数学理卷·2017届河北省唐山市高三上学期期末考试（2017 10页

河北省唐山市 2017 届高三上学期期末考试试题 数学理 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合    22, 1,0,2,3 , | 1,A B y y x x A       ，则 A B 中元素的个数是 （ ） A． 2 B．3 C． 4 D．5 2. i 是虚数单位，复数  z a i a R   满足 2 1 3z z i   ，则 z  （ ） A． 2 或 5 B． 2 或5 C． 5 D．5 3. 设向量 a  与b  的夹角为 ，且    2,1 , 2 2,3a a b      ，则cos  （ ） A． 3 5  B． 3 5 C． 5 5 D． 2 5 5  4. 已知 1tan 2   ，则 tan 24       （ ） A． 7 B． 7 C. 1 7 D． 1 7  5. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的 三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 （ ） A． 4 B． 6 4 2 C. 4 4 2 D． 2 6. 已知数列    ,n na b 满足 1n n nb a a   ，则“ 数列 na 为等差数列” 是“ 数列  nb 为 等差数列” 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 7. 执行如图所示的程序框图，则输出的 a  （ ） A．1 B． 1 C. 4 D． 5 2  8.在  102x  展开式中， 二项式系数的最大值为 a ，含 7x 项的系数为b ，则 b a （ ） A． 80 21 B． 21 80 C. 21 80  D． 80 21  9. 设实数 ,x y 满足约束条件 2 5 0 4 0 3 10 0 x y x y x y            ，则 2 2z x y  的最小值为 （ ） A． 10 B．10 C.8 D．5 10. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料 体积之比的最大值为 （ ） A． 6 3 B． 6 6 C. 3 2 8 D． 3 2 4 11. 已知O 为坐标原点， F 是双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x y a ba b      的左焦点， ,A B 分别 为 的左、右顶点，P 为 上一点，且 PF x 轴， 过点 A 的直线l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E ，直线 BM 与 y 轴交于点 N ，若 2OE ON ，则  的离心率 为 （ ） A．3 B． 2 C. 3 2 D． 4 3 12. 已知函数     2ln x xf x e e x   ，则使得    2 3f x f x  成立的 x 的取值范 围是（ ） A． 1,3 B．   , 3 3,   C. 3,3 D．   , 1 3,   第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 曲线 3y x 与 y x 所围成的封闭图形的面积为 ． 14. 已知 na 是等比数列， 5 3 7 1 ,4 22a a a   ，则 7a  ． 15.设 1 2,F F 为椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的左、右焦点，经过 1F 的直线交椭圆C 于 ,A B 两点，若 2F AB 是面积为 4 3 的等边三角形，则椭圆C 的方程为 ． 16. 已知 1 2,x x 是函数   2sin 2 cos2f x x x m   在 0, 2      内的两个零点，则  1 2sin x x  ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）在 ABC 中,角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、 c .已知 2cos cos sin cos 2 cosa A B b A c A b B   . （1）求 B ； （2）若 7 , 2 3ABCb a S  ，求 a . 18. （本小题满分 12 分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生 人数之比为1:3 ，且成绩分布在 40,100 ，分数在80 以上（含80 ）的同学获奖. 按文理科 用分层抽样的方法抽取 200 人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）. （1）填写下面的 2 2 列联表，能否有超过 0 095 的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？ （2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3 名学生，记“获奖” 学生人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望. 文科生 理科生 合计 获奖 5 不获奖 合计 200 附表及公式：        2 2 n ad bcK a b a d a c b d      ，其中 n a b c d     2P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. （本小题满分 12 分）在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， 60 ,ABC PB PC PD    . （1）证明： PA  平面 ABCD ； （2）若 2PA  ，求二面角 A PD B  的余弦值． 20. （本小题满分 12 分）已知抛物线  : 2 0C py p  ，圆 2 2: 1O x y  . （1）若抛物线C 的焦点 F 在圆上，且 A 为 C 和圆 O 的一个交点，求 AF ； （2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点 ,M N ，求 MN 的最小值及相应 p 的值． 21. （本小题满分 12 分）已知函数    ln , ln 12 x axf x g x x xx        . （1）求  y f x 的最大值； （2）当 10,a e      时，函数     , 0,y g x x e  有最小值． 记  g x 的最小值为  h a ， 求函 数  h a 的值域． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1 : 4C x y  ，曲线 2 1 cos: (sin xC y       为参数）， 以坐标 原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 1 2,C C 的极坐标方程； （2）若射线  : 0l p   分别交 1 2,C C 于 ,A B 两点， 求 OB OA 的最大值． 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数    1 0f x a x x a a     . （1）当 2a  时，解不等式   4f x  ； （2）若   1f x  ，求 a 的取值范围． 理科数学参考答案 一、选择题： A 卷：BCADB ACDBA AD B 卷：BCADD ACDBA AB 二、填空题： （13） 5 12 （14）1 （15） x2 9 ＋ y2 6 ＝1 （16）2 5 5 三、解答题： （17）解： （Ⅰ）由正弦定理得： 2sin Bcos B＝sin Acos Acos B－sin Bsin 2A－sin Ccos A ＝sin Acos (A＋B)－sin Ccos A ＝－sin Acos C－sin Ccos A ＝－sin (A＋C) ＝－sin B， ∵sin B≠0， ∴cos B＝－ 1 2 ，B＝2π 3 ． …6 分 （Ⅱ）由 b2＝a2＋c2－2accos B，b＝ 7a，cos B＝－ 1 2 得 c2＋ac－6a2＝0，解得 c＝2a， …10 分 由 S△ABC＝ 1 2 acsin B＝ 3 2 a2＝2 3，得 a＝2． …12 分 （18）解：（Ⅰ） 文科生 理科生 合计 获奖 5 35 40 不获奖 45 115 160 合计 50 150 200 k＝200(5×115－35×45)2 50×150×40×160 ＝25 6 ≈4.167＞3.841， 所以有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”． …6 分 （Ⅱ）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为 1 5 ， 将频率视为概率，所以 X 可取 0，1，2，3，且 X~B(3， 1 5 )． P(X＝k)＝Ck3×( 1 5 )k(1－ 1 5 )3－k（k＝0，1，2，3）， X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 …10 分 E(X)＝3× 1 5 ＝ 3 5 ． …12 分 （19）解： （Ⅰ）证明：连接 AC，则△ABC 和△ACD 都是正三角形． 取 BC 中点 E，连接 AE，PE， 因为 E 为 BC 的中点， 所以在△ABC 中，BC⊥AE， 因为 PB＝PC，所以 BC⊥PE， 又因为 PE∩AE＝E， 所以 BC⊥平面 PAE，又 PA平面 PAE， 所以 BC⊥PA． 同理 CD⊥PA， 又因为 BC∩CD＝C， 所以 PA⊥平面 ABCD． …6 （Ⅱ）如图，以 A 为原点，建立空间直角坐标系 A-xyz， 则 B( 3，－1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， PD→＝(0，2，－2)， BD→＝(－ 3，3，0)， 设平面 PBD 的法向量为 m＝(x，y，z)， 则 cosm，n＝ m·n |m|·|n| ＝ 15 5 ， 所以二面角 A-PD-B 的余弦值是 15 5 ． …12 分 （20）解： （Ⅰ）由题意得 F(1，0)，从而有 C：x2＝4y． 解方程组 x2＝4y， x2＋y2＝1，得 yA＝ 5－2，所以|AF|＝ 5－1． …5 分 （Ⅱ）设 M(x0，y0)，则切线 l：y＝x0 p(x－x0)＋y0， 整理得 x0x－py－py0＝0． …6 分 由|ON|＝1 得|py0|＝ x2 0＋p2＝ 2py0＋p2， 所以 p＝ 2y0 y2 0－1 且 y2 0－1＞0， …8 分 所以|MN|2＝|OM|2－1＝x2 0＋y2 0－1＝2py0＋y2 0－1 ＝ 4y2 0 y2 0－1 ＋y2 0－1＝4＋ 4 y2 0－1 ＋(y2 0－1)≥8，当且仅当 y0＝ 3时等号成立， 所以|MN|的最小值为 2 2，此时 p＝ 3． …12 分 （21）解： （Ⅰ）f ′ (x)＝1－ln x x2 （x＞0）， 当 x∈(0，e)时，f ′ (x)＞0，f (x)单调递增； 当 x∈(e，＋∞)时，f ′ (x)＜0，f (x)单调递减， 所以当 x＝e 时，f (x)取得最大值 f (e)＝ 1 e ． …4 分 （Ⅱ）g′ (x)＝ln x－ax＝x(ln x x －a)，由（Ⅰ）及 x∈(0，e]得： ①当 a＝ 1 e 时，ln x x －a≤0，g′ (x)≤0，g (x)单调递减， 当 x＝e 时，g (x)取得最小值 g (e)＝h (a)＝－ e 2 ． …6 分 ②当 a∈[0， 1 e )，f (1)＝0≤a，f (e)＝ 1 e ＞a， 所以存在 t∈[1，e)，g′ (t)＝0 且 ln t ＝at， 当 x∈(0，t)时，g′ (x)＜0，g (x)单调递减， 当 x∈(t，e]时，g′ (x)＞0，g (x)单调递增， 所以 g (x)的最小值为 g (t)＝h (a)． …9 分 令 h (a)＝G (t)＝tln t 2 －t， 因为 G′(t)＝ln t －1 2 ＜0，所以 G(t)在[1，e)单调递减，此时 G (t)∈(－ e 2 ，－1]． 综上，h (a)∈[－ e 2 ，－1]． …12 分 （22）解： （Ⅰ）C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝4， C2 的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，所以ρ＝2cos θ． …4 分 （Ⅱ）设 A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，－ π 4 ＜α＜ π 2 ， 则ρ1＝ 4 cos α＋sin α ，ρ2＝2cos α， …6 分 |OB| |OA| ＝ ρ2 ρ1 ＝ 1 4 ×2cos α(cos α＋sin α) ＝ 1 4 (cos 2α＋sin 2α＋1)＝ 1 4 [ 2cos (2α－ π 4 )＋1]， …8 分 当α＝ π 8 时，|OB| |OA| 取得最大值 1 4 ( 2＋1)． …10 分 （23）解： （Ⅰ）f (x)＝2|x－1|＋|x－2|＝ －3x＋4，x＜1， x， 1≤x≤2， 3x－4， x＞2． 所以，f (x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增， 又 f (0)＝f ( 8 3 )＝4，故 f (x)≤4 的解集为{x|0≤x≤ 8 3 }． …4 分 （Ⅱ） ①若 a＞1，f (x)＝(a－1)|x－1|＋|x－1|＋|x－a|≥a－1， 当且仅当 x＝1 时，取等号，故只需 a－1≥1，得 a≥2． …6 分 ②若 a＝1，f (x)＝2|x－1|，f (1)＝0＜1，不合题意． …7 分 ③若 0＜a＜1，f (x)＝a|x－1|＋a|x－a|＋(1－a)|x－a|≥a(1－a)， 当且仅当 x＝a 时，取等号，故只需 a(1－a)≥1，这与 0＜a＜1 矛盾． …9 分 综上所述，a 的取值范围是[2，＋∞)． …10 分 解法 2 f (x)≥1f (1)＝|1－a|≥1 且 a＞0，解得 a≥2. …6 分 当 a≥2 时，f (x)＝a|x－1|＋|x－a|＝ －(a＋1)x＋2a，x＜1， (a－1)x， 1≤x≤a， (a＋1)x－2a， x＞a． 所以，f (x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，则 f (x)≥f (1)． …8 分 f (x)≥1f (1)＝a－1≥1，解得 a≥2． 综上所述，a 的取值范围是[2，＋∞)． …10 分