数学理卷·2018届重庆市江津中学高三4月月考（2018 10页

数学试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎3.等差数列的前项和为，且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.执行如图的程序框图，则输出的值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知实数满足不等式组，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.某中学为提升学生的英语学习能力，进行了主题为“听”、“说”、“读”、“写”四场竞赛.规定：每场竞赛的前三名得分分别为（，且），选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名，在第四场竞赛中，已知甲最终得分为分，乙最终得分为分，丙最终得分为分，且乙在“听”这场竞赛中获得了第一名，则“读”这场竞赛的前三名是（ ）‎ A．甲 B．乙 C.丙 D．甲和丙都有可能 ‎8.将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架（如图），小红欲从处行走至处，则小红行走路程最近的路程共有（ ）‎ A．种 B．种 C. 种 D．种 ‎9. （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.如图，半径为的扇形中，是弧上的一点，且满足 分别是线段上的动点，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知实数满足，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，且，则等于 ．‎ ‎14.在展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 ．‎ ‎15.下图是两个腰长均为的等腰直角三角形拼成的一个四边形，现将四边形沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的体积为 ．‎ ‎16.设椭圆的两个焦点是，过的直线与椭圆交于，若 ‎，且，则椭圆的离心率为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设数列的前项和是，且是等差数列，已知.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：‎ ‎（1）已知该校有名学生，试估计全校学生中，每天学习不足小时的人数.‎ ‎（2）若从学习时间不少于小时的学生中选取人，设选到的男生人数为，求随机变量的分布列.‎ ‎（3）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.‎ ‎（只需写出结论）‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形 为的中点，点在线段上.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）试确定点的位置，使得直线与平面所成的角与直线与平面 所成的角相等.‎ ‎20. 已知分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于两点的任意一点，直线的斜率分别记为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）过坐标原点作与直线平行的两条射线分别交椭圆于点，问：的面积是否为定值？请说明理由.‎ ‎21. 已知，函数.‎ ‎（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）令，已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；‎ ‎（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知.‎ ‎（1）当时，解不等式.‎ ‎（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DCDDC 6-10:CBBAC 11、12：AC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）记，又为等差数列，公差记为，‎ ‎，得，得 时，时也满足.综上.‎ ‎（2）由（1）得 ‎.‎ ‎18.解：（1）由折线图可得共抽取了人，其中男生中学习时间不足小时的有人，女生中学习时间不足小时的有人.‎ 可估计全校中每天学习不足小时的人数为：人.‎ ‎（2）学习时间不少于本的学生共人，其中男学生人数为人，故的所有可能取值为.‎ 由题意可得；；‎ ‎；；.‎ 所以随机变量的分布列为 均值.‎ ‎（3）由折线图可得差.（只需写出结论）‎ ‎19.（1）证明：在平面四边形中，连接，因为，‎ 由余弦定理得，得，‎ 所以，即，又，‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 所以平面，所以.‎ ‎（2）侧面底面，所以底面，所以直线两两相互垂直，以为原点，直线为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 ‎，所以，设，则，所以，易得平面 的法向量.设平面的法向量为，由，‎ 得，令，得.因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，所以，即，所以，即，解得，所以.‎ ‎20.（1）设，则；‎ ‎（2）由题知，直线，直线，设，‎ 则，由，‎ 同理可得，故有，‎ 又，故.‎ ‎21.（1）因为，‎ 要使在为减函数，则需在上恒成立.‎ 即在上恒成立，因为在为增函数，所以在的最小值为，所以.‎ ‎（2）因为，所以.‎ ‎，‎ 当时，在上为递增，‎ 当时，在上为递减，‎ 所以的最大值为，所以的值域为.‎ 若对任意，总存在.使得成立，则，‎ 函数在的值域是在的值域的子集.‎ 对于函数，‎ ‎①当时，的最大值为，所以在上的值域为，由得；‎ ‎②当时，的最大值为，所以在上的值域为，由得（舍）.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎22.（1）的极坐标方程是，整理得的直角坐标方程为.‎ 曲线，故的普通方程为.‎ ‎（2）将曲线经过伸缩变换后得到的方程为，则曲线 的参数方程为（为参数）.设，则点到曲线的距离为.‎ 当时，有最小值，所以的最小值为.‎ ‎23.（1）当时，等式，即，‎ 等价于或或，解得或，‎ 所以原不等式的解集为；‎ ‎（2）设，则，‎ 则在上是减函数，在上是增函数，‎ 当时，取最小值且最小值为，‎ ‎，解得实数的取值范围为.‎