2018-2019学年福建省三明市三地三校高一下学期期中联考数学试题（解析版） 13页

‎2018-2019学年福建省三明市三地三校高一下学期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1．按数列的排列规律猜想数列中的项，数列2，3，5，8，13，，34，55，… 则的值是( )．‎ A．19 B．20 C．21 D．22‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据数列各项的数字特征，可找到规律为从第项开始，每一项都等于前两项的数字之和，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由数列数字特点可知：从第项开始，每一项都等于前两项的数字之和 ‎，‎ 可知满足题意 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据数列中的项的规律，求解数列中的项的问题，属于基础题.‎ ‎2．数列中，，，则( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】通过取倒数的方式可知数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：，即 数列是以为首项，为公差的等差数列 ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用递推关系式求解数列中的项的问题，关键是能够根据递推关系式的形式，确定采用倒数法得到等差数列.‎ ‎3．下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图所示几何体的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】A.是一个圆锥以及一个圆柱; C.是两个圆锥; D. 一个圆锥以及一个圆柱;所以选B.‎ ‎4．在△ABC中，角所对的边为，已知，，,则( )．‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】A ‎【解析】利用正弦定理求得，根据大边对大角的关系求得.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得：‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.‎ ‎5．已知，，，，则下列不等式中恒成立的是( )．‎ A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】D ‎【解析】选项均可找到反例说明不恒成立；根据不等式的性质可知正确.‎ ‎【详解】‎ 选项：若，，，，则，；此时，可知错误；‎ 选项：若，则，可知错误；‎ 选项：，则；若，则，可知错误；‎ 选项：若，根据不等式性质可知，正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的性质，可采用排除法得到结果，属于基础题.‎ ‎6．已知等比数列中，，，则的值是( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由等比数列的性质可求得，进而求得；根据等比数列通项公式可知，代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由等比数列性质可知：‎ 由得： ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列性质、通项公式的应用问题，属于基础题.‎ ‎7．在中，若，则的形状是( )．‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】根据正弦定理可求得；根据余弦定理可判断出，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理可知： ‎ ‎，可知为钝角三角形 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状的问题，属于基础题.‎ ‎8．一个正方体的表面积和它的外接球的表面积之比是( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】正方体外接球半径为正方体体对角线的一半，可求得外接球半径，代入表面积公式求得外接球表面积；再求解出正方体表面积，作比得到结果.‎ ‎【详解】‎ 设正方体的棱长为，则正方体表面积 正方体外接球半径为正方体体对角线的一半，即 正方体外接球表面积 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查多面体的外接球表面积求解问题，属于基础题.‎ ‎9．等差数列中其前n项和为, 则为( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等差数列前项和性质可得：，，成等差数列；根据等差数列定义可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由等差数列前项和性质可知：，，成等差数列 又， ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列前项和性质的应用问题，属于基础题.‎ ‎10．设，若是与的等比中项，则的最小值为( )．‎ A．9 B．3 C．7 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等比中项可求得；利用，结合基本不等式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 是与的等比中项 ‎ ‎， （当且仅当，即时取等号）‎ ‎，即 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够利用等比中项得到关于的等量关系.‎ ‎11．已知数列的前项和为，满足，则通项公式等于( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】代入求得；根据可证得数列为等比数列，从而利用等比数列通项公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 当时， ‎ 当且时，‎ 则，即 数列是以为首项，为公比的等比数列 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列通项公式的求解，关键是能够利用得到数列为等比数列，属于常规题型.‎ ‎12．不等式 对任意实数恒成立，则实数的取值范围为(　 　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意得，不等式，又关于的不等式对任意实数恒成立，则，即，解得，故选A.‎ ‎【考点】基本不等式的应用；不等式的恒成立问题.‎ 二、填空题 ‎13．在△ABC中，，，则_________．‎ ‎【答案】8.‎ ‎【解析】利用余弦定理构造方程即可解得结果.‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理得：‎ 解得：（舍）或 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理解三角形的问题，属于基础题.‎ ‎14．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为，，则该棱柱的侧面积为________.‎ ‎【答案】60.‎ ‎【解析】棱柱侧面展开图面积即为棱柱的侧面积，求解三个矩形的面积和即可.‎ ‎【详解】‎ 棱柱侧面展开图的面积即为棱柱的侧面积 棱柱的侧面积为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查棱柱侧面积的求解问题，属于基础题.‎ ‎15．在明朝程大位《算术统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从上往下数第二层有___________盏灯．‎ ‎【答案】6.‎ ‎【解析】根据题意可将问题转化为等比数列中，已知和，求解的问题；利用等比数列前项和公式可求得，利用求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，每层悬挂的红灯数成等比数列，设为 设第层悬挂红灯数为，向下依次为 且 ‎ ‎ 即从上往下数第二层有盏灯 本题正确结果；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用等比数列前项和求解基本量的问题，属于基础题.‎ ‎16．给出下列语句：‎ ‎①若为正实数，，则；‎ ‎②若为正实数，，则；‎ ‎③若，则；‎ ‎④当时，的最小值为，其中结论正确的是___________．‎ ‎【答案】①③.‎ ‎【解析】利用作差法可判断出①正确；通过反例可排除②；根据不等式的性质可知③正确；根据的范围可求得的范围，根据对号函数图象可知④错误.‎ ‎【详解】‎ ‎①‎ ‎，为正实数 ，‎ ‎，即，可知①正确；‎ ‎②若，，，则，可知②错误；‎ ‎③若，可知，则，即，可知③正确；‎ ‎④当时，，由对号函数图象可知：，可知④错误.‎ 本题正确结果：①③‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式性质的应用、作差法比较大小问题、利用对号函数求解最值的问题，属于常规题型.‎ 三、解答题 ‎17．已知数列是等差数列，其前项和为，且，‎ ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用和表示出和，解方程组求得和；利用等差数列通项公式得到结果；（2）根据等差数列前项和公式构造关于的方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（１）设数列的公差为 由得：‎ ‎（2）由等差数列前项和公式可得：‎ 解得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列基本量的求解、等差数列通项公式和前项和公式的应用，属于基础题.‎ ‎18．据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．‎ ‎（1）试计算出图案中球与圆柱的体积比；‎ ‎（2）假设球半径．试计算出图案中圆锥的体积和表面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）圆锥体积，表面积 ‎【解析】（1）由球的半径可知圆柱底面半径和高，代入球和圆柱的体积公式求得体积，作比得到结果；（2）由球的半径可得圆锥底面半径和高，从而可求解出圆锥母线长，代入圆锥体积和表面积公式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设球的半径为，则圆柱底面半径为，高为 球的体积；圆柱的体积 球与圆柱的体积比为：‎ ‎（2）由题意可知：圆锥底面半径为，高为 圆锥的母线长：‎ 圆锥体积：‎ 圆锥表面积：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间几何体的表面积和体积求解问题，考查学生对于体积和表面积公式的掌握，属于基础题.‎ ‎19．在中，角所对的边为.已知面积 ‎（1）若求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用三角形面积公式可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）利用三角形面积公式求得；利用余弦定理可求解出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由三角形面积公式可知： ‎ ‎（2） ‎ 由余弦定理得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用问题，考查学生对于公式的掌握情况，属于基础题.‎ ‎20．已知函数 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据一元二次不等式的求解方法直接求解即可；（2）将问题转化为恒成立的问题，通过基本不等式求得的最小值，则.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 或 所求不等式解集为：‎ ‎（2）当时，可化为：‎ 又（当且仅当，即时取等号）‎ ‎ ‎ 即的取值范围为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的求解、恒成立问题的求解问题.解决恒成立问题的关键是通过分离变量的方式，将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较问题.‎ ‎21．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测量者在河岸边选定两点C，D，测得，同时在C，D两点分别测得，，,．‎ ‎（1）求B，C两点间的距离；‎ ‎（2）求A，B两点间的距离．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用三角形内角和求出，根据正弦定理可求得结果；（2）根据角的大小可求得；在中利用余弦定理求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在中，‎ 由正弦定理得：‎ 即两点间距离为：‎ ‎（2）在中，，‎ ‎ ‎ 在中，由余弦定理得：‎ ‎ ‎ 即两点间距离为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、余弦定理的应用，主要考察距离的求解问题，属于常规题型.‎ ‎22．已知数列满足，，.‎ ‎（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和，求证：‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）根据递推关系式可整理出，从而可证得结论；利用等比数列通项公式首先求解出，再整理出；（2）根据可求得，从而得到的通项公式，利用裂项相消法求得，从而使问题得证.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得：‎ 即，且 数列是以为首项，为公比的等比数列 数列的通项公式为： ‎ ‎（2）由（1）得：‎ 又 ‎ 即：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用递推关系式证明等比数列、求解等比数列通项公式、裂项相消法求解数列前项和的问题，属于常规题型.‎