【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第9讲对数与对数函数学案 10页

第9讲　对数与对数函数 ‎1.对数 概念 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫作以a为底N的　　　　,记作x=logaN,其中a叫作对数的底数,N叫作真数,logaN叫作对数式 ‎ 性质 底数的限制:a>0,且a≠1‎ 对数式与指数式的互化:ax=N⇔　　　 ‎ 负数和零没有　　　 ‎ loga1=　　　 ‎ logaa=1‎ 对数恒等式:alogaN=　　　 ‎ 运算法则 loga(M·N)=　　　 ‎ a>0,且a≠1,‎ M>0,N>0‎ logaMN=　　　 ‎ logaMn=　　　　(n∈R) ‎ 换底公式 换底公式:logab=logcblogca(a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0)‎ 推论:logambn=　　　　,logab= ‎‎1‎logba ‎2.对数函数的概念、图像与性质 概念 函数y=logax(a>0,a≠1)叫作　　　　函数 ‎ 底数 a>1‎ ‎00,且a≠1)与对数函数　　　　　　互为反函数,它们的图像关于直线　　　　对称. ‎ 常用结论 ‎1.互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称.‎ ‎2.只有在定义域上单调的函数才存在反函数. ‎ 题组一　常识题 ‎1.[教材改编] 化简logablogbclogca的结果是　　　　. ‎ ‎2.[教材改编] 函数f(x)=log2(2-x)的定义域是　　　　. ‎ ‎3.[教材改编] 若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数,则f(2)=　　　　. ‎ ‎4.[教材改编] 函数y=log‎1‎‎2‎(x2-4x+5)的单调递增区间是　　　　. ‎ 题组二　常错题 ‎◆索引:对数的性质及其运算掌握不到位;忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质;忽略对底数的讨论致误.‎ ‎5.有下列结论:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若lg x=1,则x=10;④若log22=x,则x=1;⑤若logmn·log3m=2,则n=9.其中正确结论的序号是　　　　　　. ‎ ‎6.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则xy=　　　　. ‎ ‎7.设a=‎1‎‎4‎,b=log9‎8‎‎5‎,c=log8‎3‎,则a,b,c的大小关系是　　　　. ‎ ‎8.若函数y=logax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a=　　　　. ‎ 探究点一　对数式的化简与求值 例1 (1)[2018·宿州质检] 已知m>0,n>0,log‎2‎(3m)+log2n=log‎2‎(2m2+n),则log2m-log4n的值为 (　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.-1 B.1‎ C.-1或0 D.1或0‎ ‎(2)设2x=5y=m,且‎1‎x+‎1‎y=2,则m=　　　　. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] (1)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论.在对含有字母的对数式进行化简时,必须保证恒等变形.‎ ‎(2)利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化.‎ 变式题 (1)[2018·昆明一中模拟] 设x,y为正数,且3x=4y,当3x=py时,p的值为 (　　)‎ A.log34 B.log43‎ C.6log32 D.log32‎ ‎(2)计算:lg 32+log416+6lg‎1‎‎2‎-lg 5=　　　　. ‎ 探究点二　对数函数的图像及应用 例2 (1)函数f(x)=loga|x|+1(0b>c>0,则f(a)‎a,f(b)‎b,f(c)‎c的大小关系是 (　　)‎ A.f(a)‎a>f(b)‎b>f(c)‎c ‎ B.f(c)‎c>f(b)‎b>‎f(a)‎a C.f(b)‎b>f(a)‎a>f(c)‎c ‎ D.f(a)‎a>f(c)‎c>‎f(b)‎b 探究点三　解决与对数函数性质有关的问题 微点1　比较大小 例3 (1)[2018·武汉4月调研] 若实数a,b满足a>b>1,m=loga(logab),n=(logab)2,l=logab2,则m,n,l的大小关系为 (　　)‎ A.m>l>n B.l>n>m C.n>l>m D.l>m>n ‎(2)[2018·长沙雅礼中学期末] 已知a=ln‎1‎‎2‎,b=log‎1‎‎3‎‎1‎‎2‎,则(　　)‎ A.a+b1>log‎3‎‎4‎a,则a的取值范围是 (　　)‎ A.‎2‎‎3‎‎,1‎ B.‎‎2‎‎3‎‎,‎‎3‎‎4‎ C.‎3‎‎4‎‎,1‎ D.‎‎0,‎‎2‎‎3‎ ‎(2)已知实数a>0,且满足不等式33a+2>34a+1,则不等式loga(3x+2)b的不等式,一般转化为logaf(x)>logaab,再根据底数的范围转化为f(x)>ab或0logbg(x)的不等式,一般要转化为同底的不等式来解.‎ 微点3　对数函数性质的综合问题 例5 (1)[2018·丹东二模] 若函数f(x)=logax,x>3,‎log‎1‎ax+2,00,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1.对数　x=logaN　对数　0　N　logaM+logaN　logaM-logaN　nlogaM　nmlogab ‎2.对数　(0,+∞)　R　(1,0)　增　减 ‎3.y=logax(a>0,且a≠1)　y=x 对点演练 ‎1.1　[解析] 利用对数的换底公式可得结果为1.‎ ‎2.(-∞,2)　[解析] 由2-x>0,解得x<2,即函数f(x)的定义域为(-∞,2).‎ ‎3.1　[解析] 函数f(x)=log2x,所以f(2)=1.‎ ‎4.(-∞,2)　[解析] 因为0<‎1‎‎2‎<1,所以y=log‎1‎‎2‎x单调递减,而函数y=x2-4x+5>0恒成立,且单调递减区间为(-∞,2),所以函数y=log‎1‎‎2‎(x2-4x+5)的单调递增区间是(-∞,2).‎ ‎5.①②③④⑤　[解析] ①lg 10=1,则lg(lg 10)=lg 1=0;②lg(ln e)=lg 1=0;③底的对数等于1,则x=10;④底的对数等于1;⑤logmn=lgnlgm,log3m=lgmlg3‎,则lgnlg3‎=2,即log3n=2,故n=9.‎ ‎6.4　[解析] 因为lg x+lg y=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,解得x=y或x=4y.由已知得x>0,y>0,x-2y>0,所以x=y不符合题意,当x=4y时,得xy=4.‎ ‎7.c>a>b　[解析] a=‎1‎‎4‎=log9‎4‎‎9‎=log9‎3‎log9‎8‎‎5‎=b,所以c>a>b.‎ ‎8.2或‎1‎‎2‎　[解析] 分两种情况讨论:(1)当a>1时,有loga4-loga2=1,解得a=2;(2)当00时,f(x)=loga|x|+1(01或x<-1},且f(x)是偶函数,故排除C,D;当x>1时,函数f(x)=ln(x-1)是增函数,故排除A.故选B.‎ ‎(2)由题意可得,f(a)‎a,f(b)‎b,f(c)‎c可分别看作函数f(x)=log2(x+1)图像上的点(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c))与原点连线的斜率,结合图像(图略)可知,当a>b>c>0时,f(c)‎c>f(b)‎b>f(a)‎a.故选B.‎ 例3　[思路点拨] (1)推导出0=loga1b>1,m=loga(logab),n=(logab)2,l=logab2,‎ ‎∴0=loga1n=(logab)2,‎ ‎∴l>n>m.故选B.‎ ‎(2)由题得a=ln‎1‎‎2‎log‎1‎‎3‎1=0,所以ab<0.‎ 又a+b=ln‎1‎‎2‎+log‎1‎‎3‎‎1‎‎2‎=-ln 2+ln2‎ln3‎=ln 2‎1‎ln3‎‎-1‎=ln 2·‎1-ln3‎ln3‎<0, ‎ 则ab-(a+b)=ab-a-b=ln‎1‎‎2‎·log‎1‎‎3‎‎1‎‎2‎-ln‎1‎‎2‎-log‎1‎‎3‎‎1‎‎2‎=-ln 2·ln2‎ln3‎+ln 2-ln2‎ln3‎=ln 2‎-ln2‎ln3‎+1-‎‎1‎ln3‎=ln 2·ln3-ln2-1‎ln3‎=ln 2·ln‎3‎‎2eln3‎<0,所以ab1与log‎3‎‎4‎a<1,其交集即为不等式的解集;(2)先根据指数不等式确定a的范围,然后根据同底的对数不等式求解,并注意真数的取值.‎ ‎(1)C　(2)‎3‎‎4‎‎,‎‎8‎‎5‎　[解析] (1)根据对数函数的性质,由loga‎2‎‎3‎>1,可得‎2‎‎3‎‎3‎‎4‎.综上可得‎3‎‎4‎4a+1,∴08-5x,‎‎3x+2>0,‎‎8-5x>0,‎解得x∈‎3‎‎4‎‎,‎‎8‎‎5‎.‎ 例5　[思路点拨] (1)由分段函数在两段上的单调性,结合f(x)存在最小值,列不等式求解即可;(2)令t=x2-ax+3a,则由题意可得函数t=x2-ax+3a在区间[2,+∞)上为增函数,且当x=2时,t>0,从而得解.‎ ‎(1)C　(2)-41,否则函数无最小值,‎ 所以当x>3时,f(x)>loga3,‎ 当00,‎ 故有a‎2‎‎≤2,‎‎4-2a+3a>0,‎解得-4log0.40.4=1,‎ c=log80.40,可得x2-2x<0,解得0b>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c ‎[解析] D　a=1‎8‎‎1‎‎18‎>180=1,b=log2017‎2018‎=‎1‎‎2‎log20172018,∵log20172018∈(1,2),∴b∈‎1‎‎2‎‎,1‎.c=log2018‎2017‎=‎1‎‎2‎log20182017,∵log20182017∈(0,1),∴c∈‎0,‎‎1‎‎2‎,∴a>b>c.‎ 例3　[配合例5使用] 已知函数f(x)=lg‎5‎x‎+‎4‎‎5‎x+m的值域是R,则m的取值范围是 (　　)‎ A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)‎ C.(-∞,4) D.(-∞,-4]‎ ‎[解析] D　令t=5x+‎4‎‎5‎x+m,因为f(x)的值域为R,所以t可取(0,+∞)内的每一个正数,所以4+m≤0,故m≤-4,故选D.‎ 例4　[配合例5使用] 已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(其中a>0,且a≠1).‎ ‎(1)求函数f(x)+g(x)的定义域;‎ ‎(2)判断函数f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明;‎ ‎(3)求使f(x)+g(x)<0成立的x的取值集合.‎ 解:(1)由题意得x+1>0,‎‎1-x>0,‎ ‎∴-11时,0<1-x2<1,‎ 即01,不等式无解.‎ 综上,当a>1时,使f(x)+g(x)<0成立的x的取值集合为{x|0