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- 2021-06-15 发布
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2018-2019学年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高二下学期期末考试数学(文)试题
一、单选题
1.设全集,集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】利用补集的定义求出,再利用交集的定义得出集合.
【详解】
,,,因此,,故选:B.
【点睛】
本题考查补集和交集的混合运算,要充分理解补集和交集的定义,在求解无限数集之间的运算时,可以利用数轴来理解,考查计算能力,属于基础题.
2.若,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题.故本题答案选.
3.若函数,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】利用分段函数的解析式先计算出的值,再计算出的值.
【详解】
,,因此,
,故选:C.
【点睛】
本题考查分段函数值的计算,解题时要充分利用分段函数的解析式,对于多层函数值的计算,采用由内到外逐层计算,考查计算能力,属于基础题.
4.若是不全相等的实数,求证:.
证明过程如下:
,,,,
又不全相等,
以上三式至少有一个“”不成立,
将以上三式相加得,
.
此证法是( )
A.分析法 B.综合法 C.分析法与综合法并用 D.反证法
【答案】B
【解析】【详解】
因为,综合法是指从已知条件出发,借助其性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题,其特点和思路是“由因导果”,即从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,所以,本题用的是综合法,故选B.
5.已知变量、之间的线性回归方程为,且变量、之间的一-组相关数据如下表所示,则下列说法错误的是( )
A.可以预测,当时, B.
C.变量、之间呈负相关关系 D.该回归直线必过点
【答案】B
【解析】将的值代入回归直线方程可判断出A选项的正误;将的坐标代入回归直线方程可计算出实数
的值,可判断出B选项的正误;根据回归直线方程的斜率的正负可判断出C选项的正误;根据回归直线过点可判断出D选项的正误.
【详解】
对于A选项,当时,,A选项正确;
对于B选项,,,将点的坐标代入回归直线方程得,解得,B选项错误;
对于C选项,由于回归直线方程的斜率为负,则变量、之间呈负相关关系,C选项正确;
对于D选项,由B选项可知,回归直线必过点,D选项正确.故选:B.
【点睛】
本题考查回归直线方程有关命题的判断,解题时要熟悉与回归直线有关的结论,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.
6.设,,,则、、的大小顺序为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】利用指数函数与对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小,从而可得出这三个数的大小关系.
【详解】
由于指数函数为增函数,则.
由于对数函数在上为增函数,则,即.
由于对数函数在上为增函数,则,即.
因此,,故选:A.
【点睛】
本题考查指数式、对数式的大小比较,一般利用中间值、,结合指数函数和对数函数的单调性来得出各数的大小关系,考查逻辑推理能力,属于中等题.
7.函数的图象大致为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题中表达式得到当时,分母趋向于0,分子趋向于4,整个分式趋向于,故排除BC,当时,分母趋向于0,但是小于0,分子趋向于4,整个分式趋向于,故排除A.进而得到选项.
【详解】
根据题干中的表达式得到x不能等于2,故图中必有渐近线,x=2或-2,当时,分母趋向于0,分子趋向于4,整个分式趋向于,故排除BC,当时,分母趋向于0,但是小于0,分子趋向于4,整个分式趋向于,故排除A.
故答案为:D.
【点睛】
这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像,这类题目通常是从表达式入手,通过表达式得到函数的定义域,值域,奇偶性,等来排除部分选项,或者寻找函数的极限值,也可以排除选项.
8.已知是定义在上的函数,满足,,当时,,则函数的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知,函数是以为周期的周期函数,且为奇函数,求出函数在区间上的最大值即可作为函数在上的最大值.
【详解】
,,则函数为奇函数,则.
由,所以,函数是以为周期的周期函数,
且,又,所以,.
当时,,
那么当时,,
所以,函数在区间上的值域为,
因此,函数的最大值为,故选:A.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、周期性与函数的最值,解题时要充分注意函数的最值与单调性、周期性之间的关系,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
9.函数为上的偶函数,且在上单调递减,若,则满足的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】将不等式变为,由偶函数的性质得出,由函数在上单调递减得出,解出即可.
【详解】
,由得,
由于函数为偶函数,则,,
函数在上单调递减,,可得或,
解得或,因此,满足的的取值范围是,
故选:C.
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性与单调性解函数不等式,同时也考查了对数不等式的求解,在解题时,若函数为偶函数,可利用性质,可将问题转化为函数在上的单调性求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
10.设函数,则零点的个数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在同一坐标系中作出函数和函数的图象,观察两个函数的交点个数,可得出函数的零点个数.
【详解】
令,得,即,
则函数的零点个数等于函数和函数的交点个数,
在同一坐标系中作出函数和函数的图象,如下图所示:
由上图可知,函数和函数有两个交点,
因此,函数的零点个数为,故选:C.
【点睛】
本题考查函数的零点个数的求解,一般有以下两种方法:
(1)代数法:解方程的根;
(2)图象法:求函数的零点个数,可转化为两个函数和函数图象的交点个数.
11.已知幂函数的图象过点,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设,将点的坐标代入函数的解析式,求出的值,然后再计算出的值.
【详解】
设,由题意可的,即,,则,
所以,,
因此,,故选:B.
【点睛】
本题考查指数幂的计算,同时也考查了对数运算,解题的关键就是求出幂函数的解析式,同时利用指数幂的运算性质进行计算,考查计算能力,属于中等题.
12.已知函数满足,且存在实数使得不等式成立,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在函数分别令和,可得出建立关于和的方程组,求出这两个值,可得出函数的解析式,再利用导数求出函数的最小值,可解出实数的取值范围.
【详解】
由题意可得,解得,,
存在实数使得不等式成立,.
,令,得,由于函数单调递增,
当时,;当时,.
所以,函数在处取得极小值,亦即最小值,即,
,因此,实数的取值范围是,故选:D.
【点睛】
本题考查函数解析式的求解,同时也考查了利用导数研究不等式能成立问题,转化技巧如下:
(1),(或)(或);
(2),(或)(或).
二、填空题
13.函数在上的最大值与最小值的和为_______.
【答案】
【解析】判断出函数在上的单调性,可求出该函数的最大值和最小值,相加即可得出答案.
【详解】
由于函数在上单调递减,则该函数的最大值为
,最小值为,
因此,函数在上的最大值与最小值的和为,故答案为:.
【点睛】
本题考查函数在区间上最值的求解,解题时要充分分析函数的单调性,利用函数单调性得出函数的最大值和最小值,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
14.函数的单调递增区间为__________.
【答案】
【解析】通过换元,找到内外层函数的单调性,根据复合函数单调性的判断方法,得到单调区间.
【详解】
函数,设t=,函数化为,外层函数是减函数,要求整个函数的增区间,只需要求内层函数的减区间,即t=的减区间,为.
故答案为:.
【点睛】
这个题目考查了复合函数单调区间的求法,满足同增异减的规则,难度中等.
15.现有如下假设:
所有纺织工都是工会成员,部分梳毛工是女工,部分纺织工是女工,所有工会成员都投了健康保险,没有一个梳毛工投了健康保险.
下列结论可以从上述假设中推出来的是__________.(填写所有正确结论的编号)
①所有纺织工都投了健康保险 ②有些女工投了健康保险 ③有些女工没有投健康保险 ④工会的部分成员没有投健康保险
【答案】①②③
【解析】∵所有纺织工都是工会成员,所有工会成员都投了健康保险
∴所有纺织工都投了健康保险,故①正确;
∵所有纺织工都是工会成员,所有工会成员都投了健康保险,部分纺织工是女工
∴有些女工投了健康保险,故②正确;
∵部分梳毛工是女工,没有一个梳毛工投了健康保险
∴有些女工没有投健康保险,故③正确;
∵所有工会成员都投了健康保险
∴工会的部分成员没有投健康保险是错误的,故④错误.
故答案为①②③.
16.函数f(x)=x(x-m)2在x=1处取得极小值,则m=________.
【答案】1
【解析】f′(1)=0可得m=1或m=3.
当m=3时,f′(x)=3(x-1)(x-3),
13,f′(x)>0,此时x=1处取得极大值,不合题意,所以m=1.
三、解答题
17.(Ⅰ)若,求,;
(Ⅱ)在复平面内,复数对应的点在第一象限,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)利用复数的乘法法则可得出复数,再利用共轭复数的定义和模长公式可求出和;
(Ⅱ)根据题意得出,解出这个不等式组可得出实数的取值范围.
【详解】
(Ⅰ),
因此,,;
(Ⅱ)由已知得:,解得,或.
因此,实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查复数的乘法、共轭复数、复数的模以及复数的几何意义,解题的关键就是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式,考查计算能力,属于基础题.
18.设,且.
(Ⅰ)求的值及的定义域;
(Ⅱ)求在区间上的最小值.
【答案】(Ⅰ),的定义域为;(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)利用可求出实数的值,再由真数大于零可求出函数的定义域;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,设,求出在上的取值范围,再由对数函数的单调性得出函数在区间上的最小值.
【详解】
(Ⅰ)由得,解得,
由得,因此,函数的定义域为;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
令,由得,
则原函数为,,由于该函数在上单调递减,
所以,因此,函数在区间上的最小值是.
【点睛】
本题考查对数的计算、对数函数的定义域以及对数型复合函数的最值,对于对数型复合函数的最值,要求出真数的取值范围,并结合同底数的对数函数单调性求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
19.某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关,先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制),剔除平均分在分以下的学生后,共有男生名,女生名.现采用分层抽样的方法,从中抽取了名学生,按性别分为两组,并将两组学生成绩分为组,得到如下所示频数分布表.
分数段
男
女
(Ⅰ)规定分以上为优分(含分),请你根据已知条件作出列联表.
优分
非优分
合计
男生
女生
合计
(Ⅱ)根据你作出的列联表判断是否有以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.
附表及公式:
,其中.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)没有.
【解析】(Ⅰ)由分以上为优分并结合表格中的数据可得出列联表;
(Ⅱ)根据列联表中的数据计算出的观测值,再将观测值与进行大小比较,可对题中的结论正误进行判断.
【详解】
(Ⅰ)由已知得列联表如下:
优分
非优分
合计
男生
女生
合计
(Ⅱ),
因为,所以没有以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.
【点睛】
本题考查列联表的完善以及独立性检验基本思想的应用,解题的关键就是结合的计算公式以及临界值表,计算出犯错误的概率,考查计算能力,属于基础题.
20.已知函数f (x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).
(Ⅰ)若函数f (x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;
(Ⅱ)若曲线y=f (x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.
【答案】(I);(II).
【解析】【详解】试题分析:(I)由函数的图象过原点可求得,由在原点处的切线斜率为可得进而可求得;(II)由曲线存在两条垂直于轴的切线得有两个不同的根,即,可解得的取值范围.
试题解析:.
(Ⅰ)由题意得,解得.
(Ⅱ)∵曲线存在两条垂直于轴的切线,
∴关于的方程有两个不相等的实数根,
∴即
∴
∴a的取值范围是
【考点】导数的几何意义.
21.已知函数.
(Ⅰ)当时,求的单调区间;
(Ⅱ)若函数与图象在上有两个不同的交点,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)函数的增区间为,减区间;(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)将代入函数的解析式,求出该函数的定义域和导数,然后分别解不等式和可得出函数的增区间和减区间;
(Ⅱ)令得出,问题转化为:当直线与函数在区间上的图象有两个交点时,求实数的取值范围,并利用导数分析函数在区间上的单调性、极值和端点函数值,利用数形结合思想可得出实数的取值范围,即可求出实数的取值范围.
【详解】
(Ⅰ)当时,,定义域为,
且.
令,即,解得;
令,即,解得.
因此,函数的增区间为,减区间;
(Ⅱ)由已知得:在有两个不相等的实数根.
令,,由得.
当时,,此时,函数为减函数;
当时,,此时,函数为增函数.
所以,函数在处取得极小值,
又,且,
当时,直线与函数在区间上的图象有两个交点,,
因此,实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间,同时也考查了利用导数研究函数的零点个数问题,在求解含单参数的函数零点个数问题时,可充分利用参变量分离法转化为参数直线与定函数的交点个数问题,利用数形结合思想求解,考查化归与转化思想,属于中等题.
22.以平面直角坐标系的坐标原点为极点,以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线与曲线相交于、两点,求.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)在曲线的极坐标方程两边同时乘以,再由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)设、在直线上对应的参数分别为、,将直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立,列出和,由可计算出的值.
【详解】
(Ⅰ)在曲线的极坐标方程两边同时乘以得,
曲线的直角坐标方程为;
(Ⅱ)设、在直线上对应的参数分别为、,
将直线的参数方程代入,整理得,
则,,,
.
【点睛】
本题考查极坐标方程与普通方程的互化,同时也考查直线截圆所得弦长的计算,可将直线的参数方程与圆的普通方程联立,利用的几何意义结合韦达定理求解,也可以计算出圆心到直线的距离,利用勾股定理计算出弦长,考查运算求解能力,属于中等题.
23.已知函数.
(Ⅰ)若,解不等式;
(Ⅱ)若,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)将代入函数的解析式,然后分、和三种情况分别解不等式,可得出该不等式的解集;
(Ⅱ)由题意得出,然后利用绝对值三角不等式求出函数的最小值,解出不等式,可得出实数的取值范围.
【详解】
(Ⅰ)若,,即,
当时,,即有;
当时,,不成立;
当时,,解得.
综上,不等式的解集为;
(2),使得成立,即有,
由绝对值三角不等式可得,
则,即,解得.
因此,实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法,同时也考查了绝对值不等式成立中的参数取值范围的求解,要结合已知条件转化为函数的最值来求解,考查化归与转化思想的应用,属于中等题.