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- 2021-06-15 发布
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课时分层训练(十二) 实际问题的函数建模
(对应学生用书第188页)
A组 基础达标
(建议用时:30分钟)
一、选择题
1.(2018·福州模拟)在某个物理试验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-0.99
0.01
0.98
2.00
则对x,y最适合的拟合函数是( )
A.y=2x B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=log2 x
D [根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B、C;将各数据代入函数y=log2 x,可知满足题意.]
2.(2018·东城模拟)某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动,商场内所有商品先按标价打八折,折后价格每满500元再减100元,如某商品标价1 500元,则购买该商品的实际付款额为1 500×0.8-200=1 000元.设购买某商品的实际折扣率=×100%,某人欲购买标价为2 700元的商品,那么他可以享受的实际折扣率约为( ) 【导学号:00090056】
A.55% B.65%
C.75% D.80%
B [当购买标价为2 700元的商品时,
产品的八折后价格为:2 700×0.8=2 160,
故实际付款:2 160-400=1 760,
故购买某商品的实际折扣率为:×100%≈65%,故选B.]
3.一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图292甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.
图292
给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水,则一定正确的是( )
A.① B.①②
C.①③ D.①②③
A [由甲、乙两图知,进水速度是出水速度的,所以0点到3点不出水,3点到4点也可能一个进水口进水,一个出水口出水,但总蓄水量降低,4点到6点也可能两个进水口进水,一个出水口出水,一定正确的是①.]
4.(2018·衡阳模拟)将出货单价为80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就要减少20个,为了赚得最大利润,每个售价应定为( )
A.85元 B.90元
C.95元 D.100元
C [设每个售价定为x元,则利润y=(x-80)·[400-(x-90)·20]=-20[(x-95)2-225],
∴当x=95时,y最大.]
5.将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有 L,则m的值为( )
A.5 B.8
C.9 D.10
A [∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等,
∴函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=a,
可得n=ln,∴f(t)=a· ,
因此,当k min后甲桶中的水只有 L时,
f(k)=a·=a,即=,
∴k=10,
由题可知m=k-5=5,故选A.]
二、填空题
6.在如图293所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________m.
图293
20 [设内接矩形另一边长为y,则由相似三角形性质可得=,解得y=40-x,所以面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0<x<40),当x=20时,Smax=400.]
7.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,至少应过滤________次才能达到市场要求.(已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
8 [设过滤n次才能达到市场要求,
则2%n≤0.1%,即n≤,
所以nlg≤-1-lg 2,所以n≥7.39,所以n=8.]
8.(2018·成都模拟)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.
【导学号:00090057】
24 [由已知条件,得192=eb,∴b=ln 192.又∵48=e22k+b=e22k+ln 192=192e22k=192(e11k)2,∴e11k===.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时,则t=e33k+ln 192=192e33k=192(e11k)3=192×3=24.]
三、解答题
9.(2018·抚顺模拟)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).
(1)求f(50)的值;
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?
[解] (1)∵甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元, 1分
∴f(50)=80+4+×150+120=277.5万元. 3分
(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250, 4分
依题意得⇒20≤x≤180, 6分
故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180). 7分
令t=∈[2,6],则f(x)=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,
9分
当t=8,即x=128时,f(x)max=282万元. 11分
所以投入甲大棚128万元,乙大棚72万元时,总收益最大,且最大收益为282万元. 12分
10.国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30人或30人以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30人,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75人为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;
(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?
[解] (1)设旅行团人数为x,由题得00).
(1)如果m=2,求经过多少时间,物体的温度为5 ℃;
(2)若物体的温度总不低于2 ℃,求m的取值范围.
[解] (1)若m=2,则θ=2·2t+21-t=2,
当θ=5时,2t+=, 2分
令2t=x(x≥1),则x+=,
即2x2-5x+2=0,
解得x=2或x=(舍去),
∴2t=2,即t=1,
∴经过1 min,物体的温度为5 ℃. 5分
(2)物体的温度总不低于2 ℃,即θ≥2恒成立,
即m·2t+≥2恒成立,
亦即m≥2恒成立. 7分
令=x,则0