高考文科数学复习：夯基提能作业本 (35) 9页

第三节　函数的奇偶性与周期性 A组　基础题组 ‎1.下列函数为奇函数的是(　　)‎ A.y=x B.y=ex ‎ C.y=cos x D.y=ex-e-x ‎2.(2017湖北襄阳模拟)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是单调递增函数的是(　　)‎ A.y=-‎1‎x B.y=3-x-3x ‎ C.y=x|x| D.y=x3-x ‎3.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2, f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于(　　)‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎4.(2016天津,6,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-‎2‎),则a的取值范围是(　　)‎ A.‎-∞,‎‎1‎‎2‎ B.‎-∞,‎‎1‎‎2‎∪‎‎3‎‎2‎‎,+∞‎ C.‎1‎‎2‎‎,‎‎3‎‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎‎,+∞‎ ‎5.函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当0≤x≤1时, f(x)=2x(1-x),则f‎5‎‎2‎的值为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎4‎ C.-‎1‎‎4‎ D.-‎‎1‎‎2‎ ‎6.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x>‎1‎‎2‎时, ‎ f x+‎‎1‎‎2‎=f x-‎‎1‎‎2‎.则f(6)=(　　)‎ A.-2 B.-1 C.0 D.2‎ ‎7.(2016四川,14,5分)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0f(a),则实数a的取值范围是　　　　. ‎ ‎10.已知函数f(x)=‎-x‎2‎+2x,x>0,‎‎0,x=0,‎x‎2‎‎+mx,x<0‎是奇函数.‎ ‎(1)求实数m的值;‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.‎ ‎11.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数, f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时, f(x)=x.‎ ‎(1)求f(π)的值;‎ ‎(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积;‎ ‎(3)写出在(-∞,+∞)内函数f(x)的单调区间.‎ B组　提升题组 ‎12.(2016安徽江南十校联考)设f(x)=x+sin x(x∈R),则下列说法错误‎··‎的是(　　)‎ A.f(x)是奇函数 B.f(x)在R上单调递增 C.f(x)的值域为R D.f(x)是周期函数 ‎13.(2016吉林长春模拟)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时, f(x)=0,则f‎23π‎6‎=(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.0 D.-‎‎1‎‎2‎ ‎14.(2015课标Ⅱ,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-‎1‎‎1+‎x‎2‎,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(　　)‎ A.‎1‎‎3‎‎,1‎ B.‎-∞,‎‎1‎‎3‎∪(1,+∞)‎ C.‎-‎1‎‎3‎,‎‎1‎‎3‎ D.‎-∞,-‎‎1‎‎3‎∪‎‎1‎‎3‎‎,+∞‎ ‎15.(2015广东惠州六校联考)定义在R上的奇函数f(x)和定义在{x|x≠0}上的偶函数g(x)分别满足f(x)=‎2‎x‎-1(0≤x<1),‎‎1‎x‎(x≥1),‎g(x)=log2x(x>0),若存在实数a,使得f(a)=g(b)成立,则实数b的取值范围是(　　)‎ A.[-2,2] B.‎-2,-‎‎1‎‎2‎∪‎‎1‎‎2‎‎,2‎ C.‎-‎1‎‎2‎,0‎∪‎0,‎‎1‎‎2‎ D.(-∞,-2]∪[2,+∞)‎ ‎16.(2016安徽芜湖一中月考)设f(x)是定义在实数R上的函数,若y=f(x+1)是偶函数,且当x≥1时, f(x)=‎1‎‎2‎x-1,则f‎2‎‎3‎, f‎3‎‎2‎, f‎1‎‎3‎的大小关系是(　　)‎ A.f‎2‎‎3‎>f‎3‎‎2‎>f‎1‎‎3‎ B.f‎2‎‎3‎>f‎1‎‎3‎>f‎3‎‎2‎ C.f‎3‎‎2‎>f‎2‎‎3‎>f‎1‎‎3‎ D.f‎1‎‎3‎>f‎3‎‎2‎>f‎2‎‎3‎ ‎17.设f (x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上, f (x)=ax+1,-1≤x<0,‎bx+2‎x+1‎‎,0≤x≤1,‎其中a,b∈R.若f ‎1‎‎2‎=f ‎3‎‎2‎,则a+3b的值为　　　　. ‎ ‎18.(2016内蒙古包头九中期中)若关于x的函数f(x)=tx‎2‎+2x+t‎2‎+sinxx‎2‎‎+t(t>0)的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,则实数t的值为　　　　. ‎ ‎19.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).‎ ‎(1)求证:f(x)是周期函数;‎ ‎(2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时, f(x)=‎1‎‎2‎x,求在[0,2 014]上使f(x)=-‎1‎‎2‎的所有x的个数.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.D　对于A,定义域不关于原点对称,则y=x既不是奇函数又不是偶函数,故不符合要求;对于B,y=ex既不是奇函数又不是偶函数,故不符合要求;对于C,y=cos x是偶函数,故不符合要求;对于D,令y=f(x)=ex-e-x.∵f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),∴y=ex-e-x为奇函数,故选D.‎ ‎2.C　对于A,y=f(x)=-‎1‎x的定义域为{x|x≠0},满足f(-x)=-f(x),是奇函数,但在定义域上不单调;‎ 对于B,y=f(x)=3-x-3x的定义域为R,满足f(-x)=-f(x),是奇函数,但在定义域上是单调减函数;‎ 对于C,y=f(x)=x|x|的定义域为R,满足f(-x)=-f(x),是奇函数,是定义域R上的单调增函数,满足题意;‎ 对于D,y=f(x)=x3-x的定义域为R,满足f(-x)=-f(x),是奇函数,但在R上不是单调函数.故选C.‎ ‎3.B　由已知得f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),则有‎-f(1)+g(1)=2,‎f(1)+g(1)=4,‎解得g(1)=3.‎ ‎4.C　∵f(x)是偶函数且在(-∞,0)上单调递增,‎ ‎∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(-‎2‎)=f(‎2‎),∴原不等式可化为f(2|a-1|)>f(‎2‎).故有2|a-1|<‎2‎,即|a-1|<‎1‎‎2‎,解得‎1‎‎2‎‎1‎‎2‎时,由f x+‎‎1‎‎2‎=f x-‎‎1‎‎2‎可得当x>0时, f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),又由题意知f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=2,故选D.‎ ‎7.答案　-2‎ 解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数,‎ ‎∴f(0)=0,‎ 又∵f(x)的周期为2,‎ ‎∴f(2)=0,‎ 又∵f‎-‎‎5‎‎2‎=f‎-‎‎1‎‎2‎=-f‎1‎‎2‎=-‎4‎‎1‎‎2‎=-2,‎ ‎∴f‎-‎‎5‎‎2‎+f(2)=-2.‎ ‎8.答案　-28‎ 解析　∵函数f(x)=x‎2‎‎+3x(x≥0),‎g(x)(x<0)‎为奇函数,‎ ‎∴g(x)=-f(-x)=-(x2-3x)=-x2+3x,‎ ‎∴g(-1)=-1-3=-4,‎ ‎∴f(g(-1))=f(-4)=g(-4)=-16-12=-28.‎ ‎9.答案　(-2,1)‎ 解析　∵f(x)是奇函数,∴当x<0时, f(x)=-x2+2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知f(x)是R上的增函数,所以由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,解得-20,‎ 所以f(x)=x2+mx, f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.‎ 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),‎ 即-x2-2x=-x2-mx,所以m=2.‎ ‎(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,‎ 结合f(x)的图象知a-2>-1,‎a-2≤1,‎ 所以10时, f(x)=ln(1+x)-‎1‎‎1+‎x‎2‎,‎ ‎∴f '(x)=‎1‎‎1+x+‎2x‎(1+‎x‎2‎‎)‎‎2‎>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|),‎ ‎∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得‎1‎‎3‎f‎3‎‎2‎>f‎1‎‎3‎.‎ ‎17.答案　-10‎ 解析　∵T=2,‎ ‎∴f‎3‎‎2‎=f‎-‎‎1‎‎2‎=-‎1‎‎2‎a+1.‎ ‎∵f‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎b+2‎‎1‎‎2‎‎+1‎=b+4‎‎3‎,‎ f‎3‎‎2‎=f‎1‎‎2‎,‎ ‎∴-‎1‎‎2‎a+1=b+4‎‎3‎,‎ ‎∴‎3‎‎2‎a+b=-1.①‎ 又由题意知f(1)=f(-1),‎ ‎∴b+2‎‎2‎=-a+1,∴b=-2a.②‎ 由①②解得a=2,b=-4,‎ ‎∴a+3b=-10.‎ ‎18.答案　2‎ 解析　 f(x)=tx‎2‎+2x+t‎2‎+sinxx‎2‎‎+t=t+‎2x+sinxx‎2‎‎+t,易知函数y=‎2x+sinxx‎2‎‎+t是奇函数,‎ ‎∵函数f(x)的最大值为M,最小值为N,‎ ‎∴M-t=-(N-t),则2t=M+N=4,∴t=2.‎ ‎19.解析　(1)证明:∵f(x+2)=-f(x),‎ ‎∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),‎ ‎∴f(x)是以4为周期的周期函数.‎ ‎(2)当0≤x≤1时, f(x)=‎1‎‎2‎x,‎ 设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,‎ ‎∴f(-x)=‎1‎‎2‎(-x)=-‎1‎‎2‎x.‎ ‎∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),‎ ‎∴-f(x)=-‎1‎‎2‎x,即f(x)=‎1‎‎2‎x.‎ 故f(x)=‎1‎‎2‎x(-1≤x≤1).‎ 另设1