斜率公式算出 ．由点P是双曲线上的点，坐标代入双曲线方程化简整理得 ，从而得出 ，由此得到a、c的关系式，从而解出双曲线的离心率e的值．‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得A（-a，0），B（a，0），设P（m，n） ‎ ‎∴ ． ∵点P是双曲线上的点，可得，化简整理得． ∴ ， ∵直线PA，PB的斜率乘积为，即，可得 ，即 ‎ ，∴，可得e=． 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率．着重考查了直线的斜率公式、双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．‎ ‎10．抛掷一枚均匀的硬币次，则出现正面的次数多于反面的概率（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面，由此能求出出现正面的次数多于反面的次数的概率．‎ ‎【详解】‎ 掷一枚均匀的硬币4次， 则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面， ∴出现正面的次数多于反面的次数的概率：． 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎11．如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．‎ ‎【详解】‎ 设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）． 平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角， 在△A2BM中， ‎ ‎ ． 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．‎ ‎12．如图，若为椭圆上一点，‎ 为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与相切于中点，则椭圆的方程为(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设线段PF的中点为M，另一个焦点F′，利用OM是△FPF′的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF的三边之长，使用勾股定理求得离心率．由为椭圆的焦点，即，结合离心率可求椭圆的方程.‎ ‎【详解】‎ 设线段PF的中点为M，另一个焦点F′，由题意知，OM=b，又OM是△FPF′的中位线， ∴ ‎ 由椭圆的定义知  PF=2a-PF′=2a-2b， 又  ‎ 又OF=c， 直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a-b）2+b2=c2，又a2-b2=c2， 可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2-c2），由此可求得离心率，由为椭圆的焦点，即 结合，可得 ，则椭圆的方程为. 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的定义，椭圆离心率及方程的求法，属中档题.．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．从这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：从四个数中任取两个数共有六种可能,其中一个数是另一个的两倍的可能只有一种,所以其概率为,即概率是.‎ 考点：列举法、古典型概率公式及运用.‎ 视频 ‎14．已知、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过椭圆定义知 由，可知 ，利用△PF1F2的面积为9可得，代入计算即可．‎ ‎【详解】‎ 根据椭圆定义知，由， ‎ ‎∴△PF1F2为直角三角形， 2， 又∵△PF1F2的面积为9， ‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆定义、直角三角形的面积及勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎15．甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个 景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 所有的游览情况共有 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 种，由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率．‎ ‎【详解】‎ 所有的游览情况共有 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有  种， 故则最后一小时他们同在一个景点的概率为 ， 故答案为 ．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．‎ ‎16．已知圆，点，．是圆上的动点，当取最大值时，点的坐标是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设则d=|PA|2+|PB|2=x2+（y+1）2+x2+（y-1）2=2（x2+y2）+2，‎ ‎ 的几何意义是P（x，y）到原点的距离，由直线 ‎ 与圆C：（x-3）2+（y-4）2=1，可得（5x-12）（5x-18）=0，即可求出当|PA|2+|PB|2取最大值时点P坐标．‎ ‎【详解】‎ 设 则 的几何意义是到原点的距离， 由已知，圆心C（3，4），半径为1，C到O的距离|CO|=5， ∴的最大值是5+1=6， ∴d的最大值为2×62+2=74， 由直线与圆C：（x-3）2+（y-4）2=1，可得（5x-12）（5x-18）=0， 或， ∴当|PA|2+|PB|2取最大值时点P坐标是． 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，正确转化是关键．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.‎ 第一批次 第二批次 第三批次 女教职工 ‎196‎ x y 男教职工 ‎204‎ ‎156‎ z ‎（I）求的值；‎ ‎（II）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名?‎ ‎【答案】（1）144 ； （2）12 .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16．用x除以总体数等于0.16，做出x的值． （II）根据总体数和第一批次和第二批次的总人数和总体数，得到第三批次的人数，根据每个个体被抽到的概率，列出等式，解方程即可．‎ ‎【详解】‎ ‎：（I）∵在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16．有 ‎ 解得x=144． （II）第三批次的人数为y+z=900-（196+204+144+156）=200， 设应在第三批次中抽取m名，则 ， 解得m=12． ∴应在第三批次中抽取12名．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分层抽样的方法，考查利用概率统计知识解决实际问题．‎ ‎18．某地1~10岁男童年龄（岁）与身高的中位数 如下表：‎ ‎（岁）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎ ‎ ‎76.5‎ ‎88.5‎ ‎96.8‎ ‎104.1‎ ‎111.3‎ ‎117.7‎ ‎124.0‎ ‎130.0‎ ‎135.4‎ ‎140.2‎ 对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．‎ ‎5.5‎ ‎112.45‎ ‎82.50‎ ‎3947.71‎ ‎566.85‎ ‎（I）求关于的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；‎ ‎（II）某同学认为，更适宜作为关于的回归方程类型，他求得的回归方程是．经调查，该地11岁男童身高的中位数为．与（I）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？‎ 附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎，．‎ ‎【答案】（1）； （2）用该同学的回归方程拟合效果更好.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）由表中数据求得 ，计算回归系数，写出回归方程； ‎ ‎（II）根据回归方程分别计算x=11时的值，求出|y-|的值，比较即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由表中数据可求得：=5.5， =112.45， ∴‎ ‎； 所以y关于x的线性回归方程为 ‎（II）若回归方程为， 当x=11时，；‎ 若回归方程为， 当x=11时，=-0.30×112+10.17×11+68.07=143.64； 且|143.64-145.3|=1.66＜|150.24-145.3|=4.94， 所以回归方程， 对该地11岁男童身高中位数的拟合效果更好．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程与应用问题，是中档题．‎ ‎19．求与圆A:外切且与直线l:相切于点的圆B的方程．‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组，求出参数，得到所求的圆的方程．‎ ‎【详解】‎ 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，‎ 由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，‎ 则.①‎ 又所求圆过点M的切线为直线，‎ 故.②‎ ‎.③‎ 解由①②③组成的方程组得 或，‎ 故所求圆的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的标准方程的求法，注意用待定系数法求出圆心坐标和半径．属中档题.‎ ‎20．某班甲、乙两名同学参加l00米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩（单位：秒）如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 甲 ‎11．6‎ ‎12．2‎ ‎13．2‎ ‎13．9‎ ‎14．0‎ ‎11．5‎ ‎13．1‎ ‎14．5‎ ‎11．7‎ ‎14．3‎ 乙 ‎12．3‎ ‎13．3‎ ‎14．3‎ ‎11．7‎ ‎12．0‎ ‎12．8‎ ‎13．2‎ ‎13．8‎ ‎14．1‎ ‎12．5‎ ‎（I）请作出样本数据的茎叶图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）．‎ ‎（Ⅱ）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12．8秒差的概率．‎ ‎（Ⅲ）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于秒的概率．‎ ‎【答案】（1）选派乙同学代表班级参加比赛更好； （2）； （3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据所给的数据，以十位做茎，个位做叶，做出茎叶图，注意图形要做到美观，不要丢失数据． （II）设事件A为：甲的成绩低于12.8，事件B为：乙的成绩低于12.8‎ ‎，我们先计算出从甲、乙成绩都低于12.8的概率，再利用对立事件概率公式即可求出答案． （III）设中设甲同学的成绩为x，乙同学的成绩为y，则|x-y|＜0.8，如图阴影部分面积我们可以求出它所表示的平面区域的面积，再求出甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8分对应的平面区域的面积，代入几何概型公式，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）茎叶图，如图所示，‎ 从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，‎ 应选派乙同学代表班级参加比赛更好； ‎ ‎（Ⅱ）设事件A为：甲的成绩低于12．8，事件B为：乙的成绩低于12．8，‎ 则甲、乙两人成绩至少有一个低于秒的概率为：‎ ‎。‎ ‎（Ⅲ）设甲同学的成绩为，乙同学的成绩为，‎ 则，得，如图阴影部分面积即为 ‎，则 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，几何概型及其概率计算公式，茎叶图，是统计和概率知识的综合考查，熟练掌握古典概型及几何概型求解概率的方法和步骤是解答本题的关键．‎ ‎21．如图，已知正方形的边长为，，将正方形沿对角线折起，得到三棱锥.‎ ‎ （I）求证：平面平面；‎ ‎ （II）求三棱锥的体积最大时的二面角B-AC-D的余弦值.‎ ‎(Ⅲ)若三棱锥的体积为，求的长.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2） ；（3）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）运用直线与平面，平面与平面的垂直问题求解判断．（II）因为，表示出体积关系式，可知故当∴当时，三棱锥的体积最大，建立空间直角坐标系，由此可求此时二面角B-AC-D的余弦值.‎ ‎(Ⅲ) 先根据三棱锥的体积求出棱锥的高，再分二面角为钝角和锐角两种情况分别求出AC的长即可．．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）证明：（I）证明：因为是正方形，‎ 所以，．在折叠后的△和△中，‎ 仍有，．‎ 因为，所以平面．因为平面，‎ 所以平面 平面．． ‎ ‎（II）由题 ‎ ‎∴当时，三棱锥的体积最大为 ，建立如图所示的空间直角坐标系，易得 ，设平面的法向量 ，则 ，由此可求得，同理可求平面的法向量，则二面角B-AC-D的余弦值 ‎ 即此时二面角的余弦值为.‎ ‎(Ⅲ)解：设三棱锥的高为，由于三棱锥的体积为，‎ 所以．因为，‎ 所以．以下分两种情形求的长：‎ ‎①当为钝角时，如图，过点作的垂线交的延长线于点，由（1）知平面，所以．又，且，所以平面．所以为三棱锥的高，‎ 即．在△中，因为，‎ 所以 ．在△中，因为，则．‎ 所以．‎ ‎②当为锐角时，如图，过点作的垂线交于点，‎ 由（1）知平面，所以．‎ 又，且，所以平面．‎ 所以为三棱锥的高，即．在△中，因为，‎ 所以 ‎ 在△中，因为，则．‎ 所以．‎ 综上可知，的长为或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考察面面垂直的判定以及线段长度的计算．一般在证明面面垂直时，常转化为证线线垂直，得线面垂直，进而得到结论．‎ ‎22．设点，动圆经过点且和直线相切．记动圆的圆心的轨迹为曲线．‎ ‎ （Ⅰ）求曲线的方程;‎ ‎ （Ⅱ）过点作互相垂直的直线、分别交曲线于和,求四边形面积的最小值．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）过点P作PN垂直于直线于点N，根据动圆P经过点F且和直线相切，可得|PF|=|PN|，从而可得动点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故可求曲线W的方程； （2）设直线l1，l2的方程代入x2=6y，利用韦达定理，计算弦长，表示出四边形ABCD的面积，利用基本不等式即可求得四边形ACBD面积的最小值；‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）过点作垂直直线于点 ‎ 依题意得． ‎ ‎ 所以动点的轨迹为是以为焦点，直线为准线的抛物线．--4分 ‎ 即曲线的方程是 ‎ ‎ （Ⅱ）依题意，直线的斜率存在且不为，‎ ‎ 设直线的方程为，由得的方程为．‎ ‎ 将代入 化简得． ‎ ‎ 设 则 ‎ ‎ ‎ 同理可得 ‎ 四边形的面积 ‎ 当且仅当 即时，‎ ‎ 故四边形面积的最小值是 ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查四边形面积的计算，考查直线的方程，直线与抛物线方程联立是关键．‎