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- 2021-06-15 发布
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2016-2017学年重庆市巴蜀中学高二(上)期中数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(5分)抛物线y2=2x的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.在空间中,以下命题正确的是( )
A.平行于同一条直线的两条直线相互平行
B.平行于同一平面的两条直线相互平行
C.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直
D.垂直于同一平面的两条直线相互垂直
3.焦点在x轴上的椭圆的长轴长等于4,离心率等于,则该椭圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
4.设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下列命题中不正确的是( )
A.m⊥α,n⊥α,则m∥n B.m⊂α,α∥β,则m∥β
C.m⊥α,n⊂α,则m⊥n D.m∥α,n⊂α,则m∥n
5.过椭圆C:+=1的右焦点F2且与x轴垂直的直线与椭圆C相交于A、B两点,则弦长|AB|=( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥的底面半径r=3,圆锥的高h=4,则该圆锥的表面积等于( )
A.12π B.15π C.21π D.24π
7.已知双曲线(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2﹣6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )
A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1
8.已知某组合体的正视图与侧视图相同,如图所示,其中AB=AC,四边形BCDE为矩形,则该组合体的俯视图可能为( )
A.(1)(3) B.(1)(2)(4) C.(2)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4)
9.已知P为双曲线﹣=1右支上的动点,M为圆(x+5)2+y2=1上动点,N为圆(x﹣5)2+y2=4上的动点,则|PM|﹣|PN|的最小值、最大值分别为( )
A.4、8 B.3、9 C.2、10 D.1、11
10.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,已知P为对角面A1BCD1内的动点,且点P到直线AB1的距离和到直线BC的距离相等,若P点轨迹为曲线M的一部分,则曲线M是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
11.如图,边长为2的正方形ABCD中,点E、F分别是边AB、BC的中点,现将△AED,△EBF,△FCD分别沿DE、EF、FD折起,使A、B、C三点重合于点M,则三棱锥M﹣DEF的外接球的体积为( )
A.2π B.4π C.π D.6π
12.已知以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=﹣1,A、B、C为该抛物线上不同的三点,且点B在x轴的下方,若||、||、||成等差数列,且++=0,则直线AC的方程为( )
A.y=x B.y=x+1 C.y=2x+1 D.y=2x﹣1
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知正方体的棱长为2,则它的内切球的表面积是 .
14.三视图如图所示的几何体的体积为 .
15.已知点P是双曲线﹣=1,(a>0,b>0)右支上一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2的内心,且有S﹣S=S,则该双曲线的离心率为 .
16.某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体,其直观图和三视图如图所示,正视图为正方形,其中俯视图中椭圆的离心率为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知圆C:(x﹣1)2+y2=内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点.
(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;
(2)当直线l的斜率k=1时,求弦AB的长.
18.(12分)如图,正三棱锥A﹣BCD中,已知AB=BC=.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)求三棱锥A﹣BCD的体积.
19.(12分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,已知M、N分别为棱AD、BB1的中点.
(1)求证:直线MN∥平面AB1D1;
(2)若正方体的棱长a=2,求点A1到面AB1D1的距离.
20.(12分)已知点M(1,m)在抛物线C:y2=2px(P>0)上,且M到抛物线C的焦点F的距离等于2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l与抛物线C相交于A、B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点).求证直线AB恒过x轴上的某定点,并求出该定点坐标.
21.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知底面ABCD是菱形且∠BAD=60°,侧棱PA=PD,O为AD边的中点,M为线段PC上的定点.
(1)求证:平面PAD⊥平面POB;
(2)若AB=2,PA=,PB=,且直线PA∥平面MOB,求三棱锥P﹣MOB的体积.
22.(12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)过点(2,3),且右焦点为圆C:(x﹣2)2+y2=2的圆心.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设P是椭圆E上在y轴左侧的一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A、B,且两切线的斜率之积为,求△PAB的面积.
2016-2017学年重庆市巴蜀中学高二(上)期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2015秋•张家界期末)抛物线y2=2x的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】根据抛物线方程,可得2p=2,得=.再根据抛物线是开口向右以原点为顶点的抛物线,即可得到它的焦点坐标.
【解答】解:∵抛物线方程为y2=2x,
∴2p=2,得=
∵抛物线开口向右且以原点为顶点,
∴抛物线的焦点坐标是(,0)
故选:D
【点评】本题给出抛物线方程,求它的焦点坐标,着重考查了抛物线的标准方程和简单性质等知识,属于基础题.
2.(2016秋•渝中区校级期中)在空间中,以下命题正确的是( )
A.平行于同一条直线的两条直线相互平行
B.平行于同一平面的两条直线相互平行
C.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直
D.垂直于同一平面的两条直线相互垂直
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【专题】综合题;转化思想;演绎法;空间位置关系与距离.
【分析】对于A,根据平行公理可知平行于同一条直线的两直线互相平行;对于B,平行于同一平面的两条直线还可以异面或相交;对于C,垂直于同一直线的两条直线也有可能是异面或相交;对于D,垂直于同一平面的两条直线互相平行.
【解答】解:对于A,根据平行公理可知平行于同一条直线的两直线互相平行,所以正确.
对于B,平行于同一平面的两条直线还可以异面或相交,所以错误.
对于C,垂直于同一直线的两条直线也有可能是异面或相交,所以错误.
对于D,垂直于同一平面的两条直线互相平行,所以错误
故选:A.
【点评】本题考查空间直线与平面垂直的性质、面面平行的判定,考查空间想象能力,属于中档题.
3.(2016秋•渝中区校级期中)焦点在x轴上的椭圆的长轴长等于4,离心率等于,则该椭圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
【考点】椭圆的标准方程.
【专题】计算题;方程思想;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由题意可设椭圆方程为,且求得a,结合离心率得到c,再由隐含条件求得b,则椭圆方程可求.
【解答】解:由题意可知,椭圆方程为,
且2a=4,得a=2,又e=,得c=,
∴b2=a2﹣c2=1,
∴椭圆的标准方程为.
故选:B.
【点评】本题考查椭圆的标准方程,是基础题.
4.(2016秋•渝中区校级期中)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下列命题中不正确的是( )
A.m⊥α,n⊥α,则m∥n B.m⊂α,α∥β,则m∥β
C.m⊥α,n⊂α,则m⊥n D.m∥α,n⊂α,则m∥n
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【专题】综合题;转化思想;演绎法;空间位置关系与距离.
【分析】对于A,根据垂直于同一平面的两条直线平行进行判断;
对于B,根据平面与平面平行的性质,可得线面平行;
对于C,故线面垂直的性质,可得m⊥n;
对于D,m,n可以异面.
【解答】解:对于A,根据垂直于同一平面的两条直线平行,可得m∥n,正确;
对于B,根据平面与平面平行的性质,可得m∥β,正确;
对于C,故线面垂直的性质,可得m⊥n,正确;
对于D,m,n可以异面,故不正确.
故选D.
【点评】本题主要考查线线,线面,面面平行关系及垂直关系的转化,属于基础题.
5.(2016秋•渝中区校级期中)过椭圆C:+=1的右焦点F2且与x轴垂直的直线与椭圆C相交于A、B两点,则弦长|AB|=( )
A. B. C. D.
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】转化思想;转化法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】椭圆+=1,可得c=3,取焦点F(3,0).把x=3代入椭圆方程,解得y,即可得出弦长|AB|.
【解答】解:由题意可知:a2=25,b2=16,
c2=a2﹣b2=9,
由x=3时,y=±,
∴弦长|AB|=,
故选C.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
6.(2016秋•渝中区校级期中)已知圆锥的底面半径r=3,圆锥的高h=4,则该圆锥的表面积等于( )
A.12π B.15π C.21π D.24π
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
【专题】计算题;方程思想;演绎法;立体几何.
【分析】利用勾股定理求得圆锥的母线长,则圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长.
【解答】解:底面半径为3,则底面周长=6π,底面面积=9π;
由勾股定理得,母线长=5,
圆锥的侧面面积S侧=×6π×5=15π,
∴它的表面积S=15π+9π=24π,
故选:D.
【点评】本题考查了有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路:解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系:(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径;(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.
7.(2016•包头二模)已知双曲线(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2﹣6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )
A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1
【考点】双曲线的简单性质;双曲线的标准方程.
【专题】计算题.
【分析】先利用圆的一般方程,求得圆心坐标和半径,从而确定双曲线的焦距,得a、b间的一个等式,再利用直线与圆相切的几何性质,利用圆心到渐近线距离等于圆的半径,得a、b间的另一个等式,联立即可解得a、b的值,从而确定双曲线方程
【解答】解:∵圆C:x2+y2﹣6x+5=0的圆心C(3,0),半径r=2
∴双曲线(a>0,b>0)的右焦点坐标为(3,0),即c=3,∴a2+b2=9,①
∵双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程为bx﹣ay=0,
∴C到渐近线的距离等于半径,即=2 ②
由①②解得:a2=5,b2=4
∴该双曲线的方程为
故选 A
【点评】本题主要考查了圆的一般方程,直线与圆的位置关系及其应用,双曲线的标准方程及其求法,双曲线的几何性质及其运用,两曲线的综合运用
8.(2016秋•渝中区校级期中)已知某组合体的正视图与侧视图相同,如图所示,其中AB=AC,四边形BCDE为矩形,则该组合体的俯视图可能为( )
A.(1)(3) B.(1)(2)(4) C.(2)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4)
【考点】简单空间图形的三视图.
【专题】图表型;分类讨论;分类法.
【分析】由已知中的正视图与侧视图,可得该几何体是一个锥体和柱体的组合体;分类讨论,可判断各种情况下,该组合体的俯视图.
【解答】解:由已知中的正视图与侧视图,
可得该几何体是一个锥体和柱体的组合体;
如果上面为圆锥,下面为圆柱,则俯视图为(3);
如果上面为棱锥,下面为圆柱,则俯视图为(2);
如果上面为圆锥,下面为棱柱,则俯视图为(4);
如果上面为棱锥,下面为棱柱,则俯视图为(1);
故选:D
【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,分类讨论思想,难度中档.
9.(2016秋•渝中区校级期中)已知P为双曲线﹣=1右支上的动点,M为圆(x+5)2+y2=1上动点,N为圆(x﹣5)2+y2=4上的动点,则|PM|﹣|PN|的最小值、最大值分别为( )
A.4、8 B.3、9 C.2、10 D.1、11
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】转化思想;转化法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心和半径,再利用平面几何知识把|PM|﹣|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求|PM|﹣|PN|的最小值和最大值.
【解答】解:双曲线﹣=1的两个焦点分别是F1(﹣5,0)与F2(5,0),
则这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1和(x﹣5)2+y2=4的圆心,半径分别是r1=1,r2=2,
∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6,
∴|PM|min=|PF1|﹣1,|PN|max=|PF2|+2,
∴|PM|max=|PF1|+1,|PN|min=|PF2|﹣2,
∴|PM|﹣|PN|的最小值=(|PF1|﹣1)﹣(|PF2|+2)=6﹣3=3,
PM|﹣|PN|的最大值=(|PF1|+1)﹣(|PF2|﹣2)=6+3=9,
|PM|﹣|PN|的最小值、最大值分别3,9,
故选B.
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和双曲线与圆的关系,着重考查了学生对双曲线定义的理解和应用,以及对几何图形的认识能力,属于中档题.
10.(2016秋•渝中区校级期中)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,已知P为对角面A1BCD1内的动点,且点P到直线AB1的距离和到直线BC的距离相等,若P点轨迹为曲线M的一部分,则曲线M是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
【考点】平面与圆柱面的截线.
【专题】综合题;转化思想;演绎法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】设AB1∩A1B=O,求得PO与P到BC的距离相等,根据抛物线的定义,可得结论.
【解答】解:设AB1∩A1B=O,
∵AB1⊥对角面A1BCD1,
∴PO表示P到AB1的距离,
∵平面A1BCD1上一动点P到AB1和BC的距离相等,
∴PO与P到BC的距离相等,
根据抛物线的定义,可得点P的轨迹为抛物线的一部分.
故选:D.
【点评】本题考查抛物线定义及线面垂直的性质.定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等),可用定义直接探求.
11.(2016秋•渝中区校级期中)如图,边长为2的正方形ABCD中,点E、F分别是边AB、BC的中点,现将△AED,△EBF,△FCD分别沿DE、EF、FD折起,使A、B、C三点重合于点M,则三棱锥M﹣DEF的外接球的体积为( )
A.2π B.4π C.π D.6π
【考点】球内接多面体.
【专题】综合题;转化思想;演绎法;立体几何.
【分析】把棱锥扩展为正四棱柱,求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径,即可求出三棱锥M﹣DEF的外接球的体积.
【解答】解:由题意可知△MEF是等腰直角三角形,且MD⊥平面MEF.
三棱锥的底面MEF扩展为边长为1的正方形,
然后扩展为正四棱柱,三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球,
正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径,直径为:=.
∴球的半径为,
∴三棱锥M﹣DEF的外接球的体积为=.
故选:C.
【点评】本题考查三棱锥M﹣DEF的外接球的体积,考查几何体的折叠问题,几何体的外接球的半径的求法,考查空间想象能力.
12.(2016秋•渝中区校级期中)已知以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=﹣1,A、B、C为该抛物线上不同的三点,且点B在x轴的下方,若||、||、||成等差数列,且++=0,则直线AC的方程为( )
A.y=x B.y=x+1 C.y=2x+1 D.y=2x﹣1
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】函数思想;转化法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】根据抛物线的准线方程求出p,设A,B,C的坐标,根据||、||、||成等差数列,且点B在x轴下方,若++=0,求出x1+x3=2,x2=1,然后求出直线AC的斜率和A,C的中点坐标,进行求解即可.
【解答】解:抛物线y2=2px(p>0),则抛物线的准线方程是x=﹣=﹣1,
∴p=2,
即抛物线方程为y2=4x,F(1,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
||、||、||成等差数列,
2||=||+||,即x1+1+x3+1=2(x2+1),
即x1+x3=2x2,
∵++=0,
∴(x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1,y1+y2+y3)=0,
∴x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0,
则x1+x3=2,x2=1,
由y22=4x2=4,则y2=﹣2或2(舍),
则y1+y3=2,
则AC的中点坐标为(,),即(1,1),
AC的斜率k=====2,
则直线AC的方程为y﹣1=2(x﹣1),
即y=2x﹣1,
故选D.
【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系,根据条件求出直线AB的斜率和AB的中点坐标是解决本题的关键.综合性较强,难度较大,属于中档题.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2013秋•吉林期末)已知正方体的棱长为2,则它的内切球的表面积是 4π .
【考点】球的体积和表面积.
【专题】球.
【分析】根据正方体内切球和正方体的棱长关系,确定球的半径即可求出球的表面积.
【解答】解:∵正方体的内切球的球心O到正方体各面的距离等于半径,
∴2R=2,
即球半径R=1,
∴内切球的表面积是4π.
故答案为:4π;
【点评】本题主要考查球的表面积的计算,根据球与正方体的内切关系确定球的半径是解决本题的关键,比较基础.
14.(2016秋•渝中区校级期中)三视图如图所示的几何体的体积为 .
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积.
【专题】计算题;空间位置关系与距离;立体几何.
【分析】由已知可得该几何体是以俯视图为底面的三棱锥,代入棱锥体积公式,可得答案.
【解答】解:由已知可得该几何体是以俯视图为底面的三棱锥,
故几何体的体积V==×(2+1)×1×3=,
故答案为:
【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积,空间三视图,熟练掌握棱锥的体积公式,是解答的关键.
15.(2016秋•渝中区校级期中)已知点P是双曲线﹣=1,(a>0,b>0)右支上一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2的内心,且有S﹣S=S,则该双曲线的离心率为 2 .
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】综合题;转化思想;演绎法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G,连接IE、IF、IG,可得△IF1F2,△IPF1,△IPF2可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形.利用三角形面积公式,代入已知式S﹣S=S,化简可得|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|,再结合双曲线的定义与离心率的公式,可求出此双曲线的离心率.
【解答】解:如图,设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G,连接IE、IF、IG,
则IE⊥F1F2,IF⊥PF1,IG⊥PF2,它们分别是
△IF1F2,△IPF1,△IPF2的高,
∴S=×|PF1|×|IF|=|PF1|,
S=×|PF2|×|IG|=|PF2|
S=×|F1F2|×|IE|=|F1F2|,其中r是△PF1F2的内切圆的半径.
∵S﹣S=S,
∴|PF1|﹣|PF2|+|F1F2|
两边约去得:|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|
根据双曲线定义,得|PF1|﹣|PF2|=2a,|F1F2|=2c
∴2a=c⇒离心率为e==2,
故答案为:2.
【点评】本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中,用来求双曲线的离心率,着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点,属于中档题.
16.(2015•湖北模拟)某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体,其直观图和三视图如图所示,正视图为正方形,其中俯视图中椭圆的离心率为 .
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长,再根据椭圆的性质a2﹣b2=c2,和离心率公式,计算即可.
【解答】解:设正视图正方形的边长为m,根据正视图与俯视图的长相等,得到俯视图中椭圆的短轴长2b=m,
俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径m,得到俯视图中椭圆的长轴长2a=m,
则椭圆的焦距=m,
根据离心率公式得,e==
故答案为:.
【点评】本题主要考查了椭圆的离心率公式,以及三视图的问题,属于基础题.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2016秋•渝中区校级期中)已知圆C:(x﹣1)2+y2=内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点.
(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;
(2)当直线l的斜率k=1时,求弦AB的长.
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】综合题;方程思想;演绎法;直线与圆.
【分析】(1)先求出圆的圆心坐标,从而可求得直线l的斜率,再由点斜式方程可得到直线l的方程,最后化简为一般式即可.
(2)先根据点斜式方程求出方程,再由点到线的距离公式求出圆心到直线l的距离,进而根据勾股定理可求出弦长.
【解答】解:(1)圆C:(x﹣1)2+y2=的圆心为C(1,0),
因直线过点P、C,所以直线l的斜率为2,
直线l的方程为y=2(x﹣1),即2x﹣y﹣2=0.
(2)当直线l的斜率k=1时,直线l的方程为y﹣2=x﹣2,即x﹣y=0
圆心C到直线l的距离为,圆的半径为,弦AB的长为2=2.
【点评】本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离;直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键.
18.(12分)(2016秋•渝中区校级期中)如图,正三棱锥A﹣BCD中,已知AB=BC=.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)求三棱锥A﹣BCD的体积.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系.
【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离.
【分析】(1)取BC的中点E,连接AE,DE,通过证明BC⊥平面ADE得出BC⊥AD;
(2)VA﹣BCD=VB﹣ADE+VC﹣ADE=S△ADE•BC.
【解答】证明:(1)取BC的中点E,连接AE,DE.
∵三棱锥A﹣BCD是正三棱锥,
∴AE⊥BC,DE⊥BC,
又AE⊂平面ADE,DE⊂平面ADE,AE∩DE=E,
∴BC⊥平面ADE,
又AD⊂平面ADE,
∴BC⊥AD.
(2)∵AB=BC=,∴BE=,AD=,
∴AE=DE=,
∴cos∠AED==,∴sin∠AED=.
∴S△ADE=AE•DE•sin∠AED==.
∴VA﹣BCD=VB﹣ADE+VC﹣ADE=S△ADE•BC==.
【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质,棱锥的体积计算,属于中档题.
19.(12分)(2016秋•渝中区校级期中)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,已知M、N分别为棱AD、BB1的中点.
(1)求证:直线MN∥平面AB1D1;
(2)若正方体的棱长a=2,求点A1到面AB1D1的距离.
【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定.
【专题】综合题;转化思想;等体积法;空间位置关系与距离.
【分析】(1)取DD1 中点G,连接MG、NG,由线面平行的判定定理证明MG∥平面AB1D1,NG∥平面AB1D1,再由面面平行的判断得平面MNG∥平面AB1D1,从而可得直线MN∥平面AB1D1;
(2)直接利用等积法求得点A1到面AB1D1的距离.
【解答】(1)证明:取DD1 中点G,连接MG、NG,
则MG∥AD1,
∵MG⊄平面AB1D1,AD1⊂平面AB1D1,
∴MG∥平面AB1D1,
NG∥B1D1,NG⊄平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,
∴NG∥平面AB1D1,
又MG∩NG=G,∴平面MNG∥平面AB1D1,
∴直线MN∥平面AB1D1;
(2)解:设点A1到面AB1D1的距离为d,
∵正方体的棱长a=2,∴△AB1D1的边长为2,则=,
则,即d=.
【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力和思维能力,训练了等积法求多面体的体积,是中档题.
20.(12分)(2016秋•渝中区校级期中)已知点M(1,m)在抛物线C:y2=2px(P>0)上,且M到抛物线C的焦点F的距离等于2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l与抛物线C相交于A、B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点).求证直线AB恒过x轴上的某定点,并求出该定点坐标.
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】分类讨论;分类法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)由抛物线的定义可知:1+=2,即可求得p,代入求得抛物线C的方程;
(2)当当直线l的斜率不存在时,设l:x=t,(t>0)求得A点坐标,代入即可求得t的值;当直线的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,代入抛物线方程由韦达定理可知x1+x2=﹣且x1x2=,由OA⊥OB,•=0,根据向量数量积的坐标表示,求得k与m的关系,求得直线方程y=k(x﹣4),直线AB恒过x轴上的定点N(4,0).
【解答】解:(1)∵点M(1,m)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,点M到抛物线C的焦点F的距离为2,
∴1+=2,
∴p=2,
∴抛物线C的方程为y2=4x;
(2)证明:当直线l的斜率不存在时,设l:x=t,(t>0)与抛物线第一象限交于A点,
∵OA⊥OB,
∴A(t,t),
代入整理得t2=4t,解得:t=4,
∴故直线恒过定点N(4,0)
当直线的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立y2=4x得kx2+(2km﹣4)x+m2=0,
依题意有k≠0,由韦达定理可知:x1+x2=﹣且x1x2=①,
∵OA⊥OB,
•=0,
∴x1x2+y1y2=0,
即(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,
将①代入化简得m2+4km=0,故m=﹣4k,
此时直线l:y=kx﹣4k=k(x﹣4),
直线AB恒过x轴上的定点N(4,0).
【点评】本题考查抛物线的标准方程,直线与抛物线的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,考查学生的计算能力,属于中档题.
21.(12分)(2016秋•渝中区校级期中)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知底面ABCD是菱形且∠BAD=60°,侧棱PA=PD,O为AD边的中点,M为线段PC上的定点.
(1)求证:平面PAD⊥平面POB;
(2)若AB=2,PA=,PB=,且直线PA∥平面MOB,求三棱锥P﹣MOB的体积.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.
【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离.
【分析】(1)通过证明AD⊥平面POB得出平面PAD⊥平面POB;
(2)连接AC交OB与N,连接BD交AC于E,连接MN,则PA∥MN,计算OP得出M到平面ABCD的距离d,则VP﹣MOB=VA﹣MOB=S△AOB•d.
【解答】证明:(1)∵PA=PD,O是AD的中点,
∴PO⊥AD,
∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,
∴OB⊥AD,
又PO⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,
∴OB⊥平面PAD,
又OB⊂平面POB,
∴平面PAD⊥平面POB.
(2)∵△PAD是等腰三角形,AD=AB=2,PA=,
∴AO=,∴OP==2,
连接AC交OB与N,连接BD交AC于E,连接MN,
∵PA∥平面OMB,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面OMB=MN,
∴PA∥MN,
∴,
∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,
∴AN=AE,AC=2AE,
∴=,
∴M到平面ABCD的距离d=PO=.
∴VP﹣MOB=VA﹣MOB=S△AOB•d==.
【点评】本题考查了面面垂直的判定定理,线面平行的性质,棱锥的体积计算,属于中档题.
22.(12分)(2016秋•渝中区校级期中)已知椭圆E:+=1(a>b>0)过点(2,3),且右焦点为圆C:(x﹣2)2+y2=2的圆心.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设P是椭圆E上在y轴左侧的一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A、B,且两切线的斜率之积为,求△PAB的面积.
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】方程思想;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)由椭圆右焦点为圆C:(x﹣2)2+y2=2的圆心,可得c=2,又=1,a2=b2+c2,联立解出即可得出.
(2)设P(x0,y0)(x0<0),则经过点P的切线斜率存在,设切线方程为:y﹣y0=k(x﹣0).可得=,化为:k2+2y0(2﹣x0)k+﹣2=0.设切线PA,PB的斜率分别为k1,k2.可得k1k2==,x0<0.与+=1联立,解得P.进而得出.
【解答】解:(1)∵椭圆右焦点为圆C:(x﹣2)2+y2=2的圆心(2,0),∴c=2,
又=1,a2=b2+c2,联立解得a=4,b=2.
∴椭圆E的标准方程为:+=1.
(2)设P(x0,y0)(x0<0),则经过点P的切线斜率存在,设切线方程为:y﹣y0=k(x﹣0),即kx﹣y+y0﹣kx0=0.
则=,化为:k2+2y0(2﹣x0)k+﹣2=0.(*)
设切线PA,PB的斜率分别为k1,k2.
则k1k2==,化为:=﹣4x0+6,x0<0.
与+=1联立,解得,
∴P(﹣2,±3).
由对称性不妨取P(﹣2,3),F(2,0).
∴|PA|=|PB|==.
在RT△PFB中,cos∠APF=,sin∠APB=.
∴sin∠APB=2××=.
∴S△PAB=sin∠APB==.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式、倍角公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.