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  • 2021-06-15 发布

数学卷·2018届重庆市巴蜀中学高二上学期期中考试数学文试卷 (解析版)

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‎2016-2017学年重庆市巴蜀中学高二(上)期中数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.(5分)抛物线y2=2x的焦点坐标是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.在空间中,以下命题正确的是(  )‎ A.平行于同一条直线的两条直线相互平行 B.平行于同一平面的两条直线相互平行 C.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直 D.垂直于同一平面的两条直线相互垂直 ‎3.焦点在x轴上的椭圆的长轴长等于4,离心率等于,则该椭圆的标准方程为(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4.设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下列命题中不正确的是(  )‎ A.m⊥α,n⊥α,则m∥n B.m⊂α,α∥β,则m∥β C.m⊥α,n⊂α,则m⊥n D.m∥α,n⊂α,则m∥n ‎5.过椭圆C:+=1的右焦点F2且与x轴垂直的直线与椭圆C相交于A、B两点,则弦长|AB|=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知圆锥的底面半径r=3,圆锥的高h=4,则该圆锥的表面积等于(  )‎ A.12π B.15π C.21π D.24π ‎7.已知双曲线(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2﹣6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(  )‎ A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1‎ ‎8.已知某组合体的正视图与侧视图相同,如图所示,其中AB=AC,四边形BCDE为矩形,则该组合体的俯视图可能为(  )‎ A.(1)(3) B.(1)(2)(4) C.(2)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4)‎ ‎9.已知P为双曲线﹣=1右支上的动点,M为圆(x+5)2+y2=1上动点,N为圆(x﹣5)2+y2=4上的动点,则|PM|﹣|PN|的最小值、最大值分别为(  )‎ A.4、8 B.3、9 C.2、10 D.1、11‎ ‎10.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,已知P为对角面A1BCD1内的动点,且点P到直线AB1的距离和到直线BC的距离相等,若P点轨迹为曲线M的一部分,则曲线M是(  )‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ‎11.如图,边长为2的正方形ABCD中,点E、F分别是边AB、BC的中点,现将△AED,△EBF,△FCD分别沿DE、EF、FD折起,使A、B、C三点重合于点M,则三棱锥M﹣DEF的外接球的体积为(  )‎ A.2π B.4π C.π D.6π ‎12.已知以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=﹣1,A、B、C为该抛物线上不同的三点,且点B在x轴的下方,若||、||、||成等差数列,且++=0,则直线AC的方程为(  )‎ A.y=x B.y=x+1 C.y=2x+1 D.y=2x﹣1‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知正方体的棱长为2,则它的内切球的表面积是  .‎ ‎14.三视图如图所示的几何体的体积为  .‎ ‎15.已知点P是双曲线﹣=1,(a>0,b>0)右支上一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2的内心,且有S﹣S=S,则该双曲线的离心率为  .‎ ‎16.某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体,其直观图和三视图如图所示,正视图为正方形,其中俯视图中椭圆的离心率为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(10分)已知圆C:(x﹣1)2+y2=内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点.‎ ‎(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;‎ ‎(2)当直线l的斜率k=1时,求弦AB的长.‎ ‎18.(12分)如图,正三棱锥A﹣BCD中,已知AB=BC=.‎ ‎(1)求证:AD⊥BC;‎ ‎(2)求三棱锥A﹣BCD的体积.‎ ‎19.(12分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,已知M、N分别为棱AD、BB1的中点.‎ ‎(1)求证:直线MN∥平面AB1D1;‎ ‎(2)若正方体的棱长a=2,求点A1到面AB1D1的距离.‎ ‎20.(12分)已知点M(1,m)在抛物线C:y2=2px(P>0)上,且M到抛物线C的焦点F的距离等于2.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)若直线l与抛物线C相交于A、B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点).求证直线AB恒过x轴上的某定点,并求出该定点坐标.‎ ‎21.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知底面ABCD是菱形且∠BAD=60°,侧棱PA=PD,O为AD边的中点,M为线段PC上的定点.‎ ‎(1)求证:平面PAD⊥平面POB;‎ ‎(2)若AB=2,PA=,PB=,且直线PA∥平面MOB,求三棱锥P﹣MOB的体积.‎ ‎22.(12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)过点(2,3),且右焦点为圆C:(x﹣2)2+y2=2的圆心.‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程;‎ ‎(2)设P是椭圆E上在y轴左侧的一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A、B,且两切线的斜率之积为,求△PAB的面积.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年重庆市巴蜀中学高二(上)期中数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.(2015秋•张家界期末)抛物线y2=2x的焦点坐标是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】根据抛物线方程,可得2p=2,得=.再根据抛物线是开口向右以原点为顶点的抛物线,即可得到它的焦点坐标.‎ ‎【解答】解:∵抛物线方程为y2=2x,‎ ‎∴2p=2,得=‎ ‎∵抛物线开口向右且以原点为顶点,‎ ‎∴抛物线的焦点坐标是(,0)‎ 故选:D ‎【点评】本题给出抛物线方程,求它的焦点坐标,着重考查了抛物线的标准方程和简单性质等知识,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.(2016秋•渝中区校级期中)在空间中,以下命题正确的是(  )‎ A.平行于同一条直线的两条直线相互平行 B.平行于同一平面的两条直线相互平行 C.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直 D.垂直于同一平面的两条直线相互垂直 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.‎ ‎【专题】综合题;转化思想;演绎法;空间位置关系与距离.‎ ‎【分析】对于A,根据平行公理可知平行于同一条直线的两直线互相平行;对于B,平行于同一平面的两条直线还可以异面或相交;对于C,垂直于同一直线的两条直线也有可能是异面或相交;对于D,垂直于同一平面的两条直线互相平行.‎ ‎【解答】解:对于A,根据平行公理可知平行于同一条直线的两直线互相平行,所以正确.‎ 对于B,平行于同一平面的两条直线还可以异面或相交,所以错误.‎ 对于C,垂直于同一直线的两条直线也有可能是异面或相交,所以错误.‎ 对于D,垂直于同一平面的两条直线互相平行,所以错误 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查空间直线与平面垂直的性质、面面平行的判定,考查空间想象能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎3.(2016秋•渝中区校级期中)焦点在x轴上的椭圆的长轴长等于4,离心率等于,则该椭圆的标准方程为(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程.‎ ‎【专题】计算题;方程思想;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】由题意可设椭圆方程为,且求得a,结合离心率得到c,再由隐含条件求得b,则椭圆方程可求.‎ ‎【解答】解:由题意可知,椭圆方程为,‎ 且2a=4,得a=2,又e=,得c=,‎ ‎∴b2=a2﹣c2=1,‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎4.(2016秋•渝中区校级期中)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下列命题中不正确的是(  )‎ A.m⊥α,n⊥α,则m∥n B.m⊂α,α∥β,则m∥β C.m⊥α,n⊂α,则m⊥n D.m∥α,n⊂α,则m∥n ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.‎ ‎【专题】综合题;转化思想;演绎法;空间位置关系与距离.‎ ‎【分析】对于A,根据垂直于同一平面的两条直线平行进行判断;‎ 对于B,根据平面与平面平行的性质,可得线面平行;‎ 对于C,故线面垂直的性质,可得m⊥n;‎ 对于D,m,n可以异面.‎ ‎【解答】解:对于A,根据垂直于同一平面的两条直线平行,可得m∥n,正确;‎ 对于B,根据平面与平面平行的性质,可得m∥β,正确;‎ 对于C,故线面垂直的性质,可得m⊥n,正确;‎ 对于D,m,n可以异面,故不正确.‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题主要考查线线,线面,面面平行关系及垂直关系的转化,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.(2016秋•渝中区校级期中)过椭圆C:+=1的右焦点F2且与x轴垂直的直线与椭圆C相交于A、B两点,则弦长|AB|=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【专题】转化思想;转化法;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】椭圆+=1,可得c=3,取焦点F(3,0).把x=3代入椭圆方程,解得y,即可得出弦长|AB|.‎ ‎【解答】解:由题意可知:a2=25,b2=16,‎ c2=a2﹣b2=9,‎ 由x=3时,y=±,‎ ‎∴弦长|AB|=,‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎6.(2016秋•渝中区校级期中)已知圆锥的底面半径r=3,圆锥的高h=4,则该圆锥的表面积等于(  )‎ A.12π B.15π C.21π D.24π ‎【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).‎ ‎【专题】计算题;方程思想;演绎法;立体几何.‎ ‎【分析】利用勾股定理求得圆锥的母线长,则圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长.‎ ‎【解答】解:底面半径为3,则底面周长=6π,底面面积=9π;‎ 由勾股定理得,母线长=5,‎ 圆锥的侧面面积S侧=×6π×5=15π,‎ ‎∴它的表面积S=15π+9π=24π,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路:解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系:(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径;(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎7.(2016•包头二模)已知双曲线(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2﹣6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(  )‎ A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质;双曲线的标准方程.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】先利用圆的一般方程,求得圆心坐标和半径,从而确定双曲线的焦距,得a、b间的一个等式,再利用直线与圆相切的几何性质,利用圆心到渐近线距离等于圆的半径,得a、b间的另一个等式,联立即可解得a、b的值,从而确定双曲线方程 ‎【解答】解:∵圆C:x2+y2﹣6x+5=0的圆心C(3,0),半径r=2‎ ‎∴双曲线(a>0,b>0)的右焦点坐标为(3,0),即c=3,∴a2+b2=9,①‎ ‎∵双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程为bx﹣ay=0,‎ ‎∴C到渐近线的距离等于半径,即=2 ②‎ 由①②解得:a2=5,b2=4‎ ‎∴该双曲线的方程为 故选 A ‎【点评】本题主要考查了圆的一般方程,直线与圆的位置关系及其应用,双曲线的标准方程及其求法,双曲线的几何性质及其运用,两曲线的综合运用 ‎ ‎ ‎8.(2016秋•渝中区校级期中)已知某组合体的正视图与侧视图相同,如图所示,其中AB=AC,四边形BCDE为矩形,则该组合体的俯视图可能为(  )‎ A.(1)(3) B.(1)(2)(4) C.(2)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4)‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图.‎ ‎【专题】图表型;分类讨论;分类法.‎ ‎【分析】由已知中的正视图与侧视图,可得该几何体是一个锥体和柱体的组合体;分类讨论,可判断各种情况下,该组合体的俯视图.‎ ‎【解答】解:由已知中的正视图与侧视图,‎ 可得该几何体是一个锥体和柱体的组合体;‎ 如果上面为圆锥,下面为圆柱,则俯视图为(3);‎ 如果上面为棱锥,下面为圆柱,则俯视图为(2);‎ 如果上面为圆锥,下面为棱柱,则俯视图为(4);‎ 如果上面为棱锥,下面为棱柱,则俯视图为(1);‎ 故选:D ‎【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,分类讨论思想,难度中档.‎ ‎ ‎ ‎9.(2016秋•渝中区校级期中)已知P为双曲线﹣=1右支上的动点,M为圆(x+5)2+y2=1上动点,N为圆(x﹣5)2+y2=4上的动点,则|PM|﹣|PN|的最小值、最大值分别为(  )‎ A.4、8 B.3、9 C.2、10 D.1、11‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【专题】转化思想;转化法;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心和半径,再利用平面几何知识把|PM|﹣|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求|PM|﹣|PN|的最小值和最大值.‎ ‎【解答】解:双曲线﹣=1的两个焦点分别是F1(﹣5,0)与F2(5,0),‎ 则这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1和(x﹣5)2+y2=4的圆心,半径分别是r1=1,r2=2,‎ ‎∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6,‎ ‎∴|PM|min=|PF1|﹣1,|PN|max=|PF2|+2,‎ ‎∴|PM|max=|PF1|+1,|PN|min=|PF2|﹣2,‎ ‎∴|PM|﹣|PN|的最小值=(|PF1|﹣1)﹣(|PF2|+2)=6﹣3=3,‎ PM|﹣|PN|的最大值=(|PF1|+1)﹣(|PF2|﹣2)=6+3=9,‎ ‎|PM|﹣|PN|的最小值、最大值分别3,9,‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和双曲线与圆的关系,着重考查了学生对双曲线定义的理解和应用,以及对几何图形的认识能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎10.(2016秋•渝中区校级期中)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,已知P为对角面A1BCD1内的动点,且点P到直线AB1的距离和到直线BC的距离相等,若P点轨迹为曲线M的一部分,则曲线M是(  )‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ‎【考点】平面与圆柱面的截线.‎ ‎【专题】综合题;转化思想;演绎法;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】设AB1∩A1B=O,求得PO与P到BC的距离相等,根据抛物线的定义,可得结论.‎ ‎【解答】解:设AB1∩A1B=O,‎ ‎∵AB1⊥对角面A1BCD1,‎ ‎∴PO表示P到AB1的距离,‎ ‎∵平面A1BCD1上一动点P到AB1和BC的距离相等,‎ ‎∴PO与P到BC的距离相等,‎ 根据抛物线的定义,可得点P的轨迹为抛物线的一部分.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查抛物线定义及线面垂直的性质.定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等),可用定义直接探求.‎ ‎ ‎ ‎11.(2016秋•渝中区校级期中)如图,边长为2的正方形ABCD中,点E、F分别是边AB、BC的中点,现将△AED,△EBF,△FCD分别沿DE、EF、FD折起,使A、B、C三点重合于点M,则三棱锥M﹣DEF的外接球的体积为(  )‎ A.2π B.4π C.π D.6π ‎【考点】球内接多面体.‎ ‎【专题】综合题;转化思想;演绎法;立体几何.‎ ‎【分析】把棱锥扩展为正四棱柱,求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径,即可求出三棱锥M﹣DEF的外接球的体积.‎ ‎【解答】解:由题意可知△MEF是等腰直角三角形,且MD⊥平面MEF.‎ 三棱锥的底面MEF扩展为边长为1的正方形,‎ 然后扩展为正四棱柱,三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球,‎ 正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径,直径为:=.‎ ‎∴球的半径为,‎ ‎∴三棱锥M﹣DEF的外接球的体积为=.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查三棱锥M﹣DEF的外接球的体积,考查几何体的折叠问题,几何体的外接球的半径的求法,考查空间想象能力.‎ ‎ ‎ ‎12.(2016秋•渝中区校级期中)已知以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=﹣1,A、B、C为该抛物线上不同的三点,且点B在x轴的下方,若||、||、||成等差数列,且++=0,则直线AC的方程为(  )‎ A.y=x B.y=x+1 C.y=2x+1 D.y=2x﹣1‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【专题】函数思想;转化法;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】根据抛物线的准线方程求出p,设A,B,C的坐标,根据||、||、||成等差数列,且点B在x轴下方,若++=0,求出x1+x3=2,x2=1,然后求出直线AC的斜率和A,C的中点坐标,进行求解即可.‎ ‎【解答】解:抛物线y2=2px(p>0),则抛物线的准线方程是x=﹣=﹣1,‎ ‎∴p=2,‎ 即抛物线方程为y2=4x,F(1,0),‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),‎ ‎||、||、||成等差数列,‎ ‎2||=||+||,即x1+1+x3+1=2(x2+1),‎ 即x1+x3=2x2,‎ ‎∵++=0,‎ ‎∴(x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1,y1+y2+y3)=0,‎ ‎∴x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0,‎ 则x1+x3=2,x2=1,‎ 由y22=4x2=4,则y2=﹣2或2(舍),‎ 则y1+y3=2,‎ 则AC的中点坐标为(,),即(1,1),‎ AC的斜率k=====2,‎ 则直线AC的方程为y﹣1=2(x﹣1),‎ 即y=2x﹣1,‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系,根据条件求出直线AB的斜率和AB的中点坐标是解决本题的关键.综合性较强,难度较大,属于中档题.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.(2013秋•吉林期末)已知正方体的棱长为2,则它的内切球的表面积是 4π .‎ ‎【考点】球的体积和表面积.‎ ‎【专题】球.‎ ‎【分析】根据正方体内切球和正方体的棱长关系,确定球的半径即可求出球的表面积.‎ ‎【解答】解:∵正方体的内切球的球心O到正方体各面的距离等于半径,‎ ‎∴2R=2,‎ 即球半径R=1,‎ ‎∴内切球的表面积是4π.‎ 故答案为:4π;‎ ‎【点评】本题主要考查球的表面积的计算,根据球与正方体的内切关系确定球的半径是解决本题的关键,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎14.(2016秋•渝中区校级期中)三视图如图所示的几何体的体积为  .‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积.‎ ‎【专题】计算题;空间位置关系与距离;立体几何.‎ ‎【分析】由已知可得该几何体是以俯视图为底面的三棱锥,代入棱锥体积公式,可得答案.‎ ‎【解答】解:由已知可得该几何体是以俯视图为底面的三棱锥,‎ 故几何体的体积V==×(2+1)×1×3=,‎ 故答案为:‎ ‎【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积,空间三视图,熟练掌握棱锥的体积公式,是解答的关键.‎ ‎ ‎ ‎15.(2016秋•渝中区校级期中)已知点P是双曲线﹣=1,(a>0,b>0)右支上一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2的内心,且有S﹣S=S,则该双曲线的离心率为 2 .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【专题】综合题;转化思想;演绎法;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G,连接IE、IF、IG,可得△IF1F2,△IPF1,△IPF2可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形.利用三角形面积公式,代入已知式S﹣S=S,化简可得|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|,再结合双曲线的定义与离心率的公式,可求出此双曲线的离心率.‎ ‎【解答】解:如图,设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G,连接IE、IF、IG,‎ 则IE⊥F1F2,IF⊥PF1,IG⊥PF2,它们分别是 ‎△IF1F2,△IPF1,△IPF2的高,‎ ‎∴S=×|PF1|×|IF|=|PF1|,‎ S=×|PF2|×|IG|=|PF2|‎ S=×|F1F2|×|IE|=|F1F2|,其中r是△PF1F2的内切圆的半径.‎ ‎∵S﹣S=S,‎ ‎∴|PF1|﹣|PF2|+|F1F2|‎ 两边约去得:|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|‎ 根据双曲线定义,得|PF1|﹣|PF2|=2a,|F1F2|=2c ‎∴2a=c⇒离心率为e==2,‎ 故答案为:2.‎ ‎【点评】本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中,用来求双曲线的离心率,着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎16.(2015•湖北模拟)某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体,其直观图和三视图如图所示,正视图为正方形,其中俯视图中椭圆的离心率为  .‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长,再根据椭圆的性质a2﹣b2=c2,和离心率公式,计算即可.‎ ‎【解答】解:设正视图正方形的边长为m,根据正视图与俯视图的长相等,得到俯视图中椭圆的短轴长2b=m,‎ 俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径m,得到俯视图中椭圆的长轴长2a=m,‎ 则椭圆的焦距=m,‎ 根据离心率公式得,e==‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的离心率公式,以及三视图的问题,属于基础题.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(10分)(2016秋•渝中区校级期中)已知圆C:(x﹣1)2+y2=内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点.‎ ‎(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;‎ ‎(2)当直线l的斜率k=1时,求弦AB的长.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【专题】综合题;方程思想;演绎法;直线与圆.‎ ‎【分析】(1)先求出圆的圆心坐标,从而可求得直线l的斜率,再由点斜式方程可得到直线l的方程,最后化简为一般式即可.‎ ‎(2)先根据点斜式方程求出方程,再由点到线的距离公式求出圆心到直线l的距离,进而根据勾股定理可求出弦长.‎ ‎【解答】解:(1)圆C:(x﹣1)2+y2=的圆心为C(1,0),‎ 因直线过点P、C,所以直线l的斜率为2,‎ 直线l的方程为y=2(x﹣1),即2x﹣y﹣2=0.‎ ‎(2)当直线l的斜率k=1时,直线l的方程为y﹣2=x﹣2,即x﹣y=0‎ 圆心C到直线l的距离为,圆的半径为,弦AB的长为2=2.‎ ‎【点评】本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离;直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2016秋•渝中区校级期中)如图,正三棱锥A﹣BCD中,已知AB=BC=.‎ ‎(1)求证:AD⊥BC;‎ ‎(2)求三棱锥A﹣BCD的体积.‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系.‎ ‎【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离.‎ ‎【分析】(1)取BC的中点E,连接AE,DE,通过证明BC⊥平面ADE得出BC⊥AD;‎ ‎(2)VA﹣BCD=VB﹣ADE+VC﹣ADE=S△ADE•BC.‎ ‎【解答】证明:(1)取BC的中点E,连接AE,DE.‎ ‎∵三棱锥A﹣BCD是正三棱锥,‎ ‎∴AE⊥BC,DE⊥BC,‎ 又AE⊂平面ADE,DE⊂平面ADE,AE∩DE=E,‎ ‎∴BC⊥平面ADE,‎ 又AD⊂平面ADE,‎ ‎∴BC⊥AD.‎ ‎(2)∵AB=BC=,∴BE=,AD=,‎ ‎∴AE=DE=,‎ ‎∴cos∠AED==,∴sin∠AED=.‎ ‎∴S△ADE=AE•DE•sin∠AED==.‎ ‎∴VA﹣BCD=VB﹣ADE+VC﹣ADE=S△ADE•BC==.‎ ‎【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质,棱锥的体积计算,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2016秋•渝中区校级期中)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,已知M、N分别为棱AD、BB1的中点.‎ ‎(1)求证:直线MN∥平面AB1D1;‎ ‎(2)若正方体的棱长a=2,求点A1到面AB1D1的距离.‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定.‎ ‎【专题】综合题;转化思想;等体积法;空间位置关系与距离.‎ ‎【分析】(1)取DD1 中点G,连接MG、NG,由线面平行的判定定理证明MG∥平面AB1D1,NG∥平面AB1D1,再由面面平行的判断得平面MNG∥平面AB1D1,从而可得直线MN∥平面AB1D1;‎ ‎(2)直接利用等积法求得点A1到面AB1D1的距离.‎ ‎【解答】(1)证明:取DD1 中点G,连接MG、NG,‎ 则MG∥AD1,‎ ‎∵MG⊄平面AB1D1,AD1⊂平面AB1D1,‎ ‎∴MG∥平面AB1D1,‎ NG∥B1D1,NG⊄平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,‎ ‎∴NG∥平面AB1D1,‎ 又MG∩NG=G,∴平面MNG∥平面AB1D1,‎ ‎∴直线MN∥平面AB1D1;‎ ‎(2)解:设点A1到面AB1D1的距离为d,‎ ‎∵正方体的棱长a=2,∴△AB1D1的边长为2,则=,‎ 则,即d=.‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力和思维能力,训练了等积法求多面体的体积,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2016秋•渝中区校级期中)已知点M(1,m)在抛物线C:y2=2px(P>0)上,且M到抛物线C的焦点F的距离等于2.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)若直线l与抛物线C相交于A、B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点).求证直线AB恒过x轴上的某定点,并求出该定点坐标.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【专题】分类讨论;分类法;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】(1)由抛物线的定义可知:1+=2,即可求得p,代入求得抛物线C的方程;‎ ‎(2)当当直线l的斜率不存在时,设l:x=t,(t>0)求得A点坐标,代入即可求得t的值;当直线的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,代入抛物线方程由韦达定理可知x1+x2=﹣且x1x2=,由OA⊥OB,•=0,根据向量数量积的坐标表示,求得k与m的关系,求得直线方程y=k(x﹣4),直线AB恒过x轴上的定点N(4,0).‎ ‎【解答】解:(1)∵点M(1,m)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,点M到抛物线C的焦点F的距离为2,‎ ‎∴1+=2,‎ ‎∴p=2,‎ ‎∴抛物线C的方程为y2=4x;‎ ‎(2)证明:当直线l的斜率不存在时,设l:x=t,(t>0)与抛物线第一象限交于A点,‎ ‎∵OA⊥OB,‎ ‎∴A(t,t),‎ 代入整理得t2=4t,解得:t=4,‎ ‎∴故直线恒过定点N(4,0)‎ 当直线的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 联立y2=4x得kx2+(2km﹣4)x+m2=0,‎ 依题意有k≠0,由韦达定理可知:x1+x2=﹣且x1x2=①,‎ ‎∵OA⊥OB,‎ ‎•=0,‎ ‎∴x1x2+y1y2=0,‎ 即(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,‎ 将①代入化简得m2+4km=0,故m=﹣4k,‎ 此时直线l:y=kx﹣4k=k(x﹣4),‎ 直线AB恒过x轴上的定点N(4,0).‎ ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程,直线与抛物线的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,考查学生的计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2016秋•渝中区校级期中)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知底面ABCD是菱形且∠BAD=60°,侧棱PA=PD,O为AD边的中点,M为线段PC上的定点.‎ ‎(1)求证:平面PAD⊥平面POB;‎ ‎(2)若AB=2,PA=,PB=,且直线PA∥平面MOB,求三棱锥P﹣MOB的体积.‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.‎ ‎【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离.‎ ‎【分析】(1)通过证明AD⊥平面POB得出平面PAD⊥平面POB;‎ ‎(2)连接AC交OB与N,连接BD交AC于E,连接MN,则PA∥MN,计算OP得出M到平面ABCD的距离d,则VP﹣MOB=VA﹣MOB=S△AOB•d.‎ ‎【解答】证明:(1)∵PA=PD,O是AD的中点,‎ ‎∴PO⊥AD,‎ ‎∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,‎ ‎∴OB⊥AD,‎ 又PO⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,‎ ‎∴OB⊥平面PAD,‎ 又OB⊂平面POB,‎ ‎∴平面PAD⊥平面POB.‎ ‎(2)∵△PAD是等腰三角形,AD=AB=2,PA=,‎ ‎∴AO=,∴OP==2,‎ 连接AC交OB与N,连接BD交AC于E,连接MN,‎ ‎∵PA∥平面OMB,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面OMB=MN,‎ ‎∴PA∥MN,‎ ‎∴,‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,‎ ‎∴AN=AE,AC=2AE,‎ ‎∴=,‎ ‎∴M到平面ABCD的距离d=PO=.‎ ‎∴VP﹣MOB=VA﹣MOB=S△AOB•d==.‎ ‎【点评】本题考查了面面垂直的判定定理,线面平行的性质,棱锥的体积计算,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)(2016秋•渝中区校级期中)已知椭圆E:+=1(a>b>0)过点(2,3),且右焦点为圆C:(x﹣2)2+y2=2的圆心.‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程;‎ ‎(2)设P是椭圆E上在y轴左侧的一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A、B,且两切线的斜率之积为,求△PAB的面积.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【专题】方程思想;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】(1)由椭圆右焦点为圆C:(x﹣2)2+y2=2的圆心,可得c=2,又=1,a2=b2+c2,联立解出即可得出.‎ ‎(2)设P(x0,y0)(x0<0),则经过点P的切线斜率存在,设切线方程为:y﹣y0=k(x﹣0).可得=,化为:k2+2y0(2﹣x0)k+﹣2=0.设切线PA,PB的斜率分别为k1,k2.可得k1k2==,x0<0.与+=1联立,解得P.进而得出.‎ ‎【解答】解:(1)∵椭圆右焦点为圆C:(x﹣2)2+y2=2的圆心(2,0),∴c=2,‎ 又=1,a2=b2+c2,联立解得a=4,b=2.‎ ‎∴椭圆E的标准方程为:+=1.‎ ‎(2)设P(x0,y0)(x0<0),则经过点P的切线斜率存在,设切线方程为:y﹣y0=k(x﹣0),即kx﹣y+y0﹣kx0=0.‎ 则=,化为:k2+2y0(2﹣x0)k+﹣2=0.(*)‎ 设切线PA,PB的斜率分别为k1,k2.‎ 则k1k2==,化为:=﹣4x0+6,x0<0.‎ 与+=1联立,解得,‎ ‎∴P(﹣2,±3).‎ 由对称性不妨取P(﹣2,3),F(2,0).‎ ‎∴|PA|=|PB|==.‎ 在RT△PFB中,cos∠APF=,sin∠APB=.‎ ‎∴sin∠APB=2××=.‎ ‎∴S△PAB=sin∠APB==.‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式、倍角公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.‎