2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期期末数学试题（理科）（解析版） 25页

‎2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）向量，若，则x的值为（　　）‎ A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．3‎ ‎2．（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2‎ ‎3．（5分）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（　　）‎ A．8 B．11 C．16 D．10‎ ‎4．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：‎ 月份 ‎1月份 ‎2月份 ‎3月份 ‎4月份 ‎5月份 ‎6月份 收入x ‎12.3‎ ‎14.5‎ ‎15.0‎ ‎17.0‎ ‎19.8‎ ‎20.6‎ 支出Y ‎5.63‎ ‎5.75‎ ‎5.82‎ ‎5.89‎ ‎6.11‎ ‎6.18‎ 根据统计资料，则（　　）‎ A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系 B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系 C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系 D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系 ‎5．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）点集Ω={（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A={（x，y）|y≥ex，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）下列说法错误的是（　　）‎ A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件．‎ B．已知A，B，C不共线，若=，则P是△ABC的重心．‎ C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．‎ D．命题“若α=，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”．‎ ‎8．（5分）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎9．（5分）若双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）设函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（1，2] B．[4，+∞） C．（﹣∞，2] D．（0，3]‎ ‎12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎14．（5分）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB=120°，则动点P的轨迹方程为　 　．‎ ‎15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是　 　．‎ ‎16．（5分）已知函数f（x）=ex﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）‎ ‎17．（10分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．‎ ‎（1）求线段AB的长度；‎ ‎（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．‎ ‎18．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．‎ ‎（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2}和B={﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．‎ ‎（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．‎ ‎19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E为AB的中点，PA⊥平面ABCD，且PA=2‎ ‎（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；‎ ‎（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．‎ ‎21．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．‎ ‎22．（12分）设函数 ‎（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎（2）设g（x）=f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．‎ ‎（A）求实数a的取值范围；‎ ‎（B）求证：．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）向量，若，则x的值为（　　）‎ A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．3‎ ‎【分析】利用向量垂直的性质直接求解．‎ ‎【解答】解：∵向量，，‎ ‎∴=﹣4+4x﹣8=0，‎ 解得x=3．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2‎ ‎【分析】求f′（1）需要先求出函数f（x）=x+lnx的导数，由解析式的形式可以看出，需要用和的求导公式求导数 ‎【解答】解：∵f（x）=x+lnx，‎ ‎∴f′（x）=1+‎ ‎∴f′（1）=1+=2‎ 故选B ‎【点评】‎ 本题考查导数加法与减法法则，解题的关键是熟练掌握导数的加法与减法法则以及对数的求导公式，导数以其工具性在高考中的应用越来越广泛，在高考中的地位近几年稳步提高，应加强对其运算公式的掌握，提高应用的熟练程度．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（　　）‎ A．8 B．11 C．16 D．10‎ ‎【分析】设出高一年级的人数，根据三个年级人数之间的关系，写出高二和高三的人数，根据学校共有的人数，得到关于高一人数的方程，解方程得到高一人数，用人数乘以抽取的比例，得到结果．‎ ‎【解答】解：设高一学生有x人，则高三有2x，高二有x+300，‎ ‎∵高一、高二、高三共有学生3500人，‎ ‎∴x+2x+x+300=3500，‎ ‎∴x=800，‎ ‎∵按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，‎ ‎∴应抽取高一学生数为=8‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查分层抽样，在分层抽样之前有一个小型的运算，是一个基础题，运算量不大，可以作为选择和填空出现．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：‎ 月份 ‎1月份 ‎2月份 ‎3月份 ‎4月份 ‎5月份 ‎6月份 收入x ‎12.3‎ ‎14.5‎ ‎15.0‎ ‎17.0‎ ‎19.8‎ ‎20.6‎ 支出Y ‎5.63‎ ‎5.75‎ ‎5.82‎ ‎5.89‎ ‎6.11‎ ‎6.18‎ 根据统计资料，则（　　）‎ A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系 B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系 C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系 D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系 ‎【分析】月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系．‎ ‎【解答】解：月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查变量间的相关关系，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意，设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由等可能事件的概率计算可得答案 ‎【解答】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，‎ 从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，‎ 根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局共三种可能，‎ 则田忌获胜的概率为=，‎ 故选：A ‎【点评】‎ 本题考查等可能事件的概率，涉及用列举法列举基本事件，注意按一定的顺序，做到不重不漏．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）点集Ω={（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A={（x，y）|y≥ex，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意首先求得面积值，然后利用几何概型计算公式整理计算即可求得最终结果．‎ ‎【解答】解：点集Ω表示的平面区域的面积为：，‎ 集合A所表示的平面区域如图所示，其面积为：，‎ 结合几何概型计算公式可得所求的概率值为：．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了几何概型的计算，定积分及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）下列说法错误的是（　　）‎ A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件．‎ B．已知A，B，C不共线，若=，则P是△ABC的重心．‎ C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．‎ D．命题“若α=，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”．‎ ‎【分析】由奇函数的性质：函数f（x）为奇函数，若f（0）有意义，‎ 则f（0）=0，结合充分必要条件的定义，即可判断A；‎ 运用向量的中点表示，结合三角形的重心，即可判断B；‎ 由特称命题的否定为全称命题，即可判断C；‎ 由原命题的逆否命题的形式，即可判断D．‎ ‎【解答】解：对于A，函数f（x）为奇函数，若f（0）有意义，则f（0）=0，‎ 则“函数f（x）为奇函数”是“f（0）=0”的非充分非必要条件，故A错误；‎ 对于B，已知A，B，C不共线，若=，可得+==2，（D为AB的中点），‎ 即有P在AB的中线上，同理P也在BC的中线上，在CA的中线上，则P是△ABC的重心，故B正确；‎ 对于C，命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”，由命题的否定形式，可得C正确；‎ 对于D，由逆否命题的形式可得，命题“若α=，则cosα=”的逆否命题为“若cosα≠，则α≠”，‎ 故D正确．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假判断，主要是充分必要条件的判断和三角形的重心的向量表示，以及命题的否定和命题的逆否命题，考查分析问题和判断能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【分析】设出双曲线的右焦点，令x=c，代入双曲线的方程，解得A，B的坐标，△ABD为直角三角形，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式，求解即可．‎ ‎【解答】解：设双曲线的右焦点F2（c，0），‎ 令x=﹣c，可得y=±，可得A（c，﹣），B（c，），‎ 又设D（0，b），‎ ‎△ABD为直角三角形，可得∠DBA=90°，即b=或∠BDA=90°，即=0，‎ 解：b=可得a=b，c=，所以e==；‎ 由=0，可得：（c，）（c，﹣）=0，‎ 可得c2+b2﹣=0，可得e4﹣4e2+2=0，e＞1，可得e=，‎ 综上，e=或．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用转化思想，以及向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）若双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意，双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，解可得m，即可得双曲线的方程，由渐近线方程计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，‎ 可得=2c=4，‎ 解可得m=﹣3，‎ 则双曲线的方程为：，‎ 其渐近线方程为：y=±x；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程、渐近线方程，注意焦距为2c以及m的符号．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取A1C1的中点D1，∠B1AD1是所求的角，再由已知求出正弦值．‎ ‎【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，‎ 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，‎ 则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，‎ ‎∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，‎ ‎∴，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了线面角问题，求线面角关键由题意过线上一点作出面的垂线，再求线面角的正弦值，是基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）设函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（1，2] B．[4，+∞） C．（﹣∞，2] D．（0，3]‎ ‎【分析】首先求出函数的单调递减区间，然后结合数轴分析求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x2﹣9lnx，‎ ‎∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），‎ f′（x）=x﹣，‎ ‎∵x＞0，∴由f′（x）=x﹣＜0，得0＜x＜3．‎ ‎∵函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，‎ ‎∴，解得1＜a≤2．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题是个中档题．考查学生掌握利用导数研究函数的单调性，以及分析解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）‎ ‎【分析】由题意可得，f（x0）=±，且 =kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即 =kπ+，k∈z，即 x0=m．‎ 再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，‎ ‎∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4． ‎ 求得 m＞2，或m＜﹣2，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是　[﹣2，2]　．‎ ‎【分析】根据所给的特称命题写出它的否定：任意实数x，使x2+2ax+1≥0，根据命题否定是真命题，利用△≥0，解不等式即可．‎ ‎【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2﹣ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2﹣ax+1≥0，‎ 命题否定是真命题，‎ ‎∴△=（﹣a）2﹣4≤0‎ ‎∴﹣2≤a≤2．‎ 实数a的取值范围是：[﹣2，2]．‎ 故答案为：[﹣2，2]．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，解题的关键是利用命题的否定与原命题的对立关系，写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个假命题，得到判别式的情况．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB=120°，则动点P的轨迹方程为　x2+y2=　．‎ ‎【分析】根据切线的性质可得OP=，从而得出P点的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：连接OP，AB，OA，OB，‎ ‎∵PA，PB是单位圆O的切线，‎ ‎∴PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，‎ ‎∴∠OPA=∠OPB=∠APB=60°，‎ 又OA=OB=1，∴OP=，‎ ‎∴P点轨迹为以O为圆心，以为半径的圆，‎ ‎∴P点轨迹方程为x2+y2=．‎ 故答案为：x2+y2=．‎ ‎【点评】本题考查了轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是　　．‎ ‎【分析】根据程序框图转化为一个关系式，利用特殊角的三角函数值化简，可得出所求的结果．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…sin的值，‎ 由于sin，k∈Z的取值周期为6，且2017=336×6+1，‎ 所以S=sin+sin+…sin=336×（sin+sin+…+sin）+sin=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，循环结构，以及特殊角的三角函数值，认清程序框图，找出规律是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知函数f（x）=ex﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为　（﹣1，3）　．‎ ‎【分析】根据题意，令g（x）=f（x）﹣1=ex﹣e﹣x，分析可得g（x）为奇函数且为增函数，对f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2变形分析可得g（2x﹣1）＞g（x2﹣4），结合g（x）的单调性分析可得2x﹣1＞x2﹣4，即x2﹣2x﹣3＜0，解可得x的取值范围，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，令g（x）=f（x）﹣1=ex﹣e﹣x，‎ 有g（﹣x）=f（﹣x）﹣1=e﹣x﹣ex=﹣g（x），则g（x）为奇函数，‎ 对于g（x）=ex﹣e﹣x，其导数g′（x）=ex+e﹣x＞0，则g（x）为增函数，‎ 且g（0）=e0﹣e0=0，‎ f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2⇒f（2x﹣1）﹣1＞﹣f（4﹣x2）+1⇒f（2x﹣1）＞﹣[f（4﹣x2）﹣1]⇒g（2x﹣1）＞g（x2﹣4），‎ 又由函数g（x）为增函数，‎ 则有2x﹣1＞x2﹣4，即x2﹣2x﹣3＜0‎ 解可得：﹣1＜x＜3，‎ 即实数x的取值范围为（﹣1，3）；‎ 故答案为：（﹣1，3）．‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性．单调性的综合应用，关键是分析函数g（x）=f（x）﹣1的奇偶性与单调性．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）‎ ‎17．（10分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．‎ ‎（1）求线段AB的长度；‎ ‎（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．‎ ‎【分析】（1）由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得p，则抛物线方程可求；‎ ‎（2）由（1）求出A，B的坐标结合，求出C的坐标，代入抛物线方程求得λ值 ‎【解答】解：（1）直线AB的方程是y=2 （x﹣2），与y2=8x联立，消去y得x2﹣5x+4=0，‎ 由根与系数的关系得x1+x2=5．‎ 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9，‎ ‎（2）由x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．‎ 设=（x3，y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2），‎ 又y2=8x3，‎ 即[2（2λ﹣1）]2=8（4λ+1），‎ 即（2λ﹣1）2=4λ+1，‎ 解得λ=0或λ=2．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，训练了向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．‎ ‎（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2}和B={﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．‎ ‎（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用函数的单调性，推出a，b的关系，求出（a，b）的取法总数，是增函数的个数，然后求解概率即可．‎ ‎（Ⅱ）画出可行域，求出可行域的面积，利用（Ⅰ）中的a、b关系，求出面积，通过几何概型求解即可．‎ ‎【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，需a＞0且，即a＞0且2b≤a．‎ ‎（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为3×3=9个．‎ 满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1）共5个，‎ 所以所求概率．‎ ‎（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．‎ 由，求得．所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．‎ 所以所求概率．‎ ‎【点评】本题考查线性规划的应用，几何概型以及古典概型的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E为AB的中点，PA⊥平面ABCD，且PA=2‎ ‎（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；‎ ‎（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．‎ ‎【分析】（1）以BD为x轴，CA为y轴，AC与BD的交点为O，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能出F为PD中点，使AF∥平面PEC．‎ ‎（2）求出平面PEA的法向量和平面PED的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣PE﹣A的余弦值．‎ ‎【解答】解：（1）以BD为x轴，CA为y轴，AC与BD的交点为O，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系．‎ A（0，1，0），，C（0，﹣1，0），，P（0，1，2），‎ 设，，，‎ 则=（）．‎ 设平面PEC的法向量为=（x，y，z），，，‎ 则，∴，取y=﹣1，得=（﹣，﹣1，1）．‎ ‎∵AF∥平面PEC，‎ ‎∴=﹣3λ+λ+2﹣2λ=0，解得，‎ ‎∴F为PD中点．‎ ‎（2）=（，，0），=（，﹣，0），‎ 设平面PEA的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=，得平面PEA的法向量=（，﹣3，0），‎ 设平面PED的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=，得=（），‎ cos＜＞===﹣，‎ 由二面角D﹣PE﹣A为锐二面角，‎ 因此，二面角D﹣PE﹣A的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性，从而可求f（x）的极大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，‎ ‎∴f′（x）=ex（ax+a+b）﹣2x﹣4，‎ ‎∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4‎ ‎∴f（0）=4，f′（0）=4‎ ‎∴b=4，a+b=8‎ ‎∴a=4，b=4；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4ex（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（ex﹣），‎ 令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2‎ ‎∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0‎ ‎∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）‎ 当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．‎ ‎【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，利用点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，可得b=|OM|=1，从而可得椭圆的方程；‎ ‎（II）①当直线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，进而可得直线AN，BN的斜率，即可求得结论；②当直线l的斜率存在时，直线l的方程为：y=k（x﹣1），代入，利用韦达定理及斜率公式可得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，‎ ‎∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，‎ ‎∴b=|OM|=1，‎ ‎∴．…（3分）‎ ‎∴椭圆的方程为．…（4分）‎ ‎（II）①当直线l的斜率不存在时，由解得．‎ 设，，则为定值．…（5分）‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1）．‎ 将y=k（x﹣1）代入整理化简，得（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0．…（6分）‎ 依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，．…（7分）‎ 又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），‎ 所以=‎ ‎==‎ ‎==．．…．…（13分）‎ 综上得k1+k2为常数2..…．…（14分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查分类讨论的数学思想，联立方程，利用韦达定理是关键．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）设函数 ‎（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎（2）设g（x）=f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．‎ ‎（A）求实数a的取值范围；‎ ‎（B）求证：．‎ ‎【分析】（1）转化不等式为．令，求出．通过①当a≤0时，②当0＜a＜2时，③当a＞2时，④当a=2时，判断导函数的符号，得到函数的单调性，求解函数的最值，即可得到a的范围；‎ ‎（2）化简，x∈[1，e2]．取得导函数g'（x）=lnx﹣ax．通过求解，‎ ‎（A）利用①当时，②当a≥1时，③当时，判断函数的单调性，求解最值，得到a的范围；‎ ‎（B）证明：由已知lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，推出lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2）．不妨设x1＜x2，则，令，（0＜x＜1）．利用函数的导数判断单调性，转化推出结果即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵，且x＞0，‎ ‎∴．‎ 令，则．‎ ‎①当a≤0时，U'（x）＞0，U（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，‎ ‎∴x＞1时，U（x）＞U（1）=0，不合题意．‎ ‎②当0＜a＜2时，时，U'（x）＞0，U（x）在上为单调递增函数，‎ ‎∴，U（x）＞U（1）=0，不合题意．‎ ‎③当a＞2时，，U'（x）＜0，U（x）在上为单调递减函数．‎ ‎∴时，U（x）＞U（1）=0，不合题意．‎ ‎④当a=2时，x∈（0，1），U'（x）＞0，U（x）在（0，1）上为单调递增函数．‎ x∈（1，+∞），U'（x）＜0，U（x）在（1，+∞）上为单调递减函数．‎ ‎∴U（x）≤0，符合题意．‎ 综上，a=2．‎ ‎（2），x∈[1，e2]．g'（x）=lnx﹣ax．‎ 令h（x）=g'（x），则 由已知h（x）=0在（1，e2）上有两个不等的实根．‎ ‎（A）①当时，h'（x）≥0，h（x）在（1，e2）上为单调递增函数，不合题意．‎ ‎②当a≥1时，h'（x）≤0，h（x）在（1，e2）上为单调递减函数，不合题意．‎ ‎③当时，，h'（x）＞0，，h'（x）＜0，‎ 所以，h（1）＜0，，h（e2）＜0，解得．‎ ‎（B）证明：由已知lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，‎ ‎∴lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2）．‎ 不妨设x1＜x2，则，‎ 则 ‎=．‎ 令，（0＜x＜1）．‎ 则，∴G（x）在（0，1）上为单调递增函数，‎ ‎∴‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 由（A），‎ ‎∴ae＜1，2ae＜2，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查函数与导数的应用，考查方式讨论，转化思想的应用，二次求导，判断单调性函数的最值，难度比较大．‎ ‎　‎