2018届二轮复习高考中的概率与统计问题课件（江苏通用） 53页

高考专题突破六 高考中的概率与统计问题 考点自测 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 考点自测 1.(2017· 淮 安 月考 ) 一射手对同一目标进行 4 次射击，且射击结果之间互不影响 . 已知至少命中一次的概率 为 ， 则此射手的命中率为 ____. 答案 解析 答案 解析 2. 在可行域内任取一点，其规则如流程图所示，则能输出数对 ( x ， y ) 的概率是 ____. 依题意可行域为正方形， 3. 红、蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这 6 枚棋子按车、马、炮顺序排成一列，记事件 “ 每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后 ” 为事件 A ，则事件 A 发生的概率为 ___. 红、蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这 6 枚棋子按车、马、炮顺序排成一列，基本事件总数 n ＝ 2 × 2 × 2 ＝ 8. 每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后为事件 A ， 则事件 A 包含的基本事件个数 m ＝ 1 ， 答案 解析 4.(2016· 连云港模拟 ) 甲、乙、丙三人站成一排照相，则甲、乙两人相邻而站的概率为 ___. 甲、乙、丙三人随机地站成一排有 ( 甲乙丙 ) ， ( 甲丙乙 ) ， ( 乙甲丙 ) ， ( 乙丙甲 ) ， ( 丙甲乙 ) ， ( 丙乙甲 ) ，共 6 种排法，由概率计算公式得， 答案 解析 答案 解析 5. 为了从甲、乙两名运动员中选拔一人参加某次运动会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 6 次，得到茎叶图如图所示 . 从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派 ____( 填甲或乙 ) 运动员合适 . 甲 题型分类　深度剖析 例 1 　 (1)(2016· 山东 ) 在 [ － 1,1 ] 上随机地取一个数 k ，则事件 “ 直线 y ＝ kx 题型一　古典概型与几何概型 由已知得，圆心 (5,0) 到直线 y ＝ kx 的距离小于半径， 答案 解析 与圆 ( x － 5) 2 ＋ y 2 ＝ 9 相交 ” 发生的概率为 ___ ． (2) 若任意 x ∈ A ， 则 ∈ A ，就称 A 是 “ 和谐 ” 集合，则在集合 M ＝ { } 的所有非空子集中， “ 和谐 ” 集合的概率 是 ___ ． 答案 解析 由题意， “ 和谐 ” 集合中不含 0 和 4 ， 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏 . 思维 升华 跟踪 训练 1 (1)(2016· 江苏 ) 将一颗质地均匀的骰子 ( 一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具 ) 先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 __. 答案 解析 基本事件共有 36 个 . 列举如下： (1,1) ， (1,2) ， (1,3) ， (1,4) ， (1,5) ， (1,6) ， (2,1) ， (2,2) ， (2,3) ， (2,4) ， (2,5) ， (2,6) ， (3,1) ， (3,2) ， (3,3) ， (3,4) ， (3,5) ， (3,6) ， (4,1) ， (4,2) ， (4,3) ， (4,4) ， (4,5) ， (4,6) ， (5,1) ， (5,2) ， (5,3) ， (5,4) ， (5,5) ， (5,6) ， (6,1) ， (6,2) ， (6,3) ， (6,4) ， (6,5) ， (6,6) ，其中满足点数之和小于 10 的有 30 个 . 故所求概率为 P ＝ . . 答案 解析 题型二 　概率与统计的综合应用 例 2 　经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元 . 根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示 . 经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品 . 以 X ( 单位 ： t，100 ≤ X ≤ 150) 表示下一个销售季度内的市场需求量， T ( 单位：元 ) 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 . (1) 将 T 表示为 X 的函数； 当 X ∈ [100,130) 时， T ＝ 500 X － 300(130 － X ) ＝ 800 X － 39 000. 当 X ∈ [130,150] 时， T ＝ 500 × 130 ＝ 65 000. 解答 (2) 根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率； 由 (1) 知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120 ≤ X ≤ 150. 由直方图知需求量 X ∈ [120,150] 的频率为 0.7 ， 所 以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7 . 解答 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点 . 它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生，将他们的期中考试数学成绩 ( 满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数 ) 分成六段： [40,50) ， [50,60) ， … ， [90,100] 后得到如图所示的频率分布直方图 . 解答 (1) 求图中实数 a 的值； 由已知，得 10 × (0.005 ＋ 0.010 ＋ 0.020 ＋ a ＋ 0.025 ＋ 0.010) ＝ 1 ，解得 a ＝ 0.03. (2) 若该校高一年级共有 640 人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数 ； 根据 频率分布直方图，可知成绩不低于 60 分的频率为 1 － 10 × (0.005 ＋ 0.010) ＝ 0.85. 由于该校高一年级共有学生 640 人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数为 640 × 0.85 ＝ 544. 解答 (3) 若从数学成绩在 [40,50) 与 [90,100] 两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生，求这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率 . 解答 易知成绩在 [40,50) 分数段内的人数为 40 × 0.05 ＝ 2 ，这 2 人分别记为 A ， B ； 成绩在 [90,100] 分数段内的人数为 40 × 0.1 ＝ 4 ， 这 4 人分别记为 C ， D ， E ， F . 若从数学成绩在 [40,50) 与 [90,100] 两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生， 则所有的基本事件有 ( A ， B ) ， ( A ， C ) ， ( A ， D ) ， ( A ， E ) ， ( A ， F ) ， ( B ， C ) ， ( B ， D ) ， ( B ， E ) ， ( B ， F ) ， ( C ， D ) ， ( C ， E ) ， ( C ， F ) ， ( D ， E ) ， ( D ， F ) ， ( E ， F ) ，共 15 个 . 如果 2 名学生的数学成绩都在 [ 40,50 ) 分数段内或都在 [90,100] 分数段内， 那么这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10. 如果一个成绩在 [ 40,50 ) 分数段内，另一个成绩在 [ 90,100 ] 分数段内， 那么这 2 名学生的数学成 绩之差的绝对值一定大于 10 . 记 “ 这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 ” 为事件 M ， 则 事件 M 包含的基本事件有 ( A ， B ) ， ( C ， D ) ， ( C ， E ) ， ( C ， F ) ， ( D ， E ) ， ( D ， F ) ， ( E ， F ) ，共 7 个 ， 故 所求概率 P ( M ) ＝ . 课时作业 1.(2016· 陕西西北工业大学附中二模 ) 甲、乙两人进行两种游戏，两种游戏规则如下： 游戏 Ⅰ ：口袋中有质地、大小完全相同的 5 个球，编号分别为 1,2,3,4,5 ，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢 . 游戏 Ⅱ ：口袋中有质地、大小完全相同的 6 个球，其中 4 个白球、 2 个红球，由裁判有放回地摸两次球，即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次，摸出两球同色算甲赢，摸出两球不同色算乙赢 . (1) 求游戏 Ⅰ 中甲赢的概率； 解 答 1 2 3 4 5 6 ∵ 游戏 Ⅰ 中有放回地依次摸出两球的基本事件有 5 × 5 ＝ 25( 个 ) ，其中甲赢有 (1,1) ， (1,3) ， (1,5) ， (3,1) ， (3,3) ， (3,5) ， (5,1) ， (5,3) ， (5,5) ， (2,2) ， (2,4) ， (4,4) ， (4,2) ，共 13 个基本事件， ∴ 游戏 Ⅰ 中甲赢的概率为 P ＝ . 1 2 3 4 5 6 (2) 求游戏 Ⅱ 中乙赢的概率，并比较这两种游戏哪种游戏更公平，请说明理由 . 解 答 设 4 个白球为 a ， b ， c ， d, 2 个红球为 A ， B ，则游戏 Ⅱ 中有放回地依次摸出两球，基本事件有 6 × 6 ＝ 36( 个 ) ，其中乙赢有 ( a ， A ) ， ( b ， A ) ， ( c ， A ) ， ( d ， A ) ， ( a ， B ) ， ( b ， B ) ， ( c ， B ) ， ( d ， B ) ， ( A ， a ) ， ( A ， b ) ， ( A ， c ) ， ( A ， d ) ， ( B ， a ) ， ( B ， b ) ， ( B ， c ) ， ( B ， d ) ，共 16 个基本事件， 1 2 3 4 5 6 2. 在等差数列 { a n } 和等比数列 { b n } 中， a 1 ＝ b 1 ＝ 1 ， b 4 ＝ 8 ， { a n } 的前 10 项和 S 10 ＝ 55. (1) 求 a n 和 b n ； 解 答 1 2 3 4 5 6 设数列 { a n } 的公差为 d ，数列 { b n } 的公比为 q . 解得 d ＝ 1 ， q ＝ 2 ，所以 a n ＝ n ， b n ＝ 2 n － 1 . (2) 现分别从 { a n } 和 { b n } 的前 3 项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率 . 解 答 1 2 3 4 5 6 分别从 { a n } 和 { b n } 的前 3 项中各随机抽取一项，得到的基本事件有 (1,1) ， (1,2) ， (1,4) ， (2,1) ， (2,2) ， (2,4) ， (3,1) ， (3,2) ， (3,4) ，共 9 个 . 符合题意的基本事件有 (1,1) ， (2,2) ，共 2 个 . 3. 一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有 1,2,3,4 四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为 b ， c . (1) z ＝ ( b － 3) 2 ＋ ( c － 3) 2 ，求 z ＝ 4 的概率； 解 答 1 2 3 4 5 6 因为是投掷两次，因此基本事件 ( b ， c ) ： (1,1) ， (1,2) ， (1,3) ， (1,4) ， (2,1) ， (2,2) ， (2,3) ， (2,4) ， (3,1) ， (3,2) ， (3,3) ， (3,4) ， (4,1) ， (4,2) ， (4,3) ， (4,4) ，共 16 个 . 当 z ＝ 4 时， ( b ， c ) 的所有取值为 (1,3) ， (3,1) ， 1 2 3 4 5 6 (2) 若方程 x 2 － bx － c ＝ 0 至少有一根 x ∈ {1,2,3,4} ，就称该方程为 “ 漂亮方程 ” ，求方程为 “ 漂亮方程 ” 的概率 . 解 答 1 2 3 4 5 6 ① 若方程一根为 x ＝ 1 ，则 1 － b － c ＝ 0 ， 即 b ＋ c ＝ 1 ，不成立 . ② 若方程一根为 x ＝ 2 ，则 4 － 2 b － c ＝ 0 ， ③ 若方程一根为 x ＝ 3 ，则 9 － 3 b － c ＝ 0 ， ④ 若方程一根为 x ＝ 4 ，则 16 － 4 b － c ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 由 ①②③④ 知 ( b ， c ) 的所有可能取值为 (1,2) ， (2,3) ， (3,4) ， 1 2 3 4 5 6 4. 汽车是碳排放量比较大的行业之一 . 欧盟规定，从 2012 年开始，将对 CO 2 排放量超过 130 g /km 的 M Ⅰ 型新车进行惩罚 ( 视为排放量超标 ). 某检测单位对甲、乙两类 M Ⅰ 型品牌车各抽取 5 辆进行 CO 2 排放量检测，记录如下 ( 单位： g/ km) ： 1 2 3 4 5 6 甲 80 110 120 140 150 乙 100 120 x y 160 经测算发现，乙类品牌车 CO 2 排放量的平均值 为 乙 ＝ 120 g/km. 解 答 (1) 从被检测的 5 辆甲品牌车中任取 2 辆，则至少有一辆 CO 2 排放量超标的概率是多少？ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆，其 CO 2 排放量共有 10 种不同的结果： 80,110 ； 80,120 ； 80,140 ； 80,150 ； 110,120 ； 110,140 ； 110,150 ； 120,140 ； 120,150 ； 140,150. 设 “ 至少有一辆 CO 2 排放量超标 ” 为事件 A ，则事件 A 包含以下 7 种不同的结果： 80,140 ； 80,150 ； 110,140 ； 110,150 ； 120,140 ； 120,150 ； 140,150. ∴ P ( A ) ＝ . 解 答 (2) 若 90< x <130 ，试比较甲、乙两类品牌车 CO 2 排放量的稳定性 . 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 令 x － 120 ＝ t ， ∵ 90< x <130 ， ∴ － 30< t <10 ， 1 2 3 4 5 6 5. 某班甲、乙两名同学参加 100 米达标训练，在相同条件下两人 10 次训练的成绩 ( 单位：秒 ) 如下： 解 答   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 11.6 12.2 13.2 13.9 14.0 11.5 13.1 14.5 11.7 14.3 乙 12.3 13.3 14.3 11.7 12.0 12.8 13.2 13.8 14.1 12.5 (1) 请画出茎叶图 . 如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的 100 米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由 ( 不用计算，可通过统计图直接回答结论 ) ； 1 2 3 4 5 6 甲 、乙两人 10 次训练的成绩的茎叶图如图： 从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，乙成绩的稳定性更好，所以选派乙同学代表班级参加比赛更好 . 1 2 3 4 5 6 (2) 经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在 [11.5,14.5] 之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于 0.8 秒的概率 . 解 答 1 2 3 4 5 6 设甲同学的成绩为 x ，乙同学的成绩为 y ， 则 | x － y |<0.8 ， 得 x － 0.8< y <0.8 ＋ x ， 如图，阴影部分面积即为 3 × 3 － 2.2 × 2.2 ＝ 4.16 ， 则 P (| x － y |<0.8) ＝ P ( x － 0.8< y <0.8 ＋ x ) 1 2 3 4 5 6 *6.( 2016· 苏州模拟 ) 已知集合 P ＝ { x | x ( x 2 ＋ 10 x ＋ 24) ＝ 0} ， Q ＝ { y | y ＝ 2 n － 1,1 ≤ n ≤ 2 ， n ∈ N * } ， M ＝ P ∪ Q . 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 ( x ′ ， y ′ ) ，且 x ′∈ M ， y ′∈ M ，试计算： (1) 点 A 正好在第三象限的概率； 解 答 1 2 3 4 5 6 由集合 P ＝ { x | x ( x 2 ＋ 10 x ＋ 24) ＝ 0} ， 可得 P ＝ { － 6 ，－ 4,0} ， 由 Q ＝ { y | y ＝ 2 n － 1,1 ≤ n ≤ 2 ， n ∈ N * } ， 可得 Q ＝ {1,3} ， 则 M ＝ P ∪ Q ＝ { － 6 ，－ 4,0,1,3} ， 因为点 A 的坐标为 ( x ′ ， y ′ ) ，且 x ′∈ M ， y ′∈ M ，所以满足条件的点 A 的所有情况为 ( － 6 ，－ 6) ， ( － 6 ，－ 4) ， ( － 6,0) ， ( － 6,1) ， ( － 6,3) ， … ， (3,3) ，共 25 种 . 点 A 正好在第三象限的可能情况为 ( － 6 ，－ 6) ， ( － 6 ，－ 4) ， ( － 4 ，－ 6) ， ( － 4 ，－ 4) ，共 4 种， 1 2 3 4 5 6 解 答 (2) 点 A 不在 y 轴上的概率； 1 2 3 4 5 6 点 A 在 y 轴上的可能情况为 (0 ，－ 6) ， (0 ，－ 4) ， (0,0) ， (0,1) ， (0,3) ，共 5 种 ， 解 答 (3) 点 A 正好落在区域 x 2 ＋ y 2 ≤ 10 上的概率 . 1 2 3 4 5 6 点 A 正好落在区域 x 2 ＋ y 2 ≤ 10 上的可能情况为 (0,0) ， (1,0) ， (0,1) ， (3,1) ， (1,3) ， (3,0) ， (0,3) ， (1,1) ，共 8 种，故点 A 落在区域 x 2 ＋ y 2 ≤ 10 上的概率 P 3 ＝ .