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- 2021-06-15 发布
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云天化中学2016—2017学年度下学期阶段测试(一)
高二年级理科数学试卷
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合,,则( )
A. B. C. D.
(2)已知向量,,若,则实数的值是( )
A. B. C.-1 D.1
(3)设是两个不同的平面,是直线且,是的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(5)若,,,则( )
A. B. C. D.
(6)已知等比数列满足,则( )
A.84 B. 63 C.42 D.21
(7)设函数,则( )
A. 为的极大值点 B. 为的极小值点
C . 为的极大值点 D. 为的极小值点
(8)如图,矩形中,点在轴上,点的坐标为,且点与点在函数
的图像上.若在矩形内随机取一点,则此点取自
阴影部分的概率等于 ( )
A. B. C. D.
(9)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是边长为1的正三角形,为球的直径,且,则此棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
(10)已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
(11)已知抛物线与双曲线有相同的焦点,点是两曲线的一个交点,且轴,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
(12)已知函数,函数,其中.若函数恰有4个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
(13)已知实数满足不等式组则最大值是___________.
(14)执行如图所示的程序框图,则输出的___________.
(15)函数在点(1,0)处的切线方程是 .
(16)已知直线与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点,若,则___________.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分10分)
已知为的三内角,且其对边分别为,若.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,,求的面积.
(18)(本小题满分12分)
已知正项数列的前项和为,且是1与的等差中项.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和.
(19)(本小题满分12分)
某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动,随机对该市18~68岁的人群抽取一个容量为的样本,并将样本数据分成五组:
,再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组,第2组,…,第5组,绘制了样本的频率分布直方图;并对回答问题情况进行统计后,结果如下表所示.
(Ⅰ)分别求出,的值;
(Ⅱ)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人,则第2,3,4组每组应各抽取多少人?
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.
(20)(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形,, ,底面,,,是的中点.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.
(21)(本小题满分12分)
已知椭圆的一个顶点为,离心率为,直线与椭圆交于不同的两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当的面积为时,求的值.
(22)(本小题满分12分)
已知函数在处取得极值.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数在上的最小值;
(Ⅲ)求证:对任意,都有.
云天化中学2016—2017学年度下学期阶段测试(一)
高二年级理科数学试卷答案
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
B
D
B
A
B
C
D
B
A
C
D
D
1.解析:因为,所以,故选B.
2.解析:因为,所以,所以,故选D.
3.解析:由线面平行的性质定理可知答案为B.
4.解析:将三视图还原得到的四棱锥底面为矩形,一侧面垂直于底面,故
.故选A.
5.解析:由图像可得,故选B.
6.解析:因为,所以,所以42.故选C.
7.解析:,因为在为单调减函数,在为单调增函数,所以为的极小值. 故选D.
8. 解析:因为,所以矩形的面积为6,阴影部分的面积为,所以若在矩形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于,故选B.
9.解析:如图在三棱锥中,取的中心,的中点,连结,是的外心,所以,又是球心,所以,,,所以高,则,故选A.
10.解析:由得,故选C.
11. 解析:因为,所以代入双曲线,整理可得,即,所以,双曲线的离心率,所以,故选D.
12. 解析:函数恰有4个零点,即方程,即有4个不同的实数根,即直线与函数的图像有4个不同的交点.又作出函数的图像如图所示,由图可知,当时,直线与函数的图像有4个不同的交点,故函数恰有4个零点时,的取值范围是.故选D
二、填空题:
13. 2 14. -4 15. 16. 4
13. 解析:因为可行域为三角形,,所以将点A代入最大值是2,故填2.
14. 解析: ①;②;③;④,……,周期为3. .故填-4.
15. 解析:,,切线为.故填.
16. 解析:设圆心到直线的距离为,则弦长得即解得,则直线,数形结合可得.故填4.
三、解答题:
17. 解:(1)∵,
∴,又∵,∴.
∵,∴.-----------5分
(2)由余弦定理,
得,即,∴,
∴-------------10分
18. 解:(1)时,,
时,,又,两式相减得
,
∵,
∴,
∴是以为首项,为公差的等差数列,即.-------------6分
(2),
∴=.-----------12分
19. 解:(1)第1组人数,所以, ------- 1分
第2组频率为:,人数为:,所以, ------ 2分
第4组人数,所以, ------------ 3分
(2)第2,3,4组回答正确的人的比为,所以第2,3,4组每组应各依次抽取人,人,1人 ---------6
(3)记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A,抽取的6人中,第2组的设为,,第3组的设为,,,第4组的设为, 则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种,它们是:
,,,,,,,,,
,,,,,. ----- 8分
其中第2组至少有1人的情况有9种,他们是:A=,,,,,,,,. -------------- 9分
. -------------------------------- 11分
答:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为 ----------------- 12分
20. 解:(Ⅰ) 平面平面
因为,所以,所以,所以,又,所以平面.因为平面,所以平面平面.----------6分
(Ⅱ)如图,
以点为原点,分别为轴、轴、轴正方向,建立空间直角坐标系,则.设,则
取,则为面法向量.
设为面的法向量,则,
即,取,则
依题意,则.于是.
设直线与平面所成角为,则
即直线与平面所成角的正弦值为.-------------12分
21.解:(1),椭圆C: .----------4分
(2)设,则由消得.
∵直线过椭圆内点(1,0)
∴恒成立,由根与系数的关系得,------------8分
------------11分
即,解得。-----------12分
22.解:(1),
由已知得,即,解得。----------2分
(2),。
令得;令得,
所以函数在上单调递减,在上单调递增。
① 当时,在上单调递增,;
② 当时,,在上单调递减,在上单调递增,;
③ 当时,,在上单调递减,。
综上,在上的最小值------------8分
(3)由(2)知,,
令得。因为,
所以时,。
所以对任意都有--------------12分