2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题07 数列（讲）（原卷版） 6页

专题07 数列(讲)‎ ‎1．【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则( )‎ A． 当 B． 当 C． 当 D． 当 ‎3．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．‎ ‎4．【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.‎ 一、考向分析： ‎ ‎ 数列 数列求和 通项公式概念 等差（比）数列 数列应用 ‎ 二、考向讲解 考查内容 ‎ 解 题 技 巧 ‎ ‎1、用观察法求数列的通项公式的两个技巧 ‎(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．‎ ‎(2)对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．‎ ‎2、已知Sn求an的三个步骤 通项公式 ‎(1)先利用a1＝S1求出a1；‎ ‎(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；‎ ‎(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．‎ ‎3、由递推关系式求通项公式的常用方法 ‎(1)已知a1且an－an－1＝f(n)(n≥2，n∈N*)，可用“累加法”求an。‎ ‎(2)已知a1且＝f(n)(n≥2，n∈N*)，可用“累乘法”求an。‎ ‎(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}。‎ 另外：1.形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解。‎ ‎(4)形如an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可。‎ 等差数列 ‎1、等差数列运算问题的通性通法 ‎(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解。‎ ‎(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。‎ ‎2、等差数列的四种判断方法 ‎(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列。‎ ‎(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列。‎ ‎(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列。‎ ‎(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列。‎ ‎3、等差数列的性质 ‎(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差。‎ ‎(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ‎①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an。‎ ‎4、求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 ‎(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn ‎，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解。‎ ‎(2)邻项变号法：‎ ‎①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm。‎ ‎②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm。‎ 等比数列 ‎1、解决等比数列有关问题的常用思想方法 ‎(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．‎ ‎(2)分类讨论的思想：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比的取值情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算。‎ ‎2、证明等比数列的用方法：证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可。‎ 数列求和 ‎1、分组转化法求和的常见类型 ‎(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和。‎ ‎(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和。‎ ‎2、错位相减法求和时两个注意点 ‎(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；‎ ‎(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．‎ ‎(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。‎ ‎3．裂项相消法 ‎(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。‎ ‎(2)常见的裂项技巧 ‎①＝－。②＝。‎ ‎③＝。④＝－。‎ ‎(3)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等。‎ 考查通项公式：‎ ‎【例1】设数列的前n项和为，已知，且，记，则______．‎ ‎【例2】在数列中，，，则( )‎ A． B． C． D．‎ 考查等(差)比数列的证明 ‎【例1】已知数列的前项和为，且，．‎ ‎(1)，求证数列是等比数列；(2)设，求证数列是等差数列；‎ ‎ ‎ 考查等差(比)数列性质：‎ ‎【例1】在等差数列中，，是方程的两根，则数列的前11项和等于( )‎ A．66 B．132 C．66 D． 32‎ ‎【例2】设是等比数列，且，，则的通项公式为_______．‎ 考查数列求和：‎ ‎【例1】已知数列的前项和为,且,,则满足 ‎ ‎【例2】已知递增等比数列满足：，.‎ ‎(1)求的前项和；(2)设，求数列的前项和.‎ 考查数列应用：‎ ‎【例1】‎ 习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．山东某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元．‎ ‎(1)每台充电桩第几年开始获利？()‎ ‎(2)每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．‎ 考查数列与不等式：‎ ‎【例1】已知正数数列满足，.令(其中)，数列的前项和为，证明：.‎ 等差数列前n项和最值问题 ‎【例】在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值。‎ ‎【变式】若将本例条件“a1＝‎20”‎改为“a1＝－‎20”‎，其他条件不变，求当n取何值时，Sn取得最小值，并求出最小值。‎ 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 ‎1．函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解。‎ ‎2．邻项变号法：‎ ‎(1)当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm。‎ ‎(2)当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm。‎