【推荐】专题03+小题好拿分【提升版】（30题）-2017-2018学年上学期期末复习备考高二数学（理）黄金30题x 18页

‎2017~2018学年度上学期期末考试备考黄金30题 之小题好拿分【提升版】‎ 一、单选题 ‎1．“， ”的否定是（ ）‎ A. ， B. ， ‎ C. ， D. ， ‎ ‎【答案】D ‎【解析】“， ”的否定是， ,故选D.‎ ‎2．下列说法中，正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”‎ B. 命题“存在，使得”的否定是：“任意，都有”‎ C. 若命题“非”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题 D. “”是“”的充分不必要条件 ‎【答案】C ‎3．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图知：该几何体是正四棱柱与半球体的组合体，且正四棱柱的高为，底面对角线长为，球的半径为，所以几何体的表面积为： ，故选A．‎ ‎4．已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设球的半径为R，‎ 则∵圆锥的高h=5，底面圆的半径r= ，‎ ‎∴R2=（R﹣h）2+r2，即R2=（R﹣5）2+5，‎ 解得：R=3，‎ 故该球的表面积S=4πR2=36π，‎ 故选：B.‎ ‎5．在四面体中， 平面平面，则该四面体外接球的表面积为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】， ‎ 为等边三角形 又平面平面 取中点，连接，则球心在上，‎ 有，解得 该四面体外接球的表面积为 故选.‎ ‎6．已知矩形.将矩形沿对角线折成大小为的二面角，则折叠后形成的四面体的外接球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. 与的大小无关 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意得，在二面角内的中点O到点A,B, C,D的距离相等，且为，所以点O即为外接球的球心，且球半径为，所以外接球的表面积为.选C.‎ ‎7．在棱长为1的正方体中，点， 分别是侧面与底面的中心，则下列命题中错误的个数为（ ）‎ ‎①平面； ②异面直线与所成角为；‎ ‎③与平面垂直； ④．‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎8．圆锥的轴截面是边长为4的正三角形（为顶点），为底面中心， 为中点，动点在圆锥底面内（包括圆周），若，则点形成的轨迹长度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 过点作交于，过作交圆锥底面圆周为，‎ 则平面，所以，即点轨迹为线段，‎ 因为是边长为的对边三角形，所以，所以.‎ ‎ 因为，所以，解得，‎ 所以，故选D.‎ 点睛：本题主要考查了空间几何体的结构特征及其应用，其中解答中涉及到直线与平面垂直的判定和性质，等边三角形的性质等知识点的综合运用，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中正确作出点的轨迹是解答的关键.‎ ‎9．已知直线，平面且给出下列命题：‎ ‎①若∥，则； ②若，则∥； ‎ ‎③若，则； ④若∥，则. 其中正确的命题是 A. ①④ B. ③④ C. ①② D. ①③‎ ‎【答案】A ‎10．已知正方体的棱长为1，在对角线上取点M，在上取点N，使得线段MN平行于对角面，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】作于点，作于点，易证，设，则，在直角梯形，易得，当时， 的最小值为，‎ 故选A.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查正方体的性质、线面平行的判定与性质以及求最值问题，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域.‎ ‎11．如图，在长方体中，点分别是棱上的动点， ,直线与平面所成的角为，则的面积的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】以C为原点，以CD，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则C（0，0，0）， 设P（0，a，0），Q（b，0，0），于是0＜a≤4，0＜b≤3． ‎ 设平面PQC′的一个法向量为 则 令z=1，得 ‎ a2b2≥2ab，解得ab≥8． ∴当ab=8时，S△PQC=4，棱锥C′-PQC的体积最小， ∵直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，∴C到平面PQC′的距离d=2 ‎ ‎∵VC′-PQC=VC-PQC′， ‎ 故选B 点睛：本题考查了线面角的计算，空间向量的应用，基本不等式，对于三棱锥的体积往往进行等积转化,可以求对应的三角形的面积.‎ ‎12．已知抛物线，直线过抛物线焦点，且与抛物线交于， 两点，以线段为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（ ）‎ A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不确定 ‎【答案】C 点睛:本题考查直线与圆的位置关系以及抛物线的定义的应用,属于中档题. 以线段为直径的圆的圆心为AB中点M,圆心到抛物线准线的距离为MN,由图可知MN为梯形APQB的中位线,即,再根据椭圆的定义可得,圆心M到准线的距离等于半径,故直线与圆相切.‎ ‎13．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为 (　　)‎ A. B. 5 C. 2 D. 10‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的标准方程为，圆心，所以 ，则，选B.‎ 点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系以及二次函数的最值，属于中档题。本题解题思路：根据圆的对称性，得出圆心在直线上，求出之间的关系，再将所求的化为关于的二次函数，求出最小值.‎ ‎14．若圆（）上仅有个点到直线的距离为，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆心到直线距离为 ，所以要有个点到直线的距离为，需 ，选B.‎ 点睛：与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．‎ ‎15．设和为双曲线的两个焦点，若， ， 是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，‎ 设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，‎ ‎∵F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，‎ ‎∴=2c，∴c2+4b2=4c2，‎ ‎∴c2+4（c2﹣a2）=4c2，‎ ‎∴c2=4a2，即c=2a，‎ b==a，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 即为．‎ 故选：C．‎ ‎16．抛物线（）的焦点为，其准线经过双曲线 的左焦点，点为这两条曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线的焦点为，其准线方程为 准线经过双曲线 的左焦点，‎ 点为这两条曲线的一个交点，且 的横坐标为 代入抛物线方程，可得的纵坐标为 将的坐标代入双曲线方程，可得 故选.‎ ‎17．已知为坐标原点，椭圆的方程为，若为椭圆的两个动点且，则的最小值是（ ）‎ A. 2 B. C. D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】设直线斜率为，则直线斜率为，‎ 联立解得点 将代入求得点 则 不妨令 则原式 当时原式有最小值 故选 点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，求交点弦长平方的最小值，设出斜率，求得点坐标，然后根据题目意思表示出，在求最值时运用整体换元的思想，结合二次函数思想求得最值.‎ ‎18．已知点是直线（）上一动点， 、是圆： 的两条切线， 、为切点， 为圆心，若四边形面积的最小值是，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵圆的方程为： ，‎ ‎∴圆心C(0,−1)，半径r=1.‎ 根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点P的距离最小时,即距离为圆心到直线l的距离最小时,切线长PA,PB最小。切线长为4，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆心到直线l的距离为.‎ ‎∵直线（），‎ ‎∴,解得，由 所求直线的斜率为 故选D.‎ ‎19．抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎20．已知是椭圆和双曲线的公共顶点.过坐标原点作一条射线与椭圆、双曲线分别交于两点，直线的斜率分别记为, 则下列关系正确的是 （　 ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设M（x，y），则k1+k2=， ‎ ‎∵，∴∴k1+k2=﹣， ‎ 设N（x′，y′），则k3+k4=， ‎ ‎∵N点坐标满足，∴ ∴k3+k4=。‎ ‎∵O，M， N共线∴，∴k1+k2=﹣（k3+k4）‎ 故选C．‎ 点睛：这个题目考查了椭圆的几何性质，用坐标表示斜率，得到斜率之和，再根据点在椭圆上和双曲线上换元，这是圆锥曲线常用的消元方法。解决小题常见的方法有向量坐标化，圆锥曲线的定义的应用；点在曲线上的应用，观察图形特点等方法.‎ 二、填空题 ‎21．已知抛物线： 的焦点为，直线： 交抛物线于， 两点，则等于__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由题意得F（1，0），所以直线过焦点，因此由焦点弦公式得 ‎ 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎22．已知为抛物线： 的焦点，过作斜率为1的直线交抛物线于、两点，设，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设A（x1，y1）B（x2，y2）‎ 由可得x2﹣3px+=0，（x1＞x2）‎ ‎∴x1=p，x2=p，‎ ‎∴由抛物线的定义知=‎ 故答案为： ．‎ ‎23．设， 分别是椭圆的左右焦点， 为椭圆上任一点，点的坐标为，则 的最大值为__________．‎ ‎【答案】15‎ ‎24．过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点.设为线段的中点， 为坐标原点，则__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】设是双曲线的右焦点，连接 分别为， 的中点 由双曲线定义得， ‎ 故 点睛：设是双曲线的右焦点，因为分别为， 的中点，运用中位线定理得到 ‎ ，结合双曲线的定义得，再结合题中的数据得到，结合双曲线的定义得，可得到的值.‎ ‎25．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使成立，则该椭圆的离心率的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中，由正弦定理得，‎ 又，‎ 所以，即，‎ 所以。‎ 又，‎ 解得，‎ 由椭圆的几何性质得，则，‎ 因此，‎ 整理得 解得或（舍去）。‎ 又，‎ 所以。‎ 故该椭圆的离心率的取值范围为。‎ 答案：。‎ 点睛：‎ ‎（1）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到的关系．‎ ‎（2）求椭圆离心率范围的常用方法 列出含有a，b，c的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式，如 ，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．‎ ‎26．已知两圆， ，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为___________。‎ ‎【答案】‎ 点睛：本题考查了利用定义法求轨迹方程，平面内动点到两个定点的距离之和为定值，并且定值大于两个定点间的距离，那么轨迹就是椭圆，本题两个定圆隐含了两个定点，说明本题轨迹与椭圆，双曲线相关，圆间的相切隐含了圆心距等于半径和（或半径差），从而明确了动点满足的等量关系.‎ ‎27．定长为4的线段两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，则点到轴距离的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由图可知， ，‎ 所以，得，‎ 所以距离的最小值为.‎ ‎28．抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵点在抛物线上，所以 ‎∴，即 ‎∵点到准线的距离为 ‎∴‎ ‎∴或 当时， ，故舍去 ‎∴ 抛物线方程为 ‎∴，  ‎ ‎∴是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示：‎ ‎∴‎ 设点（θ为参数），则 ‎∴‎ 故答案为 点睛：本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到是正三角形和内切圆的方程，即可得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键.‎ ‎29．直线与椭圆交与两点，以线段为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【点睛】本题考查圆与椭圆的综合，考查椭圆的几何性质，解题的关键是判断以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．‎ ‎30．若双曲线上存在一点满足以为边长的正方形的面积等于（其中为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意， ，又，‎ 则，即，得， ，所以，‎ 所以，即的取值范围是.‎