数学卷·2018届湖北省鄂州二中高二上学期10月月考数学试卷（解析版） 18页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年湖北省鄂州二中高二（上）10月月考数学试卷 ‎　‎ 一．选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.）‎ ‎1．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，先采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（　　）‎ A．15、5、25 B．15、15、15 C．10、5、30 D．15、10、20‎ ‎2．经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（　　）‎ A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=0‎ ‎3．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8‎ ‎4．执行如图的程序框图，则输出S的值为（　　）‎ A．2 B．﹣3 C． D．‎ ‎5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（　　）‎ A．若m∥n，m⊂β，则n∥β B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥β，α⊥β，则m∥α ‎6．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（　　）‎ A．AG⊥△EFH所在平面 B．AH⊥△EFH 所在平面 C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面 ‎7．某国际物流有限公司所属危险品仓库发生特大爆炸，某地区选出600名消防官兵参与灾区救援，设其编号为001，002，…，600，为打通生命通道，先采用系统抽样方法抽出50名为先遣部队，且随机抽得的一个号码为003，这600名官兵来源于不同的县市，从001到300来自A市，从301到495来自B市，从496到600来自C市，则三个市被抽中的人数依次为（　　）‎ A．26，16，8 B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9‎ ‎8．自圆x2+y2﹣2x﹣6y+9=0外一点P（5，0）向该圆引切线，切点分别为A，B，过A，B的直线方程为（　　）‎ A．3x+4y﹣20=0 B．4x+3y﹣4=0 C．3x﹣4y﹣15=0 D．4x﹣3y+4=0‎ ‎9．网上大型汽车销售点销售某品牌A型汽车，在2015双十一期间，进行了降价促销，改型汽车的价格与月销量之间有如下关系：‎ 价格（万元）‎ ‎25‎ ‎23.5‎ ‎22‎ ‎20.5‎ 销售量（辆）‎ ‎30‎ ‎33‎ ‎36‎ ‎39‎ 已知A型汽车的购买量y与价格x符合如下线先回归方程： =x+80，若A型汽车价格降到19万元，预测月销量大约是（　　）‎ A．39 B．42 C．45 D．50‎ ‎10．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（　　）‎ A．2x+y﹣5=0 B．2x+y﹣7=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．x﹣2y﹣7=0‎ ‎12．P（x，y）是圆x2+（y﹣1）2=1上任意一点，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1﹣，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．（﹣1﹣，﹣1） D．（﹣∞，﹣﹣1）‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）‎ ‎13．如图所示的程序运行的结果为　　．‎ ‎14．已知圆O：x2+y2=9上到直线l：a（x+4）+by=0（a，b是实数）的距 离为1的点有且仅有2个，则直线l斜率的取值范围是　　．‎ ‎15．有专业机构认为甲型H7N9禽流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是　　．‎ ‎（填上所有正确的序号）‎ ‎①甲地：总体均值为6，中位数为8‎ ‎②乙地：总体均值为5，方差不超过12‎ ‎③丙地：中位数为5，众数为6‎ ‎④丁地：众数为5，极差不超过10．‎ ‎16．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）‎ ‎17．已知△ABC的三边AB、BC、AC所在的直线方程分别为3x﹣4y+7=0，2x+3y﹣1=0，5x﹣y﹣11=0‎ ‎（1）求顶点A的坐标；‎ ‎（2）求BC边上的高所在直线的方程．‎ ‎18．某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（保留小数点后一位小数）‎ ‎（3）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民该月的人均用水量．（保留小数点后一位小数）‎ ‎19．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．‎ ‎（文）（1）求证：AC⊥BF；‎ ‎（2）求证：BF⊥平面ACFD ‎（理）（1）求证：BF⊥平面ACFD ‎（2）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．‎ ‎20．已知圆C：（x﹣2）2+y2=1．‎ ‎（1）求：过点P（3，m）与圆C相切的切线方程；‎ ‎（2）若点Q是直线x+y﹣6=0上的动点，过点Q作圆C的切线QA，QB，其中A，B为切点，求：四边形QACB面积的最小值及此时点Q的坐标．‎ ‎21．如图，四棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．‎ ‎（1）证明MN∥平面PAB ‎（2）（文）求四面体N﹣BCM的体积．‎ ‎（理）求二面角N﹣AM﹣C的正切值．‎ ‎22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．‎ ‎（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省鄂州二中高二（上）10月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.）‎ ‎1．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，先采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（　　）‎ A．15、5、25 B．15、15、15 C．10、5、30 D．15、10、20‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．‎ ‎【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，‎ 则在高一年级抽取的人数是300×=15人，高二年级抽取的人数是200×=10人，‎ 高三年级抽取的人数是400×=20人，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（　　）‎ A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=0‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】求出圆的圆心坐标，直线的斜率，然后求解直线方程即可．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心（1，﹣1），与直线2x﹣y=0平行的直线的斜率为：2，‎ 所求直线方程为：y+1=2（x﹣1）．‎ ‎∴2x﹣y﹣3=0．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即 （x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，‎ 故弦心距d==．‎ 再由弦长公式可得 2﹣a=2+4，∴a=﹣4，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．执行如图的程序框图，则输出S的值为（　　）‎ A．2 B．﹣3 C． D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环计算S的值，并在循环变量k值大于等于2016时，输出累加结果．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 S=2，k=1，S=﹣3，‎ 不满足条件k≥2016，k=2，S=﹣，‎ 不满足条件k≥2016，k=3，S=，‎ 不满足条件k≥2016，k=4，S=2，‎ 不满足条件k≥2016，k=5，S=﹣3，‎ ‎…‎ 观察规律可知，S的取值周期为4，由于2016=504×4，可得 不满足条件k≥2016，k=2016，S=2，‎ 满足条件k≥2016，满足退出循环的条件，‎ 故输出的S值为2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（　　）‎ A．若m∥n，m⊂β，则n∥β B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥β，α⊥β，则m∥α ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】对于选项A，若m∥n，m⊂β则n∥β，可通过线面平行的判定定理进行判断 对于选项B，可通过线面平行的性质定理进行判断；‎ 对于选项C，可通过面面平行的判定条件进行判断；‎ 对于选项D，可通过线面位置关系判断．‎ ‎【解答】解：A不正确，m∥n，m⊂β，由于n可能在β内，故推不出n∥β；‎ B不正确，m∥α，α∩β=n，m不一定在β内，故不能推出m∥n；‎ C正确，垂直于同一条直线的两个平面平行；‎ D不正确，m⊥β，α⊥β，由于m⊂α的可能性存在，故m∥α不正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（　　）‎ A．AG⊥△EFH所在平面 B．AH⊥△EFH 所在平面 C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面 ‎【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】本题为折叠问题，分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得HA、HE、HF三者相互垂直，根据线面垂直的判定定理，可判断AH与平面HEF的垂直．‎ ‎【解答】解：根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；‎ ‎∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；‎ ‎∵AG⊥EF，EF⊥AH，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，‎ ‎∴C不正确；‎ ‎∵HG不垂直于AG，∴HG⊥平面AEF不正确，D不正确．‎ 故选B ‎　‎ ‎7．某国际物流有限公司所属危险品仓库发生特大爆炸，某地区选出600名消防官兵参与灾区救援，设其编号为001，002，…，600，为打通生命通道，先采用系统抽样方法抽出50名为先遣部队，且随机抽得的一个号码为003，这600名官兵来源于不同的县市，从001到300来自A市，从301到495来自B市，从496到600来自C市，则三个市被抽中的人数依次为（　　）‎ A．26，16，8 B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样的定义求出号码间隔即可得到结论．‎ ‎【解答】解：号码间隔为600÷50=12，‎ 则随机抽的号码为003，‎ 则构成一个等差数列，通项公式为3+12（n﹣1）=12n﹣9，‎ 由1≤12n﹣9≤300，即1≤n≤25，共有25人，‎ 由301≤12n﹣9≤495，即26≤n≤42，共有17人，‎ 由496≤12n﹣9≤600，即43≤n≤50，共有8人，‎ 故三个市被抽中的人数依次为25，17，8，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．自圆x2+y2﹣2x﹣6y+9=0外一点P（5，0）向该圆引切线，切点分别为A，B，过A，B的直线方程为（　　）‎ A．3x+4y﹣20=0 B．4x+3y﹣4=0 C．3x﹣4y﹣15=0 D．4x﹣3y+4=0‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】先求出以PC中点为圆心，PC长为直径的圆的方程，再让两圆做差，即可求出公共弦所在直线方程．‎ ‎【解答】解：设已知圆圆心为C（1，3），则|PC|==2r ‎∴‎ ‎∴P，A，B，C四点共圆的方程为 与已知圆相减得：4x﹣3y+4=0即为所求．‎ ‎　‎ ‎9．网上大型汽车销售点销售某品牌A型汽车，在2015双十一期间，进行了降价促销，改型汽车的价格与月销量之间有如下关系：‎ 价格（万元）‎ ‎25‎ ‎23.5‎ ‎22‎ ‎20.5‎ 销售量（辆）‎ ‎30‎ ‎33‎ ‎36‎ ‎39‎ 已知A型汽车的购买量y与价格x符合如下线先回归方程： =x+80，若A型汽车价格降到19万元，预测月销量大约是（　　）‎ A．39 B．42 C．45 D．50‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】求出b，即可预测月销售量．‎ ‎【解答】解： =（25+23.5+22+20.5）=22.75， =（30+33+36+39）=34.5，‎ ‎∵=x+80，‎ ‎∴34.5=×22.75+80，‎ ‎∴≈﹣2，‎ x=19，y=19×2+80=42．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】连结ND，取ND的中点E，连结ME，推导出异面直线AN，CM所成角就是∠EMC，通解三角形，能求出结果．‎ ‎【解答】解：连结ND，取ND的中点E，连结ME，‎ 则ME∥AN，∴∠EMC是异面直线AN，CM所成的角，‎ ‎∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，‎ 又∵EN⊥NC，∴EC==，‎ ‎∴cos∠EMC===，‎ ‎∴异面直线AN，CM所成的角的余弦值为．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（　　）‎ A．2x+y﹣5=0 B．2x+y﹣7=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．x﹣2y﹣7=0‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】由题意画出图形，可得点（3，1）在圆（x﹣1）2+y2=r2上，求出圆心与切点连线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=r2的切线有且只有一条，‎ ‎∴点（3，1）在圆（x﹣1）2+y2=r2上，‎ 连接圆心与切点连线的斜率为k=，‎ ‎∴切线的斜率为﹣2，‎ 则圆的切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣3），即2x+y﹣7=0．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．P（x，y）是圆x2+（y﹣1）2=1上任意一点，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1﹣，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．（﹣1﹣，﹣1） D．（﹣∞，﹣﹣1）‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；二元一次不等式（组）与平面区域．‎ ‎【分析】设出圆的参数方程为x=cosα，y=sinα+1，代入x+y+c≥0中解出c大于等于一个式子，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域求出这个式子的最大值，令c大于等于这个最大值，即可求出c的范围．‎ ‎【解答】解：设圆上任一点P的坐标为（cosα，sinα+1），即x=cosα，y=sinα+1，‎ 则x+y+c=cosα+sinα+1+c= [cosα+sinα]+1+c ‎=sin（）+1+c≥0，即c≥﹣1﹣sin（），‎ 又因为﹣1≤sin（）≤1，‎ 所以得到：﹣1﹣≤﹣1﹣sin（）≤﹣1+，则c≥﹣1+．‎ 故选B ‎　‎ 二．填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）‎ ‎13．如图所示的程序运行的结果为　6　．‎ ‎【考点】伪代码．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=100﹣10﹣9﹣…≤70时，n的值．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是累加并输出满足条件S=100﹣10﹣9﹣…≤70时，n的值．‎ 第1次循环：S=100﹣10 n=9‎ 第2次循环：S=100﹣10﹣9 n=8‎ 第3次循环：S=100﹣10﹣9﹣8 n=7‎ 第4次循环：S=100﹣10﹣9﹣8﹣7≤70 n=6‎ 此时，n≤70‎ 输出n=6‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎14．已知圆O：x2+y2=9上到直线l：a（x+4）+by=0（a，b是实数）的距 离为1的点有且仅有2个，则直线l斜率的取值范围是　　．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】由题意，圆心到直线的距离大于2，则＞2，即可求出直线l斜率的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意，圆心到直线的距离大于2，则＞2，‎ 解得﹣∈．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．有专业机构认为甲型H7N9禽流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是　②④　．‎ ‎（填上所有正确的序号）‎ ‎①甲地：总体均值为6，中位数为8‎ ‎②乙地：总体均值为5，方差不超过12‎ ‎③丙地：中位数为5，众数为6‎ ‎④丁地：众数为5，极差不超过10．‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】根据题意，说明甲、丙都不符合题意，乙用反证法说明符合题意 ‎【解答】解：对于①，均值为6，中位数为8，不能保证10个数据中每个数据都不超过15，‎ 对于②，均值为5，方差为12时，假设有一个数据为16，其余数据均相等，‎ 则16+9x=10×5x≈4s= [（16﹣5）2+9×（4﹣5）2]=13＞12，‎ ‎∴假设不成立，即所有数据不超过15，符合题意；‎ ‎③不能保证10个数据中每个数据不超过15，‎ ‎④符合题意．‎ 故答案为：②④．‎ ‎　‎ ‎16．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为　　．‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】求出P点轨迹是圆x2+y2=4，题意即圆M：（x﹣a）2+（y﹣a）2=1与圆x2+y2=4有公共点，得到关于a的不等式求得答案．‎ ‎【解答】解：圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，‎ 则∠APO=30°，在Rt△PAO中，PO=2，P点轨迹是圆x2+y2=4‎ 题意即圆M：（x﹣a）2+（y﹣a）2=1与圆x2+y2=4有公共点．‎ ‎∴‎ ‎∴a∈．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）‎ ‎17．已知△ABC的三边AB、BC、AC所在的直线方程分别为3x﹣4y+7=0，2x+3y﹣1=0，5x﹣y﹣11=0‎ ‎（1）求顶点A的坐标；‎ ‎（2）求BC边上的高所在直线的方程．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程．‎ ‎【分析】（1）把直线方程联立解得交点A的坐标；‎ ‎（2）设BC边上的高所在直线的方程为3x﹣2y+m=0，代入点A，求出m，即可得出BC边上的高所在直线的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由条件得x=3，y=4，‎ 所以A（3，4）；‎ ‎（2）设BC边上的高所在直线的方程为3x﹣2y+m=0，‎ A代入可得9﹣8+m=0，‎ 所以m=﹣1，‎ 所以BC边上的高所在直线的方程为3x﹣2y﹣1=0．‎ ‎　‎ ‎18．某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（保留小数点后一位小数）‎ ‎（3）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民该月的人均用水量．（保留小数点后一位小数）‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出a．‎ ‎（2）由频率分布直方图分别求出用水量在[0.5，1）、[1，1.5）、[1.5，2）、[2，2.5）、[2.5，3）、[3，3.5）、[3.5，4）、[4，4.5）的频率，从而得到为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，由此能求出w至少定为2.8立方米．‎ ‎（3）利用频率分布直方图能估计该市居民该月的人均用水量．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布直方图，得：（3a+0.2+2×0.3+0.4+0.5）×0.5=1，‎ 解得a=0.1．‎ ‎（2）由频率分布直方图得：‎ 用水量在[0.5，1）的频率为0.1，‎ 用水量在[1，1.5）的频率为0.15，‎ 用水量在[1.5，2）的频率为0.2，‎ 用水量在[2，2.5）的频率为0.25，‎ 用水量在[2.5，3）的频率为0.15，‎ 用水量在[3，3.5）的频率为0.05，‎ 用水量在[3.5，4）的频率为0.05，‎ 用水量在[4，4.5）的频率为0.05，‎ ‎∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，‎ ‎∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，‎ ‎∴w至少定为2.8立方米．‎ ‎（3）估计该市居民该月的人均用水量为：‎ ‎1×0.1+1.5×0.15+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3+0.05×（3.5+4+4.5）=2.4（立方米）．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．‎ ‎（文）（1）求证：AC⊥BF；‎ ‎（2）求证：BF⊥平面ACFD ‎（理）（1）求证：BF⊥平面ACFD ‎（2）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】文（1）过F作FG⊥BC，垂足为G，则FG⊥平面ABC，故FG⊥AC，结合AC⊥BC得出AC⊥平面BCFE，于是AC⊥BF；‎ ‎（2）利用勾股定理计算BF，得出BF⊥FC，结合AC⊥BF得出BF⊥平面ACFD；‎ 理（1）参考文（1），（2）即可；‎ ‎（2）∠BDF为直线BD与平面ACFD所成角，在Rt△BDF中计算cos∠BDF．‎ ‎【解答】解：（文）（1）过F作FG⊥BC，垂足为G，‎ ‎∵平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC=BC，FG⊥BC，FG⊂平面BCFE，‎ ‎∴FG⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，‎ ‎∴AC⊥FG，又AC⊥BC，BC⊂平面BCFE，FG⊂平面BCFE，BC∩FG=G，‎ ‎∴AC⊥平面BCFE，又BF⊂平面BCFE，‎ ‎∴AC⊥BF．‎ ‎（2）∵四边形BCFE是等腰梯形，BE=EF=FC=1，BC=2，‎ ‎∴CG=（BC﹣EF）=，BG=，FG==，‎ ‎∴BF==，‎ ‎∴BF2+FC2=BC2，∴BF⊥FC，‎ 又BF⊥AC，FC⊂平面ACFD，AC⊂平面ACFD，AC∩FC=C，‎ ‎∴BF⊥平面ACFD．‎ ‎（理）（1）同文（2），‎ ‎（2）∵BF⊥平面ACFD，‎ ‎∴∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角，‎ ‎∵，∴DF=，BD==．‎ ‎∴cosBDF==，‎ 所以直线BD与平面ACFD所成的角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．已知圆C：（x﹣2）2+y2=1．‎ ‎（1）求：过点P（3，m）与圆C相切的切线方程；‎ ‎（2）若点Q是直线x+y﹣6=0上的动点，过点Q作圆C的切线QA，QB，其中A，B为切点，求：四边形QACB面积的最小值及此时点Q的坐标．‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】（1）当m=0时，P在圆上，则切线方程为x=3；当m≠0时，设过点P（3，m）与圆C相切的切线方程为：‎ y﹣m=k（x﹣3）．即kx﹣y+m﹣3k=0．再由直线与圆相切的条件：d=r，求出k，注意k不存在的情况也成立；‎ ‎（2）由图象求得四边形QACB的面积为S=2×QA•AC=QA，当QA最小时，S最小，由勾股定理知只要求得QC的最小，可经过C作直线x+y﹣6=0的垂线，垂足即为所求．运用点到直线的距离公式，即可得到最小值．‎ ‎【解答】解：（1）当m=0时，P在圆上，则切线方程为x=3；‎ 当m≠0时，设过点P（3，m）与圆C相切的切线方程为：‎ y﹣m=k（x﹣3）．即kx﹣y+m﹣3k=0．‎ 则由直线与圆相切得，d=r，即有=1，‎ 解得k=，即y=x+，‎ 显然x=3也是切线方程．‎ 故m=0时，切线方程为x=3；当m≠0时，切线方程为x=3或 y=x+；‎ ‎（2）由图象可知AC=BC=1，AQ=BQ，四边形QACB的面积为S=2×QA•AC=QA，‎ 当QA最小时，S最小．在直角三角形QAC中，QA=，‎ 只要求得QC的最小，可经过C作直线x+y﹣6=0的垂线，垂足即为所求．‎ 由点到直线的距离公式，得C到直线的距离d==2，‎ 则此时QA=，故四边形QACB的面积的最小为．‎ 此时CQ：y=x﹣2，∴Q（4，2）．‎ ‎　‎ ‎21．如图，四棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．‎ ‎（1）证明MN∥平面PAB ‎（2）（文）求四面体N﹣BCM的体积．‎ ‎（理）求二面角N﹣AM﹣C的正切值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）证线面平行，可找线线平行，也可找面面平行．‎ ‎（2）文：在梯形ABCD中计算出△BCM的面积，四面体的高为N到平面BCM的距离，意题意，高为PA的一半，用三棱锥的体积公式求得四面体N﹣BCM的体积．‎ 理：找出二面角的平面角，解构造的直角三角形即可．‎ ‎【解答】解：（1）解法一：‎ 由已知得AM=AD=2，取BP的中点T，连接AT，TN，‎ 由N为PC 的中点，‎ 知TN∥BC，TN=BC=2 …3分 又AD∥BC，故TN平行且等于AM，‎ ‎∴四边形AMNT为平行四边形，‎ ‎∴MN∥AT 又∵AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，‎ ‎∴MN∥平面PAB．…6分 解法二：‎ 取BC的中点E，连接EN，EM，则BE=2‎ 由已知得AM=AD=2，‎ ‎∴AM=BE ‎ ‎∵AD∥BC ‎∴AM平行且等于BE．‎ ‎∴四边形ABEM为平行四边形，‎ ‎∴EM∥AB …①…2分 又N，E分别为PC，BC的中点 ‎∴NE∥PB …②…3分 由①，②且EM∩NE=E，AB∩PB=B，‎ ‎∴平面MEN∥平面PBA，…5分 又 MN⊂平面MEN，‎ ‎∴MN∥平面PAB．…6分 ‎（2）（文）因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，‎ ‎∴N到平面ABCD的距离为…‎ 取BC的中点E，连结AE．由AB=AC=3得AE⊥BC，AE==．‎ 由AM∥BC得M到BC的距离为，故S△BCM==． …10分 ‎∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM=×=…‎ ‎（理）过点N作AC的垂线交AC于H点，则H为AC中点，‎ ‎∴NH∥PA ‎∴NH⊥平面ABCD．‎ 过H作AD垂线，垂足为K，‎ 三垂线定理知AD⊥HK 则∠NKH为所求，‎ NH=2，KH==，所求正切值为．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．‎ ‎（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．‎ ‎【考点】圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；‎ ‎（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）联立得：，‎ 解得：，‎ ‎∴圆心C（3，2）．‎ 若k不存在，不合题意；‎ 若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，‎ 解得：k=0或k=﹣，‎ 则所求切线为y=3或y=﹣x+3；‎ ‎（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知： =2，‎ 化简得：x2+（y+1）2=4，‎ ‎∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，‎ 又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），‎ ‎∴圆C与圆D的关系为相交或相切，‎ ‎∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，‎ ‎∴1≤≤3，‎ 解得：0≤a≤．‎ ‎　‎