数学理卷·2018届湖南省（长郡中学、株洲市二中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第一次联考（2018 12页

2018 届高三·十四校联考 第一次考试 数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 满足 ，则 的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 2.已知全集为 ，集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“ ”“ ”“ ”“ ”，现从中随机 选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ） A． B． C． D． 4.若双曲线 的焦距为 ，则 等于（ ） A． 或 B． C. D． 5.记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 等于（ ） A． B． C. D． 6.执行如图所示的程序框图，则其输出的结果是（ ） A． B． C. D． 7.已知函数 为偶函数，当 时， ，且 为奇函数，则 z ( )2 3 4i z i− = − + z 2 i− + 2 i− 2 i+ 2 i− − R { }2 1xA x= ≥ { }2 3 2 0B x x x= − + < RA B = { }0x x ≤ { }0 1 2x x x≤ ≤ ≥或 { }1 2x x< < { }0 1 2x x x≤ < >或 2 0 1 8 2 3 1 2 1 3 1 4 2 2 13 1 x y m m + =− − 4 m 0 4 4 12− 0 nS { }na n 9 45S = 3 8 12a a+ = 7a 10 9 8 7 2047 1025 1023 511 ( )f x [ ]1,1x∈ − ( ) 21f x x= − ( )1f x + （ ） A． B． C. D． 8.已知一个棱长为 的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图（单位： ）如图所示， 则该几何体的体积是（ ） A． B． C. D． 9.若 ， ， ， ，则 ， ， 这三个数的大小关系正 确的是（ ） A． B． C. D． 10.函数 的部分图象如图所示，已知 ， ，且 ，则 等于（ ） A． B． C. D． 11.若对于函数 图象上任意一点处的切线 ，在函数 的图象上总存在一条切线 ，使得 ，则实数 的取值范围为 21 2f   =   1 2 1 2 − 3 2 − 3 2 2 cm 38 cm3 34cm 320 cm3 316 cm3 0 1a b< < < bm a= an b= logbp a= m n p n m p< < m n p< < p m n< < p n m< < ( ) ( )( )sin 0, 0,0f x A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < < 1 2, ,2x x π π ∈   1 2x x≠ ( ) ( )1 2f x f x= ( )1 2f x x+ 1− 2− 1 2 ( ) ( ) 2ln 1f x x x= + + 1l ( ) sin cosg x a x x x= − 2l 1 2l l⊥ a （ ） A． B． C. D． 12.如图，已知椭圆 ，过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 、 两点，连接 ， 并延长分别交 于 、 两点，连接 ， 与 的面积分别记为 ， .则在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①若记直线 ， 的斜率分别为 、 ，则 的大小是定值为 ； ② 的面积 是定值 ； ③线段 、 长度的平方和 是定值 ； ④设 ，则 . A． 个 B． 个 C. 个 D． 个 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量 ， ，若 ，则 ． 14.已知 为常数，且 ，则 的二项展开式中的常数项 为 ． 15.已知 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是最小值的 倍，则 ． 16.已知数列 满足： ， .设 是等差数列，数列 是各项均为正整数的递增数列，若 ，则 ． 2 1,12  −     1 21 2  −−    ， 1 2 2 1 2 2    − −−∞ + ∞      ， ， ( ] [ ), 1 1,−∞ − +∞ 2 2 1 : 14 xC y+ = 2 2 : 4C x y= F M N NO MO 1C A B AB OMN△ OAB△ OMNS△ OABS△ NO MO 1k 2k 1 2k k 1 4 − OAB△ OABS△ 1 OA OB 2 2OA OB+ 5 OMN OAB S S λ = △ △ 2λ ≥ 4 3 2 1 ( )1,2m = − ( ),4n x= m n⊥  2m n+ =  a 1 0 2a xdx= ∫ 6ax x  −   x y 2 0 1 0 x y x x y k − + ≥  ≤  + + ≥ 3z x y= + 2− k = { }na 1 3a = ( ) ( )12 3 1 2n n na a n−= − − ≥ { } tka { }( )tk t N ∗∈ 1 1k = 3 2k k− = 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17.设函数 . （Ⅰ）求函数 的递增区间； （Ⅱ）在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，若 ， ，且 ，求 的面积. 18.某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖 活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前 天 参加抽奖活动的人数进行统计， 表示第 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下： 1 2 3 4 5 6 7 5 8 8 10 14 15 17 （Ⅰ）经过进一步统计分析，发现 与 具有线性相关关系.请根据上表提供的数据，用最 小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ； （Ⅱ）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取 元购物券；抽中“二等奖”可领取 元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为 ，获得“二等奖”的概率为 .现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相 互独立，求此二人所获购物券总金额 的分布列及数学期望. 参考公式： ， ， . 19. 如图，在梯形 中， ， ， ， ，四边形 是菱形， . （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的平面角的正切值. ( ) ( ) 1sin 3 cos sin 2f x x x x= + − ( )f x ABC△ a b c A B C ( ) 1f B = 2b = ( ) ( )2 cos cos 1b A a B− = + ABC△ 7 y x x y y x y x  y bx a= + 600 300 1 6 1 3 X 1 2 2 1 n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = − ∑ ∑  a y bx= −  7 1 364i i i x y = =∑ ABCD / /AB CD 2AD DC CB= = = 60ABC∠ =  ACEF ABCD⊥平面 平面 ACEF 60CAF∠ =  BF AE⊥ B EF D− − 20. 已知椭圆 上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的 倍，且点 在椭圆 上. （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过点 任作一条直线 ， 与椭圆 交于不同于 点的 、 两点， 与直线 交于 点，记直线 、 、 的斜率分别为 、 、 .试探究 与 的关系，并证明你的结论. 21. 已知函数 （其中 且 为常数， 为自然对数的底数， ）. （Ⅰ）若函数 的极值点只有一个，求实数 的取值范围； （Ⅱ）当 时，若 （其中 ）恒成立，求 的最小值 的最大值. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）设 为曲线 上的点， 为曲线 上的点，求 的最小值. ( )2 2 2 2 1 0x yE a ba b + = > >： 3 31 2P    ， E E ( )11M ， l l E P A B l :3 4 12 0m x y+ − = C PA PB PC 1k 2k 3k 1 2k k+ 3k ( ) ( )ln xef x a x xx = + − a R∈ a e 2.71828e =  ( )f x a 0a = ( )f x kx m≤ + 0m > ( )1k m+ ( )h m 1C 2 3 4 4 x t y t = +  = − t O x 2C 2 1 sin ρ θ= − 2C 1M 1C 2M 2C 1 2M M 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （Ⅰ）若不等式 有解，求实数 的最大值 ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数 ， 满足 ，证明： . ( ) 1 2f x x x= − − + ( ) 1f x m≥ − m M a b 2 23a b M+ = 3 4a b+ ≤ 试卷答案 一、选择题 1-5:DBDAB 6-10:ACDBC 11、12：DA 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.【解析】（Ⅰ）函数的解析式可化为： . 由 ， 得函数 的递增区间为 . （Ⅱ）因为 ，即 ，所以 ， 因为 是三角形的内角，所以 ， 又因为 ，由正弦定理得 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ， ，由余弦定理得 . 所以， ，故 的面积为 . 18.【解析】（Ⅰ）依题意： ， ， ， ， 10 15 1 1 ( ) 3 1 cos2 1sin 22 2 2 xf x x −= + − 3 1sin 2 cos2 sin 22 2 6x x x π = − = −   2 2 22 6 2 6 3k x k k x k π π π π ππ π π π− ≤ − ≤ + ⇒ − ≤ ≤ + ( )f x ( ),6 3k k k Z π ππ π − + ∈   ( ) 1f B = sin 2 16B π − =   2 26 2 3B k B k π π ππ π− = + ⇒ = + B 3B π= ( ) ( )2 cos cos 1b A a B− = + ( ) ( )sin 2 cos sin cos 1B A A B− = + ( )2sin sin sin cos cos sin sin sin sin sinB A A B A B A A B A C= + + = + + = + 2b a c= + 2b = 3B π= ( )22 2 2 2 23 4b a c ac b a c ac ac b= + − ⇒ = + − ⇒ = = 1 1 3sin 4 sin 2 32 2 3 2S ac B π= = = =   ABC△ 3 ( )1 1 2 3 4 5 6 7 47x = + + + + + + = ( )1 5 8 8 10 14 15 17 117y = + + + + + + = 7 2 1 140i i x = =∑ 7 1 364i i i x y = =∑ ， ， 则 关于 的线性回归方程为 . （Ⅱ）二人所获购物券总金额 的可能取值有 、 、 、 、 元，它们所对 应的概率分别为： ， ， ， ， . 所以，总金额 的分布列如下表： 0 300 600 900 1200 总金额 的数学期望为 元. 19.【解析】（Ⅰ）依题意，在等腰梯形 中， ， ， ∵ ，∴ 即 ， ∵ ，∴ ，而 ，∴ . 连接 ，∵四边形 是菱形，∴ ， ∴ ，∵ ，∴ . （Ⅱ）取 的中点 ，连接 ，因为四边形 是菱形，且 . 所以由平面几何易知 ，∵ ，∴ . 故此可以 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为： ， ， ， ， ， . 设平面 和平面 的法向量分别为 ， ， ∵ ， . 7 1 7 2 2 1 7 364 7 4 11 2140 7 167 i i i i i x y xy b x x = = − − × ×= = =− ×− ∑ ∑   11 2 4 3a y bx= − = − × = y x  2 3y x= + X 0 300 600 900 1200 ( ) 1 1 10 2 2 4P X = = × = ( ) 1 1 1300 2 2 3 3P X = = × × = ( ) 1 1 1 1 5600 23 3 2 6 18P X = = × + × × = ( ) 1 1 1900 2 3 6 9P X = = × × = ( ) 1 1 11200 6 6 36P X = = × = X X P 1 4 1 3 5 18 1 9 1 36 X 1 1 5 1 10 300 600 900 1200 4004 3 18 9 36EX = × + × + × + × + × = ABCD 2 3AC = 4AB = 2BC = 2 2 2AC BC AB+ = BC AC⊥ ACEF ABCD⊥平面 平面 BC ACEF⊥ 平面 AE ACEF⊆ 平面 AE BC⊥ CF ACEF AE FC⊥ AE BCF⊥ 平面 BF BCF⊆ 平面 BF AE⊥ EF M MC ACEF 60CAF∠ =  MC AC⊥ ACEF ABCD⊥平面 平面 MC ABCD⊥ 平面 CA CB CM x y z ( )0 0 0C ，， ( )2 3,0 0A , ( )0 2 0B ，， ( )3, 10D − , ( )3,0 3E − , ( )3,0 3F , BEF DEF ( )1 1 1 1, ,n a b c=    ( )2 2 2 2, ,n a b c=    ( )3, 2 3BF = − ， ( )2 3,0 0EF = ， ∴由 ，令 ，则 ， 同理，求得 . ∴ ，故二面角 的平面角的正切值为 . 20.【解析】（Ⅰ）因为椭圆 上的点到椭圆一个焦点的距离的最 大值和最小值分别为 ， ，所以依题意有： ， ∵ ，∴ .故可设椭圆 的方程为： ， 因为点 在椭圆 上，所以将其代入椭圆 的方程得 . ∴椭圆 的方程为 . （Ⅱ）依题意，直线 不可能与 轴垂直，故可设直线 的方程为： 即 ， ， 为 与椭圆 的两个交点. 将 代入方程 化简得： . 所以 ， . . 1 1 1 1 1 1 11 1 0 3 2 3 0 0 2 30 2 3 0 BF n a b c a b cEF n a  = − + = = ⇒ ⇒   == =          1 3b = ( )1 0,3,2n = ( )2 0,3, 1n = − 1 2 1 2 7cos 130 n n n n θ = =      B EF D− − 9 7 ( )2 2 2 2: 1 0x yE a ba b + = > > a c+ a c− ( )3 2a c a c a c+ = − ⇒ = 2 2 2a b c= + 3b c= E 2 2 2 2 14 3 x y c c + = 31 2P    ， E E 2 2 2 9 1 4 1 14 3 cc c + = ⇒ = E 2 2 14 3 x y+ = l x l ( )1 1y k x− = − 1y kx k= − + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y l E 1y kx k= − + 2 23 4 12 0x y+ − = ( ) ( )2 2 2 24 3 8 4 8 8 0k x k k x k k+ − − + − − = 2 1 2 2 8 8 4 3 k kx x k −+ = + 2 1 2 2 4 8 8 4 3 k kx x k − −= + ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 1 11 1 1 1 12 2 2 2 2 21 1 1 1 2 1 1 y y k x k x k k k kx x x x x x − − − − − −  ∴ + = + = + = − + = − − − − − − −  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 8 8 2 4 321 1 6 322 1 2 54 8 8 8 8 4 3 k k kx x kkx x x x k k k k k − − ++ − −= − =− + + − − − − + +  又由 ，解得 ， ， 即 点的坐标为 ，所以 . 因此， 与 的关系为： . 21.【解析】（Ⅰ）函数 的定义域为 ，其导数为 . 由 或 ， 设 ，∵ ，∴当 时， ；当 时， . 即 在区间 上递增，在区间 上递减，∴ ， 又当 时， ，当 时， 且 恒成立. 所以，当 或 时，方程 无根，函数 只有 一个极值点. 当 时，方程 的根也为 ，此时 的因式 恒成立， 故函数 只有 一个极值点. 当 时，方程 有两个根 、 且 ， ，∴函数 在 区间 单调递减； 单调递增； 单调递减； 单调递增，此时函数 有 、 、 三个极值点. 综上所述，当 或 时，函数 只有一个极值点. （Ⅱ）依题意得 ，令 ，则对 ，都 有 成立. ( )1 3 4 1 12 03 4 12 0 y kx k x kx kx y = − + ⇒ + − + − = + − = 4 8 4 3 kx k += + 9 3 4 3 ky k += + C 4 8 9 3,4 3 4 3 k kC k k + +   + +  3 9 3 3 6 34 3 2 4 8 1014 3 k kkk k k + − −+= =+ −+ 1 2k k+ 3k 1 2 32k k k+ = ( )f x ( )0 + ∞， ( ) ( )' 2 1 1xe x xf x a x x − −= − = ( ) 2 1x x e x xax e −  −   ( )' 0 1f x x= ⇒ = x xa e = ( ) x xu x e = ( )' 1 x xu x e −= ( )0,1x∈ ( )' 0u x > ( )1,x∈ +∞ ( )' 0u x < ( )u x ( )0,1 ( )1 + ∞， ( ) ( ) 1= 1u x u e = 极大 0x → ( ) 0u x → x → +∞ ( ) 0u x → ( ) 0u x > 0a ≤ 1a e > x xa e = ( )f x 1x = 1a e = x xa e = 1x = ( )'f x 0x xa e − ≥ ( )f x 1x = 10 a e < < x xa e = 1x 2x ( )1 0,1x ∈ ( )2 1,x ∈ +∞ ( )f x ( )10, x ( )1,1x ( )21, x ( )2 ,x +∞ ( )f x 1x 1 2x 0a ≤ 1a e ≥ ( )f x ln x x kx m− ≤ + ( ) ( )ln 1x x k x mϕ = − + − ( )0,x∀ ∈ +∞ ( ) 0xϕ ≤ 因为 ，所以当 时，函数 在 上单调递增， 注意到 ，∴若 ，有 成立，这与 恒 成立矛盾； 当 时，因为 在 上为减函数，且 ，所以函数 在区 间 上单调递增，在 上单调递减，∴ ， 若对 ，都有 成立，则只需 成立， ， 当 时，则 的最小值 ，∵ ，∴函数 在 上递增，在 上递减，∴ ，即 的最小值 的最大值 为 ； 综上所述， 的最小值 的最大值为 . 请考生在第（22）～（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分. 22.【解析】（Ⅰ）∵ 且 ，∴由 得 ， ∴曲线 的直角坐标方程为 . （Ⅱ）设 是曲线 上的任意一点， 由 消去 得 ，知曲线 为直线 . ( ) ( )' 1 1x kx ϕ = − + 1 0k + ≤ ( )xϕ ( )0,+∞ ( ) ( )1 0m me k eϕ = − + ≥ ( ),mx e∈ +∞ ( ) 0xϕ > ( ) 0xϕ ≤ 1 0k + > ( )' xϕ ( )0,+∞ ' 1 01k ϕ   = +  ( )xϕ 10 1k    + ， 1 ,1k  +∞ +  ( ) ( )1 ln 1 11x k mk ϕ ϕ  ≤ = − + − − +  ( )0,x∀ ∈ +∞ ( ) 0xϕ ≤ ( )ln 1 1 0k m− + − − ≤ ( ) 1ln 1 1 1 mk m k e− −∴ + ≥ − − ⇒ + ≥ 0m > ( )1k m+ ( ) 1 mh m me− −= ( ) ( )' 1 1mh m e m− −= − ( )h m ( )0,1 ( )1 + ∞， ( ) 2 1h m e ≤ ( )1k m+ ( )h m 2 1 e ( )1k m+ ( )h m 2 1 e cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 2 2 2x yρ = + 2 1 sin ρ θ= − sin 2 sin 2ρ ρ θ ρ ρ θ− = ⇒ = + ( )22 2 2 2 2sin 2 4 4 4 4x y y y x yρ ρ θ⇒ = + ⇒ + = + + ⇒ = + 2C 2 4 4x y= + 2 2 , 14 xM x  −   2C 2 3 4 4 x t y t = +  = − t 2 10 0x y− − = 1C : 2 10 0l x y− − = 设 到 的距离为 ，则 （当且 仅当 取“=”）， 故 的最小值为 . 23.【解析】（Ⅰ）若不等式 有解，只需 的最大值 即可. 因为 ，所以 ，解得 ， 所以实数 的最大值 . （Ⅱ）根据（Ⅰ）知正实数 ， 满足 ，由柯西不等式可知 ， 所以， ，因为 ， 均为正实数，所以 （当且仅当 时取 “=”）. 2M l d ( ) 2 2 1 2 12 1 10 4 54 4 5 5 5 xx x M M d  − − −  − + ≥ = = ≥ 4x = 1 2M M 5 ( ) 1f x m≥ − ( )f x ( )max 1f x m≥ − ( ) ( )1 2 1 2 3x x x x− − + ≤ − − + = 1 3m − ≤ 2 4m− ≤ ≤ m 4M = a b 2 23 4a b+ = ( )( ) ( )22 23 3 1 3a b a b+ + ≥ + ( )23 16a b+ ≤ a b 3 4a b+ ≤ 1a b= =