上海市闵行区闵行中学2020届高三上学期期中考试数学试题 20页

闵行中学高三期中数学卷2019.10‎ 一.填空题 ‎1.不等式的解集为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式变为，解不等式得到结果.‎ ‎【详解】 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，属于基础题.‎ ‎2.实数2和8的等比中项是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 所求的等比中项为： .‎ ‎3.已知函数的反函数是，则________‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 设，则 即 ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为：3‎ ‎4.在等差数列中，，，则 ．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，‎ 则，‎ 所以，故答案为8.‎ ‎5.若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式可知.‎ ‎【详解】 ‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据诱导公式求值，属于简单题型.‎ ‎6.已知函数为奇函数，且当时，，则______．‎ ‎【答案】－2‎ ‎【解析】‎ f(－1)＝－f(1)＝－2.‎ ‎7.已知，则的最小值为________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据指对互化，表示为，再利用基本不等式求最小值.‎ ‎【详解】，，且，‎ 即 ‎ ‎，‎ 等号成立的条件是，‎ 又因为 ，解得.‎ 故答案为：4.‎ ‎【点睛】本题考查指对互化，和基本不等式求最值，意在考查转化和计算能力，属于简单题型.‎ ‎8.设，若，则实数的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断函数的定义域和单调性，不等式等价于，利用函数性质解不等式.‎ ‎【详解】函数的定义域是 ，并且函数是单调递增函数，‎ ‎ ‎ ‎ ，解得：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的性质解抽象不等式，意在考查函数基本性质简单应用，解抽象不等式时，需注意函数的定义域.‎ ‎9.若数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，函数，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差，等比数列的几何性质，可求得,，代入求值.‎ ‎【详解】是等差数列，‎ ‎ ‎ 是等比数列，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等差和等比数列的几何性质，意在考查基础知识的掌握水平，属于基础题型.‎ ‎10.已知函数和函数的图象交于三点，则的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积.‎ ‎【详解】画出两个函数图像如下图所示，由图可知，对于点，由，解得，所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.‎ ‎11.已知函数，若存在实数、（），使得，则实数的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先令，转化为，根据，可知转化为和的交点个数求参数的取值范围.‎ ‎【详解】当，即 ‎ 即 ，‎ 转化为与有两个交点，‎ 如图，‎ 由图象可知当时图象有两个交点.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数取值范围，意在考查数形结合分析问题的能力，一般判断函数零点个数或是根据零点个数求参数取值范围，都可以转化成两个函数的交点个数.‎ ‎12.设数列满足,,,，______.‎ ‎【答案】8073‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对分奇偶讨论求解即可 ‎【详解】当为偶数时，‎ 当为奇数时，‎ 故当为奇数时，‎ 故 故答案为8073‎ ‎【点睛】本题考查数列递推关系，考查分析推理能力，对分奇偶讨论发现规律是解决本题关键，是难题 ‎13.函数（）的图像与其对称轴在轴右侧的交点从左到右依次记为，，，，，，在点列中存在三个不同的点、、，使得△是等腰直角三角形，将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求函数与对称轴的交点，，根据为等腰直角三角形，且，此等腰直角三角形斜边的高是2，底边长为4，根据交点坐标表示底边长，再根据数形结合可知，最后表示求值.‎ ‎【详解】函数的对称轴是 ‎，‎ 解得，‎ ‎， ‎ 为等腰直角三角形，且，‎ 此等腰直角三角形斜边的高是2，底边长为4， ‎ 即，即，‎ ‎，‎ 而，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为： ‎ ‎【点睛】本题考查函数性质的综合运用，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的一个关键点是根据数形结合分析出，从而求得的通项公式.‎ ‎14.已知无穷等比数列满足：对任意的，，则数列公比的取值集合为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件先得到：的表示，然后再根据是等比数列讨论公比的情况.‎ ‎【详解】因为，所以，即；取连续的有限项构成数列，不妨令，则，且，则此时必为整数；‎ 当时，，不符合；‎ 当时，，符合，‎ 此时公比 ；‎ 当时， ，不符合；‎ 当时，，不符合；‎ 故：公比.‎ ‎【点睛】本题考查无穷等比数列的公比，难度较难,分析这种抽象类型的数列问题时，经常需要进行分类，可先通过列举的方式找到思路，然后再准确分析.‎ 二.选择题 ‎15.“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】函数存在反函数，至少还有可能函数在上为减函数，充分性不成立；根据反函数的定义可知必要性显然成立， “函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的必要而不充分条件，故选B.‎ ‎16.已知数列的通项公式，前项和为，则关于数列、的极限，下面判断正确的是（）‎ A. 数列的极限不存在，的极限存在 B. 数列的极限存在，的极限不存在 C. 数列、的极限均存在，但极限值不相等 D. 数列、的极限均存在，且极限值相等 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别考虑与的极限，然后作比较.‎ ‎【详解】因为，‎ 又 ，所以数列、的极限均存在，且极限值相等，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查数列的极限的是否存在的判断以及计算，难度一般.注意求解 的极限时，若是分段数列求和的形式，一定要将多段数列均考虑到.‎ ‎17.设函数（、、是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据在具有单调性，且，可求出函数的对称轴，再根据求出函数的对称中心，最后根据具有单调性和相邻的对称轴和对称中心的距离是求最小正周期.‎ ‎【详解】在具有单调性，且 ‎ 关于对称，‎ ‎，且，‎ 即的对称中心为，‎ 设的最小正周期为，‎ 则 .‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查根据三角函数的单调性求函数的最小正周期，属于中档题型，意在考查数形结合解决三角函数性质问题，正弦（型）函数既是中心对称又是轴对称图象，相邻的对称轴间的距离是半个周期，相邻的对称轴和对称中心的距离是，那么根据单调区间和所给特殊函数值的关系可得到对称关系，从而得到函数的最小正周期.‎ ‎18.已知数列是公差不为零的等差数列，函数是定义在上的单调递增的奇函数，数列的前项和为，对于命题：‎ ‎①若数列为递增数列，则对一切，；‎ ‎②若对一切，，则数列为递增数列；‎ ‎③若存在，使得，则存在，使得；‎ ‎④若存在，使得，则存在，使得；‎ 其中正确命题的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一分析选项，得到正确答案.‎ ‎【详解】①令 ， ，故①错；‎ ‎②对一切，，则，又因为是上的单调递增的奇函数，所以，若递减，设，且 ‎，‎ 且，所以，则 ‎，则 ‎，与题设矛盾，所以递增，故②正确；‎ ‎③设，， ，则，， ，存在，但是，故③错误；‎ ‎④因，所以，‎ 所以，‎ 则，‎ 则，则存在，使得，故④正确.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数与数列的综合问题，属于难题，意在考查利用数列和函数的性质推理，证明，如果比较难的存在性证明，可以举反例说明不成立.‎ 三.解答题 ‎19.‎ 在等比数列中，.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1).（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)设的公比为q，依题意得方程组，‎ 解得，即可写出通项公式.‎ ‎（2）因为，利用等差数列的求和公式即得.‎ 试题解析：(1)设的公比为q，依题意得 ‎，‎ 解得，‎ 因此，.‎ ‎（2）因为，‎ 所以数列的前n项和.‎ 考点：等比数列、等差数列.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）若，且，求的值；‎ ‎（2）求函数的最小正周期及函数在上单调递减区间 ‎【答案】（1）（2）周期为，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得f（α）的值；‎ ‎（2）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性得出结论．‎ ‎【详解】解：（1） 因为，且,‎ 所以，‎ 所以 ‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以的最小正周期为 当时，，‎ 再由得，，‎ 函数在上的递减区间为 ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题．‎ ‎21.如图，某公园有三条观光大道、、围成直角三角形，其中直角边，斜边.‎ ‎（1）若甲乙都以每分钟100的速度从点出发，甲沿运动，乙沿运动，乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离；‎ ‎（2）现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点、、，设，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离.‎ ‎【答案】（1）；（2）， .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出角，在三角形BDE中，，，利用余弦定理求出；（2）先在中求出，在中由正弦定理得代入得出与的关系，求出最小值.‎ ‎【详解】（1）依题意得，，中 ‎ 在中，由余弦定理得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎（2）由题意得 ，在中， ，‎ 在中由正弦定理得 ‎ ‎ ‎ 所以当时，有最小值. 即甲乙之间的最小距离为.‎ ‎【点睛】本题考查利用正余弦定理解决实际问题，意在考查分析问题，解决问题的能力，属于中档题型.‎ ‎22.已知函数，，其中.‎ ‎（1）当时，求函数的值域；‎ ‎（2）若对任意，均有，求的取值范围；‎ ‎（3）当时，设，若的最小值为，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）;(2) ;(3) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当a=0时，，，借助换元法及二次函数图象及性质即可求函数g（x）的值域；‎ ‎（2）分类讨论，|f（x）|≤2，可化为，变量分离，构建新函数求最值，即可求a的取值范围；‎ ‎（3）分类讨论，利用配方法，结合的最小值为，求实数a的值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，‎ 因为，‎ 所以，的值域为 ‎（2）若，‎ 若时，可化 即，所以 因为在为递增函数，所以函数的最大值为，‎ 因为（当且仅当，即取“”）‎ 所以的取值范围是.‎ ‎（3）因为当时，，‎ 令，，则 ，‎ 当时，即，；‎ 当时，，即，‎ 因为，所以，.‎ 若，，此时，‎ 若，即，此时，所以实数.‎ ‎23.对于数列，把作为新数列的第一项，把或（‎ ‎）作为新数列的第项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列的一个生成数列是．已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和．‎ ‎（1）写出的所有可能值；‎ ‎（2）若生成数列满足，求数列的通项公式；‎ ‎（3）证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）列举出数列所有可能情况，共种，分别计算和值为，本题目的初步感观生成数列（2）已知和项解析式，则可利用求通项. 当时，，而当且仅当时，才成立．所以（3）本题实际是对（1）的推广.证明的实质是确定集合的个数及其表示形式.首先集合的个数最多有种情形，而每一种的值都不一样，所以个数为种情形，这是本题的难点，利用同一法证明. 确定集合的表示形式，关键在于说明分子为奇数.由得分子必是奇数，奇数个数由范围 确定.‎ 试题解析：解：（1）由已知，，，‎ ‎∴，‎ 由于，‎ ‎∴可能值为． 3分 ‎（2）∵，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ ‎，， 5分 ‎∵是的生成数列，‎ ‎∴；；；‎ ‎∴‎ 在以上各种组合中，‎ 当且仅当时，才成立．‎ ‎∴． 8分 ‎（3）共有种情形．‎ ‎，即，‎ 又，分子必是奇数，‎ 满足条件的奇数共有个． 10分 设数列与数列为两个生成数列，数列的前项和为，数列的前项和为，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第项．‎ 由于，不妨设，‎ 则 ‎，‎ 所以，只有当数列与数列的前项完全相同时，才有．12分 ‎∴共有种情形，其值各不相同．‎ ‎∴可能值必恰为，共个．‎ 即所有可能值集合为． 13分 注：若有其它解法，请酌情给分 考点：已知和项求通项，数列综合 ‎ ‎