数学理卷·2019届湖南省岳阳县第一中学高二下学期第一次月考（2018-03） 11页

‎2017-2018学年岳阳县一中高二下期第一次月考试题 理数试题 ‎（满分：150分 时间：120分钟） ‎ 一、选择题（共12小题，共60分）‎ ‎1. 复数 = （ ）‎ A. B. C. 0 D. 2‎ ‎2. 设函数，则（ ）‎ A. 2 B. 1 C. 0 D. ‎ ‎3.曲线与坐标轴所围成面积是（ ）‎ A．4 B．2 C．1 D．3‎ ‎4. 若平面、的一个法向量分别为，，则（ ）‎ A. B. C. 与相交但不垂直 D. 以上均不正确 ‎5．已知有下列各式：，成立，观察上面各式，按此规律若，则正数（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6．下列有关命题的说法正确的是( )．‎ A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”．‎ B. “” 是“”的必要不充分条件.‎ C. 命题“若，则”的逆否命题为真命题.‎ D. 命题“使得”的否定是：“均有”．‎ ‎7.在验证吸烟与否与患肺炎与否有关的统计中，根据计算结果，认为这两件事情无关的可能性不足1%，那么的一个可能取值为( ) ‎ P（K2>k）‎ ‎0．10‎ ‎0．05‎ ‎0．025‎ ‎0．010‎ ‎0．005‎ ‎0．001‎ k ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎6．635‎ ‎7．879‎ ‎10．828‎ A．6.635 B．5.024 C．7.897 D．3.841‎ ‎8.设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），已知，则（ ）‎ A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975‎ ‎9．利用数学归纳法证明“， ”‎ 时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈(0，1)），已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎11. 函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）‎ A. 函数有极大值和极小值 B. 函数有极小值和极大值 ‎ C. 函数有极小值和极小值 ‎ D. 函数有极大值和极小值 ‎ ‎12. 已知点在双曲线上，直线过坐标原点，且直线、的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（共4小题，共20分）‎ ‎13.展开式的常数项为______________（用数字作答）．‎ ‎14.从（其中m，n∈{ –1，2，3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为____________.‎ ‎15.将2名主治医生，4名实习医生分成2个小组，分别安排到A、B两地参加医疗互助活动，每个小组由1名主治医生和2名实习医生组成，实习医生甲不能分到A地，则不同的分配方案共有 种．‎ ‎16.定义在上的函数满足：①当时，；②都有.设关于的函数 的零点从小到大依次为，则 .‎ 三、解答题（共6小题，第17题10分，其余各题均为12分，共70分）‎ ‎17.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）。以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为。‎ ‎（1）写出⊙C的直角坐标方程；‎ ‎（2）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标。‎ ‎18．已知四棱锥，面,∥,,，,,为上一点,是平面与的交点.‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）求与面所成角的正弦值.‎ ‎19.为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格: ‎ 日期 ‎4月1日 ‎4月7日 ‎4月15日 ‎4月21日 ‎4月30日 温差x/oC ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 发芽数y/颗 ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎ (1)从这5天中任选2天,若选取的是4月1日与4月30日的两组数据,请根据这5天中的另3天的数据,求出y关于x的线性回归方程;‎ ‎(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的两组检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠.‎ ‎(参考公式,)‎ ‎20.某款游戏共四关，玩家只有通过上一关才能继续进入下一关游戏，每通过一关可得10分，现在甲和乙来玩这款游戏，已知甲每关通过的概率是，乙每关通过的概率是．‎ (1) 求甲、乙两人最后得分之和为20的概率；‎ (2) 设甲的最后得分为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎21. 已知椭圆（），F1、F2分别为它的左、右焦点，过焦点且垂直于轴的弦长为3，且两焦点与短轴一端点构成等边三角形.‎ (1) 求椭圆C的方程；‎ (2) 问是否存在过椭圆焦点F2的弦PQ，使得 | PF1 |，| PQ |，| QF1 |成等差数列，若存在，求出PQ所在直线方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎22.已知函数 ‎ （1）求函数在处的切线方程；‎ ‎ （2）若至少存在一个使成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设且在时恒成立，求整数的最大值.‎ 数学试题答案 ‎（满分：150分 时间：120分钟） ‎ 一、选择题（共10小题，共50分）‎ ‎1. 复数 = （ A ）‎ A. B. C. 0 D. 2‎ ‎2. 设函数，则（ D）‎ A. 2 B. 1 C. 0 D. ‎ ‎3.曲线与坐标轴所围成面积是（ D ）‎ A．4 B．2 C．1 D．3‎ ‎4. 若平面、的一个法向量分别为，，则（ B ）‎ A. B. C. 与相交但不垂直 D. 以上均不正确 ‎5．已知有下列各式：，成立，观察上面各式，按此规律若，则正数（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．下列有关命题的说法正确的是( C )．‎ A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”．‎ B. “” 是“”的必要不充分条件.‎ C. 命题“若，则”的逆否命题为真命题.‎ D. 命题“使得”的否定是：“均有”．‎ ‎7.在验证吸烟与否与患肺炎与否有关的统计中，根据计算结果，认为这两件事情无关的可能性不足1%，那么的一个可能取值为( C ) ‎ P（K2>k）‎ ‎0．10‎ ‎0．05‎ ‎0．025‎ ‎0．010‎ ‎0．005‎ ‎0．001‎ k ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎6．635‎ ‎7．879‎ ‎10．828‎ A．6.635 B．5.024 C．7.897 D．3.841‎ ‎8.设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），已知，则（ C ）‎ A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975‎ ‎9．利用数学归纳法证明“， ”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是（ C ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈(0，1)），已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为（ D ）‎ A． B． C． D． ‎11. 函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ A ）‎ A. 函数有极大值和极小值 B. 函数有极小值和极大值 ‎ C. 函数有极小值和极小值 ‎ D. 函数有极大值和极小值 ‎ ‎12. 已知点在双曲线上，直线过坐标原点，且直线、的斜率之积为，则双曲线的离心率为（A ）‎ A. B. C. D.‎ 二、 填空题 ‎13.展开式的常数项为______-160________（用数字作答）．‎ ‎14.从（其中m，n∈{ –1，2，3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为___4/7_________.‎ ‎15.将2名主治医生，4名实习医生分成2个小组，分别安排到A、B两地参加医疗互助活动，每个小组由1名主治医生和2名实习医生组成，实习医生甲不能分到A地，则不同的分配方案共有 6 种．‎ ‎16.定义在上的函数满足：①当时，；②都有.设关于的函数 的零点从小到大依次为，若，则 .‎ 三、解答题 ‎17.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）。以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为。‎ (1) 写出⊙C的直角坐标方程；‎ (2) P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标。‎ 解析：(1) 由，得，从而有，‎ 所以 ‎(2) 设，又，‎ 则 故当t = 0时，取得最小值。‎ 此时，P点的直角坐标为（3，0）‎ ‎18．已知四棱锥，面,∥,,，,,为上一点,是平面与的交点.‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）求与面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）、（2）证明详见解析；（3）．‎ 试题解析：（1）∵面，∴．‎ 又，∴面，‎ ‎∵面,∴．‎ 又∵，∴面 ．‎ ‎（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，‎ ‎,‎ 设由且∥可得 ‎，解得，∴．‎ 设为平面的一个法向量则有 ‎，令，，∴ ，‎ ‎∴与面所成角的正弦值为 .‎ ‎19．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格:‎ 日期 ‎4月1日 ‎4月7日 ‎4月15日 ‎4月21日 ‎4月30日 温差x/oC ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 发芽数y/颗 ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎ (1)从这5天中任选2天,若选取的是4月1日与4月30日的两组数据,请根据这5天中的另3天的数据,求出y关于x的线性回归方程;‎ ‎(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠.‎ ‎(参考公式,)‎ ‎【答案】‎ ‎(1)由已知中表格得, 4月7日, 4月15日, 4月21日这3天的数据的平均数为,所以,所以y关于x的线性回归方程为,‎ ‎(2)依题意得,当时,;当时,,所以(2)中所得的线性回归方程是可靠的.‎ ‎20.(本小题满分12分) 某款游戏共四关，玩家只有通过上一关才能继续进入下一关游戏，每通过一关可得10分，现在甲和乙来玩这款游戏，已知甲每关通过的概率是，乙每关通过的概率是．‎ (1) 求甲、乙两人最后得分之和为20的概率；‎ (2) 设甲的最后得分为X，求X的分布列和数学期望．‎ 解析：(1) 设“甲、乙最后得分之和为20”为事件A，“甲0分，乙20分”为事件B，“甲10分，乙10分”为事件C，“甲20分，乙0分”为事件D ‎ 则 则 （6分）‎ ‎（2）X的所有可能取值为0,10,20,30,40.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ X分布列为 X ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ P ‎ ‎ ‎21. (本小题满分12分) 已知椭圆（），F1、F2分别为它的左、右焦点，过焦点且垂直于轴的弦长为3，且两焦点与短轴一端点构成等边三角形.‎ (1) 求椭圆C的方程；（2）问是否存在过椭圆焦点F2的弦PQ，使得 | PF1 |，| PQ |，| QF1 |成等差数列，若存在，求出PQ所在直线方程；若不存在，请说明理由．‎ 解析：(1) 由条件得，所以椭圆方程为 4分 ‎(2) 不存在。由条件得：，则 显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，即直线PQ斜率不存在时，‎ 当直线PQ斜率存在时，设它的斜率为k，‎ 则直线PQ的方程为，代入椭圆C的方程，‎ 消去y并整理得：‎ ‎ 则 ‎∴‎ 当时，无解。 12分 ‎22. 21.（本题满分12分）已知函数 ‎ （1）求函数在处的切线方程；‎ ‎ （2）若至少存在一个使成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设且在时恒成立，求整数的最大值.‎