2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第二篇 第14练 58页

第二篇　重点专题分层练 ， 中高档题得高分 第 14 练　空间点、线、面的位置关系 [ 小题提速练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度：空间线面关系的判断；空间中的平行、垂直关系；利用空间的平行、垂直关系求解空间角 . 2 . 题目难度：中档难度 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一　空间线面位置关系的判断 方法技巧 　 (1) 判定两直线异面的方法 ① 反证法； ② 利用结论：过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 . (2) 模型法判断线面关系：借助空间几何模型，如长方体、四面体等观察线面关系，再结合定理进行判断 . 核心考点突破练 (3) 空间图形中平行与垂直的实质是转化思想的体现，要掌握以下的常用结论 ① 平面图形的平行关系：平行线分线段成比例、平行四边形的对边互相平行； ② 平面图形中的垂直关系：等腰三角形的底边上的中线和高重合、菱形的对角线互相垂直、圆的直径所对圆周角为直角、勾股定理 . 1. 已知直线 a 与平面 α ， β ， α ∥ β ， a ⊂ α ，点 B ∈ β ，则在 β 内过点 B 的所有直线中 A. 不一定存在与 a 平行的直线 B. 只有两条与 a 平行的直线 C. 存在无数条与 a 平行的直线 D. 存在唯一一条与 a 平行的直线 √ 解析　 在平面内过一点，只能作一条直线与已知直线平行 . 答案 解析 2. 若 M ， N 分别是 △ ABC 边 AB ， AC 的中点，则 MN 与过直线 BC 的平面 β 的位置关系是 A. MN ∥ β B. MN 与 β 相交或 MN ⊂ β C. MN ∥ β 或 MN ⊂ β D. MN ∥ β 或 MN 与 β 相交或 MN ⊂ β √ 解析　 若平面 β 是 △ ABC 所在的平面， 则 MN ⊂ β . 若 MN ⊄ β ，则 MN ∥ β . 故选 C. 答案 解析 3. 将正方体的纸盒展开如图，直线 AB ， CD 在原正方体的位置关系是 A. 平行 B . 垂直 C. 相交成 60° 角 D. 异面且成 60° 角 √ 解析　 如图，直线 AB ， CD 异面 . 因为 CE ∥ AB ， 所以 ∠ ECD 即为异面直线 AB ， CD 所成的角， 因为 △ CDE 为等边三角形 ， 故 ∠ ECD ＝ 60°. 答案 解析 4. 已知 α ， β 表示平面， m ， n 表示直线， m ⊥ β ， α ⊥ β ，给出下列四个结论： ① ∀ n ⊂ α ， n ⊥ β ； ② ∀ n ⊂ β ， m ⊥ n ； ③ ∀ n ⊂ α ， m ∥ n ； ④ ∃ n ⊂ α ， m ⊥ n . 则上述结论中正确的序号为 ______. 解析　 由于 m ⊥ β ， α ⊥ β ，所以 m ⊂ α 或 m ∥ α . ∀ n ⊂ α ， n ⊥ β 或 n 与 β 斜交或 n ∥ β ，所以 ① 不正确； ∀ n ⊂ β ， m ⊥ n ，所以 ② 正确； ∀ n ⊂ α ， m 与 n 可能平行、相交或异面，所以 ③ 不正确； 当 m ⊂ α 或 m ∥ α 时， ∃ n ⊂ α ， m ⊥ n ，所以 ④ 正确 . 答案 解析 ②④ 考点二　空间角的求解 方法技巧 　 (1) 对于两条异面直线所成的角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置 . (2) 直线和平面所成的角的求解关键是找出或作出过斜线上一点的平面的垂线，得到斜线在平面内的射影 . √ 答案 解析 解析　 方法一　如图，在长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的一侧补上一个相同的长方体 A ′ B ′ BA － A 1 ′ B 1 ′ B 1 A 1 . 连接 B 1 B ′ ，由长方体性质可知， B 1 B ′∥ AD 1 ， 所以 ∠ DB 1 B ′ 为异面直线 AD 1 与 DB 1 所成的角或其补角 . 方法二　如图，以点 D 为坐标原点 ，分别 以 DA ， DC ， DD 1 所在直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系 D － xyz . 6. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑 . 如图，在鳖臑 ABCD 中， AB ⊥ 平面 BCD ，且 AB ＝ BC ＝ CD ，则异面直线 AC 与 BD 所成的角的余弦值为 √ 答案 解析 解析　 如图所示，分别取 AB ， AD ， BC ， BD 的中点 E ， F ， G ， O ，连接 EF ， FO ， OG ， GE ， GF ， 则 EF ∥ BD ， EG ∥ AC ， FO ⊥ OG ， ∴∠ FEG 或其补角为异面直线 AC 与 BD 所成的角 . 设 AB ＝ 2 a ， ∴△ EFG 是等边三角形， ∴∠ FEG ＝ 60° ， 7. 已知 E ， F 分别是正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的棱 BB 1 ， AD 的中点，则直线 EF 和平面 BDD 1 B 1 所成的角的正弦值是 √ 答案 解析 解析　 连接 AE ， BD ，过点 F 作 FH ⊥ BD 交 BD 于 H ， 连接 EH ，则 FH ⊥ 平面 BDD 1 B 1 ， ∴∠ FEH 是直线 EF 和平面 BDD 1 B 1 所成的角 . 设正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 2 ， ∵ E ， F 分别是棱 BB 1 ， AD 的中点， ∴ 在 Rt △ DFH 中， DF ＝ 1 ， ∠ FDH ＝ 45° ， 8. 在正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AB ＝ 4 ，点 D 在棱 BB 1 上，若 BD ＝ 3 ，则 AD 与平面 AA 1 C 1 C 所成角的正切值为 答案 解析 √ 解析　 如图，取 AC 的中点 E ，连接 BE ， 考点三　空间线、面关系的综合问题 方法技巧 　解决与翻折有关的问题的两个关键 (1) 要明确翻折前后的变化量和不变量 . 一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化 . (2) 在解决问题时，要比较翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形 . 9. 在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别是 AD ， DD 1 的中点， AB ＝ 4 ，则过 B ， E ， F 的平面截该正方体所得的截面周长为 √ 答案 解析 解析　 ∵ 正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别是棱 AD ， DD 1 的中点， ∴ EF ∥ AD 1 ∥ BC 1 . ∵ EF ⊄ 平面 BCC 1 B 1 ， BC 1 ⊂ 平面 BCC 1 B 1 ， ∴ EF ∥ 平面 BCC 1 B 1 . 由正方体的棱长为 4 ， 10. 如图，四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ＝ CD ＝ 1 ， BD ＝ ， BD ⊥ CD . 将四边形 ABCD 沿对角线 BD 拆成四面体 A ′ － BCD ，使平面 A ′ BD ⊥ 平面 BCD ，则下列结论正确的是 A. A ′ C ⊥ BD B. ∠ BA ′ C ＝ 90° C. CA ′ 与平面 A ′ BD 所成的角为 30° D. 四面体 A ′ － BCD 的体积为 √ 答案 解析 解析　 若 A 成立可得 BD ⊥ A ′ D ，产生矛盾，故 A 不正确； 由题干知 △ BA ′ D 为等腰直角三角形 ， CD ⊥ 平面 A ′ BD ， 得 BA ′ ⊥ 平面 A ′ CD ， 所以 BA ′⊥ A ′ C ，于是 B 正确； 由 CA ′ 与平面 A ′ BD 所成的角为 ∠ CA ′ D ＝ 45° 知 C 不正确； V A ′ － BCD ＝ V C － A ′ BD ＝ ， D 不正确，故选 B. √ 答案 解析 解析　 由题意，初始状态直线 AD 与直线 BC 所成的角为 0 ， 又 DC ∩ DB ＝ D ， ∴ AD ⊥ 平面 DBC ， 又 BC ⊂ 平面 DBC ，所以 AD ⊥ BC ， 12. 如图，已知六棱锥 P － ABCDEF 的底面是正六边形， PA ⊥ 平面 ABC ， PA ＝ 2 AB ， 则下列结论中： ① PB ⊥ AE ； ② 平面 ABC ⊥ 平面 PBC ； ③ 直线 BC ∥ 平面 PAE ； ④∠ PDA ＝ 45°. 正确的为 ______( 把所有正确的序号都填上 ). ①④ 答案 解析 解析　 由 PA ⊥ 平面 ABC ， AE ⊂ 平面 ABC ，得 PA ⊥ AE ， 又由正六边形的性质得 AE ⊥ AB ， PA ∩ AB ＝ A ，得 AE ⊥ 平面 PAB ， ∵ PB ⊂ 平面 PAB ， ∴ PB ⊥ AE ， ∴① 正确； 由正六边形的性质计算可得 PA ＝ AD ， 故 △ PAD 是等腰直角三角形， ∴∠ PDA ＝ 45° ， ∴④ 正确 . 1. α ， β 是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定 α ∥ β 的是 A. α ， β 都平行于直线 l ， m B. α 内有三个不共线的点到 β 的距离相等 C. l ， m 是 α 内的两条直线且 l ∥ β ， m ∥ β D. l ， m 是两条异面直线且 l ∥ α ， m ∥ α ， l ∥ β ， m ∥ β 易错易混专项练 √ 解析　 对于 A ， l ， m 应相交； 对于 B ，应考虑三个点在 β 的同侧或异侧两种情况； 对于 C ， l ， m 应相交，故选 D. 答案 解析 2. 给出下列命题： ① 若平面 α 内的直线 a 与平面 β 内的直线 b 为异面直线，直线 c 是 α 与 β 的交线，那么 c 至多与 a ， b 中的一条相交； ② 若直线 a 与 b 异面，直线 b 与 c 异面，则直线 a 与 c 异面； ③ 一定存在平面 α 同时和异面直线 a ， b 都平行 . 其中正确的命题为 A. ① 　　　　 B . ② 　　　　 C . ③ 　　　　 D . ①③ √ 解析　 ① 错， c 可与 a ， b 都相交； ② 错，因为 a ， c 也可能相交或平行； ③ 正确，例如过异面直线 a ， b 的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即满足条件 . 答案 解析 3. (2018· 长沙模拟 ) 如图所示，在直角梯形 BCEF 中， ∠ CBF ＝ ∠ BCE ＝ 90° ， A ， D 分别是 BF ， CE 上的点， AD ∥ BC ，且 AB ＝ DE ＝ 2 BC ＝ 2 AF ( 如图 1). 将四边形 ADEF 沿 AD 折起，连接 AC ， CF ， BE ， BF ， CE ( 如图 2) ，在折起的过程中，下列说法错误的是 A. AC ∥ 平面 BEF B. B ， C ， E ， F 四点不可能共面 C. 若 EF ⊥ CF ，则平面 ADEF ⊥ 　 平面 ABCD D. 平面 BCE 与平面 BEF 可能垂直 √ 答案 解析 解析　 A 选项，连接 BD ，交 AC 于点 O ，取 BE 的中点 M ，连接 OM ， FM ， 则四边形 AOMF 是平行四边形，所以 AO ∥ FM ，因为 FM ⊂ 平面 BEF ， AC ⊄ 平面 BEF ，所以 AC ∥ 平面 BEF ； B 选项，若 B ， C ， E ， F 四点共面，因为 BC ∥ AD ，所以 BC ∥ 平面 ADEF ，又 BC ⊂ 平面 BCEF ，平面 BCEF ∩ 平面 ADEF ＝ EF ，所以可推出 BC ∥ EF ，又 BC ∥ AD ，所以 AD ∥ EF ，矛盾； C 选项，连接 FD ，在平面 ADEF 内，由勾股定理可得 EF ⊥ FD ，又 EF ⊥ CF ， FD ∩ CF ＝ F ，所以 EF ⊥ 平面 CDF ，所以 EF ⊥ CD ，又 CD ⊥ AD ， EF 与 AD 相交，所以 CD ⊥ 平面 ADEF ，所以平面 ADEF ⊥ 平面 ABCD ； D 选项， 延长 AF 至 G ，使 AF ＝ FG ，连接 BG ， EG ，可得平面 BCE ⊥ 平面 ABF ， 且平面 BCE ∩ 平面 ABF ＝ BG ，过 F 作 FN ⊥ BG 于 N ，则 FN ⊥ 平面 BCE ， 若平面 BCE ⊥ 平面 BEF ，则过 F 作直线与平面 BCE 垂直，其垂足在 BE 上，矛盾 . 解题秘籍 　 (1) 线面关系的判断要结合空间模型 ( 如长方体、正四面体等 ) 或实例，以定理的结论为依据进行推理，而不能主观猜想 . (2) 两条异面直线所成角求解关键是通过平移作出所求角，要注意两条异面直线所成角的范围是 (0° ， 90°]. 高考押题冲刺练 1. 已知直线 a ∥ 平面 α ，则 “ 直线 a ⊥ 平面 β ” 是 “ 平面 α ⊥ 平面 β ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 若直线 a ⊥ 平面 β ，直线 a ∥ 平面 α ，可得平面 α ⊥ 平面 β ； 若平面 α ⊥ 平面 β ，又直线 a ∥ 平面 α ，那么直线 a ⊥ 平面 β 不一定成立 . 如正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中，平面 ABCD ⊥ 平面 BCC 1 B 1 ， 直线 AD ∥ 平面 BCC 1 B 1 ，但直线 AD ⊂ 平面 ABCD ； 直线 AD 1 ∥ 平面 BCC 1 B 1 ，但直线 AD 1 与平面 ABCD 不垂直 . 综上， “ 直线 a ⊥ 平面 β ” 是 “ 平面 α ⊥ 平面 β ” 的充分不必要条件 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 在下列四个正方体中，能得出异面直线 AB ⊥ CD 的是 解析　 对于 A ，作出过 AB 的平面 ABE ，如图 ① ，可得直线 CD 与 平面 ABE 垂直 ， 根据线面垂直的性质知 ， AB ⊥ CD 成立 ， 故 A 正确 ； 对于 B ，作出过 AB 的等边三角形 ABE ，如图 ② ，将 CD 平移至 AE ，可得 CD 与 AB 所成的角等于 60° ，故 B 不成立； 对于 C ， D ，将 CD 平移至经过点 B 的侧棱处，可得 AB ， CD 所成的角都是锐角，故 C 和 D 均不成立 . 故选 A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 3. 已知 m ， n 是两条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面，给出四个命题： ① 若 α ∩ β ＝ m ， n ⊂ α ， n ⊥ m ，则 α ⊥ β ； ② 若 m ⊥ α ， m ⊥ β ，则 α ∥ β ； ③ 若 m ⊥ α ， n ⊥ β ， m ⊥ n ，则 α ⊥ β ； ④ 若 m ∥ α ， n ∥ β ， m ∥ n ，则 α ∥ β . 其中正确的命题是 A. ①② B . ②③ C. ①④ D . ③④ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况， ① 不正确； 垂直于同一条直线的两个平面平行， ② 正确； 当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故 ③ 正确； 当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故 ④ 不正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(2017· 全国 Ⅲ ) 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 为棱 CD 的中点，则 A. A 1 E ⊥ DC 1 B. A 1 E ⊥ BD C. A 1 E ⊥ BC 1 D. A 1 E ⊥ AC √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 方法一　如图， ∵ A 1 E 在平面 ABCD 上的射影为 AE ，而 AE 不与 AC ， BD 垂直， ∴ B ， D 错； ∵ A 1 E 在平面 BCC 1 B 1 上的射影为 B 1 C ，且 B 1 C ⊥ BC 1 ， ∴ A 1 E ⊥ BC 1 ，故 C 正确； ( 证明：由条件易知， BC 1 ⊥ B 1 C ， BC 1 ⊥ CE ， 又 CE ∩ B 1 C ＝ C ， ∴ BC 1 ⊥ 平面 CEA 1 B 1 . 又 A 1 E ⊂ 平面 CEA 1 B 1 ， ∴ A 1 E ⊥ BC 1 ) ∵ A 1 E 在平面 DCC 1 D 1 上的射影为 D 1 E ，而 D 1 E 不与 DC 1 垂直，故 A 错 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法二　 ( 空间向量法 ) 建立如方法一图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. (2016· 全国 Ⅰ ) 平面 α 过正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的顶点 A ， α ∥ 平面 CB 1 D 1 ， α ∩ 平面 ABCD ＝ m ， α ∩ 平面 ABB 1 A 1 ＝ n ，则 m ， n 所成角的正弦值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 √ 解析　 如图所示，设平面 CB 1 D 1 ∩ 平面 ABCD ＝ m 1 ， ∵ α ∥ 平面 CB 1 D 1 ，则 m 1 ∥ m ， 又 ∵ 平面 ABCD ∥ 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 ， 平面 CB 1 D 1 ∩ 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 ＝ B 1 D 1 ， ∴ B 1 D 1 ∥ m 1 ， ∴ B 1 D 1 ∥ m ，同理可得 CD 1 ∥ n . 故 m ， n 所成角的大小与 B 1 D 1 ， CD 1 所成角的大小相等，即 ∠ CD 1 B 1 的大小 . 而 B 1 C ＝ B 1 D 1 ＝ CD 1 ( 均为面对角线 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图，在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， M ， N ， P ， Q 分别是 AA 1 ， A 1 D 1 ， CC 1 ， BC 的中点，给出以下四个结论： ① A 1 C ⊥ MN ； ② A 1 C ∥ 平面 MNPQ ； ③ A 1 C 与 PM 相交； ④ NC 与 PM 异面 . 其中不正确的结论是 A. ① B . ② C . ③ D . ④ √ 解析　 作出过 M ， N ， P ， Q 四点的截面交 C 1 D 1 于点 S ， 交 AB 于点 R ，如 图中的六边形 MNSPQR ， 显然 点 A 1 ， C 分别位于这个平面的两侧， 故 A 1 C 与平面 MNPQ 一定相交，不可能平行，故结论 ② 不正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 连接 BD ， OB ， 则 OM ∥ DB ， ∴∠ PDB 或其补角为异面直线 OM 与 PD 所成的角 . 由已知条件可知 PO ⊥ 平面 ABCD ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形， E ， F 分别为 PA ， PD 的中点，在此几何体中，给出下面 4 个结论： ① 直线 BE 与直线 CF 异面； ② 直线 BE 与直线 AF 异面； ③ 直线 EF ∥ 平面 PBC ； ④ 平面 BCE ⊥ 平面 PAD . 其中正确的有 A.1 个 　　 B.2 个 　　 C.3 个 　　 D.4 个 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 将展开图还原为几何体 ( 如图 ) ， 因为 E ， F 分别为 PA ， PD 的中点 ， 所以 EF ∥ AD ∥ BC ，即直线 BE 与 CF 共面， ① 错 ； 因为 B ∉ 平面 PAD ， E ∈ 平面 PAD ， E ∉ AF ， 所以 BE 与 AF 是异面直线， ② 正确； 因为 EF ∥ AD ∥ BC ， EF ⊄ 平面 PBC ， BC ⊂ 平面 PBC ， 所以 EF ∥ 平面 PBC ， ③ 正确； 平面 PAD 与平面 BCE 不一定垂直， ④ 错 . 故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图， DC ⊥ 平面 ABC ， EB ∥ DC ， EB ＝ 2 DC ， P ， Q 分别为 AE ， AB 的中点 . 则直线 DP 与平面 ABC 的位置关系是 _____. 解析　 连接 CQ ， 在 △ ABE 中， P ， Q 分别是 AE ， AB 的中点， 所以 PQ ∥ BE ， PQ ＝ BE . 又 DC ∥ EB ， DC ＝ EB ， 所以 PQ ∥ DC ， PQ ＝ DC ， 所以 四边形 DPQC 为平行四边形，所以 DP ∥ CQ . 又 DP ⊄ 平面 ABC ， CQ ⊂ 平面 ABC ， 所以 DP ∥ 平面 ABC . 平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 10.(2018· 全国 Ⅱ ) 已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA ， SB 互相垂直， SA 与圆锥底面所成角为 30°. 若 △ SAB 的面积为 8 ，则该圆锥的体积为 ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8π 设圆锥的底面圆心为 O ，底面半径为 r ，高为 h ， 在 Rt △ SAO 中， ∠ SAO ＝ 30° ， 答案 解析 11. 如图，在正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F ， G ， H 分别为棱 AA 1 ， B 1 C 1 ， C 1 D 1 ， DD 1 的中点， 则 GH 与平面 EFH 所成的角的余弦值为 ______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 连接 B 1 E ， HC 1 ， 平面 EFH 即平面 B 1 C 1 HE . 在正方体 AC 1 中， B 1 C 1 ⊥ 平面 CDD 1 C 1 ， 故平面 B 1 C 1 HE ⊥ 平面 CDD 1 C 1 ， 过 点 G 作 GM ⊥ C 1 H 于 M ， 则 GM ⊥ 平面 B 1 C 1 HE ，则 ∠ C 1 HG 即为 GH 与平面 EFH 所成的角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 ①③④ 解析　 作出折叠后的几何体直观图如图所示 . ∵ A 点在平面 BCDE 上的射影为点 D ， ∴ AD ⊥ 平面 BCDE . ∵ BC ⊂ 平面 BCDE ， ∴ AD ⊥ BC . ∵ 四边形 BCDE 是正方形， ∴ BC ⊥ CD ， 又 AD ∩ CD ＝ D ， AD ， CD ⊂ 平面 ACD ， ∴ BC ⊥ 平面 ADC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又 BC ⊂ 平面 ABC ， ∴ 平面 ABC ⊥ 平面 ADC ，故 ④ 正确； ∵ DE ∥ BC ， ∴∠ ABC 或其补角为 AB 与 DE 所成的角， ∵ BC ⊥ 平面 ADC ， AC ⊂ 平面 ADC ， ∴ BC ⊥ AC ， 连接 BD ， CE ，则 CE ⊥ BD ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又 AD ⊥ 平面 BCDE ， CE ⊂ 平面 BCDE ， ∴ CE ⊥ AD . 又 BD ∩ AD ＝ D ， BD ， AD ⊂ 平面 ABD ， ∴ CE ⊥ 平面 ABD ， 又 AB ⊂ 平面 ABD ， ∴ CE ⊥ AB . 故 ② 错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12