数学文卷·2017届江西省重点中学协作体高三下学期第一次联考（2017 8页

江西省重点中学协作体2017届高三第一次联考 ‎2017.2‎ ‎ 数学（文科）试卷 考试用时：120分 全卷满分：150分 ‎ 一、选择题 (在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内,每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.为虚数单位，复数的虚部为（ ）‎ ‎ A． 1 B．0 C． D．以上都不对 4. 已知平面直角坐标系内的两个向量，，且平面内的任一向量都可以 ‎ ‎ 唯一的表示成（为实数），则的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4.已知，，，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知，则（ ）‎ ‎ A．12 B．6 C．4 D．2‎ ‎6.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，‎ ‎ ，…，，输出，，则（ ）‎ ‎ A．+为，，…，的和 ； ‎ ‎ B．和分别是，，…，中最小的数和最大的数 ； ‎ ‎ C．为，，…，的算术平均数； ‎ ‎ D．和分别是，，…，中最大的数和最小的数 .‎ ‎7.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）‎ ‎ 的几组对应数据如表所示：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ 若根据表中数据得出关于的线性回归方程为，若生产7吨产品，预计 ‎ 相应的生产能耗为（ ）吨.‎ ‎ A． 5.25 B． 5.15 C． 5.5 D．9.5‎ ‎8.设当时，函数取得最大值，则= (   )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9.设表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是(　 　)‎ A．若 则 B．若，则 C．若 则 D．若则 ‎10.过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为(   )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11.等差数列的前项和为，若公差，则（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12.我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道 :“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。其最著名之处是解决了“牟合方盖”中的体积问题，其核心过程为：如下图正方体 ，求图中四分之一圆柱体和四分之一圆柱体公共部分的体积 ，若图中正方体的棱长为2，则（ ） （在高度 处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为 ，截得正方体所得面积为 ，截得锥体所得面积为 ， ）‎ C1‎ A． B． ‎ C． D． ‎ 二、填空题(每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.,使得成立，则实数的取值范围为.‎ ‎14.已知等比数列满足：，，则.‎ ‎15.已知实数满足，若使得取得最小值的可行解有无数个，则实数 ‎ 的值为__________． ‎ 12. 已知双曲线的右焦点为设为双曲线上关于原点对称的 ‎ 两点，且满足，若直线的斜率为,则双曲线的离心率为 . ‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤)‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，是等腰直角三角形，,点在边的延长线上，且， ‎ ‎ . ‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）求的长.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图一，在边长为2的等边三角形中，、、分别是、、的 ‎ 中点，将沿折起，得到如图二所示的三棱锥，其中.‎ ‎ （1）证明：；‎ ‎ （2）求四棱锥的体积.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎ 某高校要了解在校学生的身体健康状况，随机抽取了50名学生进行心率测试，心率全部介于50次/分到75次/‎ 分之间，现将数据分成五组，第一组，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为:4:10.‎ ‎ （1）求的值.‎ ‎ （2）若从第一、第五组两组数据中随机抽取两名学生的心率，求这两个心率之差的绝对值大于5的概率.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．‎ ‎ （1）求椭圆的方程；‎ 18. 分别为椭圆的左、右顶点，动点满足，直线与椭圆交于点（与 ‎ 点不重合），以为直径的圆交线段于点，求证：直线过定点．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎ 设是定义在上的函数，若存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的函数.‎ ‎ (1)已知为上的函数，求的取值范围；‎ ‎ （2）设，其中，判断是否为上的函数？‎ ‎ （3）已知为上的函数，求的取值范围. ‎ 四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 ‎ ‎ ，曲线（为参数）.‎ ‎ (1)求曲线的直角坐标方程；‎ ‎ （2）若曲线与曲线相交于、两点，求的值.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的最小值为，且，求的 ‎ 取值范围.‎ 江西省重点中学协作体2017届高三第一次联考 ‎ 数学（文科）答案 ‎ BACC BDAD DBBA 13.或 14. 15. 或 16.‎ ‎17.解：（1）因为为等腰直角三角形，所以，‎ 又，所以， ………………………………………………3分 在中，由正弦定理得 ‎，即………………………………6分 （2） 设，则，在中：‎ ‎ ，即，‎ ‎ ，即 ……………………………………………………12分 ‎18.解：（1）∵平面BDC ‎ ‎ 且BC 平面 BDC …………………………………………6分 ‎ （2）在中，，‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴ ………………………12分 （2） 解：（1）因为第二组数据的频率为 0.032×5=0.16，故第二组的频数为0.16×50=8，‎ ‎ 第一组的频数为2，第三组的频数为20，第四组的频数为16，第五组的频数为4‎ ‎ 所以 2=50-20-16-8-4=2. …………………………………………6分 ‎ (2) 第一组的数据有2个，第五组的数据有4个，故总的基本事件有15个，‎ ‎ 符合题意的基本事件有8个，‎ ‎ 所以这两个心率之差的绝对值大于5的概率. ………………………12分 ‎20.解：（1）由题知，原点到直线的距离 ‎ ‎ 又，则 ‎ ∴椭圆方程为 ……………………………………5分 ‎（2）设，则直线的方程为：‎ ‎ 联立消去得， ……………………7分 ‎ ，则 ‎ ‎ 故 ………………………………9分 ‎ 又以为直径的圆上与线段交于点，则 ‎ ‎ 故直线方程为，即 ‎ ∴直线过定点． ………………………………………………………12分 ‎21.解：（1），令………3分 ‎ 又在上为单调递增，在上单调递减，‎ ‎ 为函数…………………………………………………4分 ‎（2），‎ ‎ 在上为单调递减，……………………………………………………6分 ‎ 又， ，使得，‎ ‎ 在上为单调递增，在上单调递减，‎ ‎ 是上的函数 ……………………………………………8分 ‎（3） 方程的判别式为 ‎ 当即时，恒成立，‎ ‎ 此时时，，单调递减；时，，单调递增；‎ ‎ 故不是函数。 ……………………………………………………9分 ‎ 当即时，‎ ‎ 方程的两根分别为，‎ ‎ 显然，且 ‎ 在和上为减,在和上为增 ‎ 所以是在(且)上的函数.‎ ‎ 综上所述，若为上的函数，则的取值范围为…………12分 ‎22.解：(1)由 ，‎ ‎ 所以曲线的直角坐标方程为： …………………………5分 ‎ （2）联解，‎ ‎ 设，为方程的两根，有，‎ ‎ ……………………………………10分 23. 解：(1)‎ ‎ 的解集为 ………………………………………5分 ‎ （2）由条件得，当且仅当时， ‎ ‎ 其最小值，即．‎ ‎ 又，‎ ‎ 故的取值范围为 ‎ 此时，．……………………………………………10分