2019届二轮复习　三角函数的图象与性质学案（全国通用） 22页

第1讲　三角函数的图象与性质 高考统计·定方向 热点题型 真题统计 题型1：三角恒等变换 ‎2018全国卷ⅡT15；2016全国卷ⅡT9；‎ ‎2016全国卷ⅢT5；2015全国卷ⅠT2；‎ ‎2014全国卷ⅠT8；2014全国卷ⅡT14‎ 题型2：三角函数的图象与解析式 ‎2017全国卷ⅠT9；2016全国卷ⅡT7；‎ ‎2016全国卷ⅢT14；2015全国卷ⅠT8；‎ ‎2014全国卷ⅠT8‎ 题型3：三角函数的性质及应用 ‎2018全国卷ⅡT15；2018全国卷ⅠT16；‎ ‎2017全国卷ⅠT12；2017全国卷ⅡT14；‎ ‎2016全国卷ⅠT12‎ 命题规律 分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：‎ ‎1.三角函数的图象变换多以选择题形式出现，属基础题.‎ ‎2.三角函数的定义、图象与性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值)常与三角恒等变换交汇命题．大多出现在第6～9或第14～15题位置上，属中档题.‎ 题型1　三角恒等变换 ‎(对应学生用书第9页)‎ ‎■核心知识储备·‎ ‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；‎ ‎(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin 2α＝2sin αcos α；‎ ‎(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ ‎(3)tan 2α＝.‎ ‎3．辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ).‎ ‎■高考考法示例·‎ ‎【例1】　(1)(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin 2α ＝(　　 )‎ A．　　　B．　　　C．－　　　D．－ ‎(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.‎ ‎(3)如图211，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，，则α＋2β的值为________．‎ 图211‎ ‎(1)D　(2)－　(3) ‎[(1)∵cos－α＝，‎ sin 2α＝cos ‎＝cos＝2cos2－1＝－，故选D．‎ ‎(2)∵sin α＋cos β＝1，①‎ cos α＋sin β＝0，②‎ ‎∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，‎ ‎∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，‎ ‎∴sin(α＋β)＝－.‎ ‎(3)cos α＝，α∈，∴sin α＝，∴tan α＝7；‎ cos β＝，β∈，∴sin β＝，∴tan β＝；‎ ‎∴tan 2β＝＝，∴tan(α＋2β)＝＝－1，‎ ‎∵α∈，β∈，∴α＋2β∈，∴α＋2β＝.]‎ ‎【教师备选】‎ ‎(1)设α∈，β∈，且tan α＝，则下列结论中正确的是(　　 )‎ A．2α－β＝ B．2α＋β＝ C．α－β＝ D．α＋β＝ ‎(2)(2018·西安模拟)设α为锐角，若cos＝－，则sin的值为(　　‎ ‎ )‎ A． B． C．－ D． ‎(1)C　(2)B　[(1)tan α＝＝＝＝＝＝tan，∵α∈，β＋∈，∴α＝β＋，选C．‎ ‎(2)∵α为锐角，若cos＝－，‎ 设β＝α＋，∵0＜α＜，＜α＋＜， ‎ ‎∴sin β＝，sin 2β＝2sin βcos β＝－，‎ cos 2β＝2cos2β－1＝－，‎ ‎∴sin＝sin＝sin ‎＝sin 2βcos －cos 2βsin ＝×－×＝.故选B．]‎ ‎[方法归纳]　三角函数式化简求值的“三看”原则 (1)看“角”：分析未知角与已知角间的差别与联系，实现角的合理拆分；‎ (2)看“名”：常采用切化弦或诱导公式实现函数名称的统一；‎ (3)看“形”，常借助和、差、倍、半角公式实现三角函数式的形式统一.‎ ‎■对点即时训练·‎ ‎1.(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)‎ A． B． C． D．1‎ B　[由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.由题意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.]‎ ‎2．(2018·成都二诊)若tan ＝，则cos 2α＋sin 2α＝(　　 )‎ A．－ B．－ C． D． C　[∵tan ＝，∴tan α＝＝＝，‎ ‎∴cos 2α＋sin 2α＝＝＝＝，故选C．]‎ ‎【教师备选】‎ 若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　 )‎ A． B． C．或 D．或 A　[因为α∈，所以2α∈，又sin 2α＝，故2α∈，α∈ ，所以cos 2α＝－，又β∈，故β－α∈，于是cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝，‎ 且α＋β∈，‎ 故α＋β＝，故选A．]‎ 题型2　三角函数的图象与解析式 ‎(对应学生用书第10页)‎ ‎■核心知识储备·‎ ‎1．“五点法”作图 设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．‎ ‎2．图象变换 ‎■高考考法示例·‎ ‎【例2】　(1)(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)‎ A．x＝－(k∈Z)　　　 B．x＝＋(k∈Z)‎ C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)‎ ‎(2)(2018·葫芦岛二模)已知函数f(x)＝sinωx＋(0＜ω＜2)满足条件：f(－)＝0，为了得到y＝f(x)的图象，可将函数g(x)＝cos ωx的图象向右平移m个单位长度(m＞0)，则m的最小值为(　　)‎ A．1 B． C． D． ‎(1)B　(2)A　[(1)将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin 2＝2sin的图象．由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．‎ ‎(2)由题意，得sin＝0，所以－ω＋＝kπ(k∈Z)，结合0＜ω＜2，得ω＝，所以f(x)＝sin＝cos＝cos，所以只需将函数g(x)＝cos x的图象向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y＝f(x)的图象，故选A．]‎ ‎[方法归纳]‎ ‎1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋Β(Α＞0，ω＞0)解析式的方法 字母 确定途径 说　明 A、B 由最值确定 A＝，B＝ ω 由函数的周期确定 利用图象中最高、最低点与x轴交点的横坐标确定周期 φ 由图象上的特殊点确定 代入图象上某一个已知点的坐标，表示出φ后，利用已知范围求φ ‎2.三角函数图象的平移问题 ‎(1)当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时，首先要将函数名称统一．‎ ‎(2)将y＝sin ωx(ω＞0)的图象变换成y＝sin(ωx＋φ)的图象时，应把ωx＋φ变换成ω，根据确定平移量的大小，根据的符号确定平移的方向．‎ ‎■对点即时训练·‎ ‎1．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)‎ A．ω＝，φ＝　　 B．ω＝，φ＝－ C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝ A　[∵f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，‎ ‎∴f(x)的最小正周期为4＝3π，‎ ‎∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.‎ ‎∴2sin＝2，‎ 得φ＝2kπ＋，k∈Z.‎ 又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.]‎ ‎2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的部分图象如图212，则S＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＋f(2 019)等于(　　 )‎ 图212‎ A．3 B．2 016‎ C．2 018 D．2 019‎ D　[由题设中提供的图象信息可知解得A＝，b＝1，T＝4⇒ω＝＝，‎ 所以f(x)＝sin＋1，‎ 又f(0)＝sin＋1＝sin φ＋1＝1⇒sin φ＝0，可得φ＝2kπ(k∈Z)，所以f(x)＝sinx＋1，由于周期T＝4，‎ ‎2 019＝504×4＋3，且f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，‎ 所以S＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＋f(2 019)＝2 016＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝2 016＋3＝2 019，故选D．]‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　 )‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ D　[因为y＝sin＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos.故选D．]‎ 题型3　三角函数的性质及应用 ‎(对应学生用书第11页)‎ ‎■核心知识储备·‎ ‎1．三角函数的单调区间 y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是 eq lc[ c](avs4alco1(2kπ＋f(π,2)，2kπ＋f(3π,2)))(k∈Z)；y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tan x的单调递增区间是(k∈Z)．‎ ‎2．三角函数的对称性 y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．‎ y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．‎ y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．‎ ‎3．三角函数的最值 ‎(1)y＝asin x＋bcos x＋c型函数的最值：‎ 通过引入辅助角φ可将此类函数的最值问题转化为y＝sin(x＋φ)＋c的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解．‎ ‎(2)y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x型函数的最值：‎ 可利用降幂公式sin2x＝，sin xcos x＝，cos2x＝，将y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x转化为y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C，这样就可将其转化为(1)的类型来求最值．‎ ‎■高考考法示例·‎ ‎►角度一　与三角函数有关的最值问题 ‎【例3－1】　(1)(2018·辽宁六校协作体联考)已知函数f(x)＝cos(2x－φ)－sin(2x－φ)的图象向右平移个单位后关于y轴对称，则f(x)在区间上的最小值为(　　 )‎ A．－1　　 B． C．－ D．－2‎ ‎(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．‎ ‎(1)C　(2)1　[(1)f(x)＝cos(2x－φ)－sin(2x－φ)＝2cos的图象向右平移个单位后，可得y＝2cos＝2cos2x－φ＋的图象，根据所得图象关于y轴对称，可得－φ＋＝kπ，k∈Z，故φ＝.‎ f(x)＝2cos.在区间上，2x＋∈，cos∈，故f(x)的最小值为－，故选C．‎ ‎(2)f(x)＝1－cos2x＋cos x－ ‎＝－2＋1.‎ ‎∵x∈，∴cos x∈[0,1]，‎ ‎∴当cos x＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.]‎ ‎【教师备选】‎ 已知函数f(x)＝4cos ωxsin(ω>0)的最小正周期是π.‎ ‎(1)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间；‎ ‎(2)求f(x)在上的最大值和最小值．‎ ‎[解]　(1)f(x)＝4cos ωx·sin ‎＝2sin ωxcos ωx－2cos2ωx＋1－1‎ ‎＝sin 2ωx－cos 2ωx－1‎ ‎＝2sin－1，‎ 最小正周期是＝π，‎ 所以ω＝1，‎ 从而f(x)＝2sin－1.‎ 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，‎ 解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)在(0，π)上的单调递增区间为和.‎ ‎(2)当x∈时，∈，‎ ‎2sin∈，‎ 所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－1.‎ ‎►角度二　三角函数性质的判断 ‎【例3－2】　(1)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　 )‎ A．f(x)在单调递减 B．f(x)在单调递减 C．f(x)在单调递增 D．f(x)在单调递增 ‎(2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)‎ A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．f(x)在单调递减 ‎(3)(2018·吉林模拟)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x ‎)的最小正周期为________．‎ ‎(1)A　(2)D　(3) π　[(1)法一：f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)‎ ‎＝sin，‎ ‎∵T＝＝π，‎ ‎∴ω＝2.‎ 又f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，∴φ＋＝kπ＋，φ＝kπ＋，k∈Z.又|φ|＜，∴φ＝，‎ ‎∴f(x)＝sin＝cos 2x，‎ 令2kπ＜2x＜2kπ＋π得kπ＜x＜kπ＋，k∈Z.‎ ‎∴f(x)在上单调递减，故选A．‎ 法二：由f(x)＝sin知T＝＝π，‎ ‎∴ω＝2.又∵f(x)为偶函数，∴φ＋＝，∴φ＝.‎ ‎∴f(x)＝cos 2x，依据图象特征可得f(x)在上单调递减．‎ ‎(2)A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．‎ B项，因为f(x)＝cos图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确．‎ C项，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确．‎ D项，因为f(x)＝cos的递减区间为(k∈Z)，递增区间为(k∈Z)，所以是减区间，是增区间，D项错误．故选D．‎ ‎(3)结合图象得＝－，即T＝π.]‎ ‎【教师备选】‎ 已知向量m＝(sin ωx,1)，n＝(cos ωx，cos2ωx＋1)，设函数f(x)＝m·n＋b.‎ ‎(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f(x)的单调增区间；‎ ‎(2)在(1)的条件下，当x∈时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．‎ ‎[解]　m＝(sin ωx,1)，n＝(cos ωx，cos2ωx＋1)，‎ f(x)＝m·n＋b＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋1＋b ‎＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＋b＝sin＋＋b.‎ ‎(1)∵函数f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ ‎∴2ω·＋＝kπ＋(k∈Z)，‎ 解得ω＝3k＋1(k∈Z)，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，‎ ‎∴f(x)＝sin＋＋b，‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin＋＋b，‎ ‎∵x∈，∴2x＋∈，‎ ‎∴当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递增；‎ 当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递减．‎ 又f(0)＝f ，‎ ‎∴当f >0≥f 或f ＝0时，函数f(x)有且只有一个零点．‎ 即sin ≤－b－