2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第二章　第3讲　函数的奇偶性及周期性 7页

‎ [基础题组练]‎ ‎1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上递增的是(　　)‎ A．y＝　　　　　　　 B．y＝|x|－1‎ C．y＝lg x D．y＝ 解析：选B.y＝为奇函数；y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；y＝在(0，＋∞)上为减函数；y＝|x|－1在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数．‎ ‎2．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b(b为常数)，则f(－2)＝(　　)‎ A．6 B．－6‎ C．4 D．－4‎ 解析：选A.因为f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b，‎ 所以f(0)＝1＋2b＝0，‎ 所以b＝－.‎ 所以f(x)＝3x－7x－1，‎ 所以f(－2)＝－f(2)＝－(32－7×2－1)＝6.选A.‎ ‎3．已知函数y＝f(x)，满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝(　　)‎ A. B． C．π D． 解析：选B.由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知，f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)＝f(x－2)，故f(x)＝f(x＋4)，则F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝，故选B.‎ ‎4．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)‎ C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)‎ 解析：选D.因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，‎ 所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，‎ 所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.‎ ‎5．(2020·湖南郴州质量检测)已知f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，且在[2b，0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为(　　)‎ A. B． C．[－1，1] D． 解析：选B.因为f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，所以2b＋1－b＝0，所以b＝－1，‎ 因为f(x)在[2b，0]上为增函数，即函数f(x)在[－2，0]上为增函数，故函数f(x)在(0，2]上为减函数，则由f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，‎ 解得－1≤x≤.又因为定义域为[－2，2]，所以解得 综上，所求不等式的解集为.故选B.‎ ‎6．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________．‎ 解析：因为 f(x)为偶函数，所以f(－x)－f(x)＝0恒成立，所以－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，所以xln a＝0恒成立，所以ln a＝0，即a＝1.‎ 答案：1‎ ‎7．(2020·四川乐山模拟)已知函数f(x)满足：f(－x)＋f(x)＝0，且当x≥0时，f(x)＝－1，则f(－1)＝____________．‎ 解析：因为f(－x)＋f(x)＝0，‎ 所以f(x)为奇函数，‎ 又当x≥0时，f(x)＝－1，‎ 则f(0)＝－1＝0，所以m＝－1.‎ 所以当x≥0时，f(x)＝－1，‎ 所以f(－1)＝－f(1)＝－＝.‎ 答案： ‎8．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)及f(x)＝－f(－x)，且在[0，1]上有f(x)＝x2，则f＝________．‎ 解析：函数f(x)的定义域是R，f(x)＝－f(－x)，所以函数f(x)是奇函数. 又f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)‎ 是以4为周期的奇函数，所以f＝f＝f＝－f.因为在[0，1]上有f(x)＝x2，所以f＝＝，故f＝－.‎ 答案：－ ‎9．已知函数f(x)＝是奇函数．‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上递增，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)设x＜0，则－x＞0，‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.‎ 又f(x)为奇函数，‎ 所以f(－x)＝－f(x)，‎ 于是x＜0时，‎ f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，‎ 所以m＝2.‎ ‎(2)由(1)可画出f(x)的图象，知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上递增．‎ 结合f(x)的图象知 所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．‎ ‎10．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.‎ ‎(1)求f(π)的值；‎ ‎(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．‎ 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，‎ 所以f(x)是以4为周期的周期函数．‎ 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)‎ ‎＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.‎ ‎(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，‎ 得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，‎ 即f(1＋x)＝f(1－x)．‎ 从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．‎ 又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．‎ 设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·广东湛江一模)已知函数g(x)＝f(2x)－x2为奇函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．1 D．2‎ 解析：选C.因为g(x)为奇函数，且f(2)＝1，所以g(－1)＝－g(1)，所以f(－2)－1＝－f(2)＋1＝－1＋1＝0，所以f(－2)＝1.故选C.‎ ‎2．函数y＝f(x)在[0，2]上是增加的，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)‎ A．f(1)