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  • 2021-06-15 发布

2018-2019学年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)

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‎2018-2019学年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高二下学期期末考试数学(文)试题 一、单选题 ‎1.设全集,集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用补集的定义求出,再利用交集的定义得出集合.‎ ‎【详解】‎ ‎,,,因此,,故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查补集和交集的混合运算,要充分理解补集和交集的定义,在求解无限数集之间的运算时,可以利用数轴来理解,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎2.若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题.故本题答案选.‎ ‎3.若函数,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用分段函数的解析式先计算出的值,再计算出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎,,因此,‎ ‎,故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数值的计算,解题时要充分利用分段函数的解析式,对于多层函数值的计算,采用由内到外逐层计算,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎4.若是不全相等的实数,求证:.‎ 证明过程如下:‎ ‎,,,,‎ 又不全相等,‎ 以上三式至少有一个“”不成立,‎ 将以上三式相加得,‎ ‎.‎ 此证法是( )‎ A.分析法 B.综合法 C.分析法与综合法并用 D.反证法 ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 因为,综合法是指从已知条件出发,借助其性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题,其特点和思路是“由因导果”,即从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,所以,本题用的是综合法,故选B.‎ ‎5.已知变量、之间的线性回归方程为,且变量、之间的一-组相关数据如下表所示,则下列说法错误的是( )‎ A.可以预测,当时, B.‎ C.变量、之间呈负相关关系 D.该回归直线必过点 ‎【答案】B ‎【解析】将的值代入回归直线方程可判断出A选项的正误;将的坐标代入回归直线方程可计算出实数 的值,可判断出B选项的正误;根据回归直线方程的斜率的正负可判断出C选项的正误;根据回归直线过点可判断出D选项的正误.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项,当时,,A选项正确;‎ 对于B选项,,,将点的坐标代入回归直线方程得,解得,B选项错误;‎ 对于C选项,由于回归直线方程的斜率为负,则变量、之间呈负相关关系,C选项正确;‎ 对于D选项,由B选项可知,回归直线必过点,D选项正确.故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归直线方程有关命题的判断,解题时要熟悉与回归直线有关的结论,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.‎ ‎6.设,,,则、、的大小顺序为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用指数函数与对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小,从而可得出这三个数的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 由于指数函数为增函数,则.‎ 由于对数函数在上为增函数,则,即.‎ 由于对数函数在上为增函数,则,即.‎ 因此,,故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数式、对数式的大小比较,一般利用中间值、,结合指数函数和对数函数的单调性来得出各数的大小关系,考查逻辑推理能力,属于中等题.‎ ‎7.函数的图象大致为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题中表达式得到当时,分母趋向于0,分子趋向于4,整个分式趋向于,故排除BC,当时,分母趋向于0,但是小于0,分子趋向于4,整个分式趋向于,故排除A.进而得到选项.‎ ‎【详解】‎ 根据题干中的表达式得到x不能等于2,故图中必有渐近线,x=2或-2,当时,分母趋向于0,分子趋向于4,整个分式趋向于,故排除BC,当时,分母趋向于0,但是小于0,分子趋向于4,整个分式趋向于,故排除A.‎ 故答案为:D.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像,这类题目通常是从表达式入手,通过表达式得到函数的定义域,值域,奇偶性,等来排除部分选项,或者寻找函数的极限值,也可以排除选项.‎ ‎8.已知是定义在上的函数,满足,,当时,,则函数的最大值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知,函数是以为周期的周期函数,且为奇函数,求出函数在区间上的最大值即可作为函数在上的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎,,则函数为奇函数,则.‎ 由,所以,函数是以为周期的周期函数,‎ 且,又,所以,.‎ 当时,,‎ 那么当时,,‎ 所以,函数在区间上的值域为,‎ 因此,函数的最大值为,故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性、周期性与函数的最值,解题时要充分注意函数的最值与单调性、周期性之间的关系,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎9.函数为上的偶函数,且在上单调递减,若,则满足的的取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】将不等式变为,由偶函数的性质得出,由函数在上单调递减得出,解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,由得,‎ 由于函数为偶函数,则,,‎ 函数在上单调递减,,可得或,‎ 解得或,因此,满足的的取值范围是,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数奇偶性与单调性解函数不等式,同时也考查了对数不等式的求解,在解题时,若函数为偶函数,可利用性质,可将问题转化为函数在上的单调性求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎10.设函数,则零点的个数为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】在同一坐标系中作出函数和函数的图象,观察两个函数的交点个数,可得出函数的零点个数.‎ ‎【详解】‎ 令,得,即,‎ 则函数的零点个数等于函数和函数的交点个数,‎ 在同一坐标系中作出函数和函数的图象,如下图所示:‎ 由上图可知,函数和函数有两个交点,‎ 因此,函数的零点个数为,故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点个数的求解,一般有以下两种方法:‎ ‎(1)代数法:解方程的根;‎ ‎(2)图象法:求函数的零点个数,可转化为两个函数和函数图象的交点个数.‎ ‎11.已知幂函数的图象过点,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】设,将点的坐标代入函数的解析式,求出的值,然后再计算出的值.‎ ‎【详解】‎ 设,由题意可的,即,,则,‎ 所以,,‎ 因此,,故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数幂的计算,同时也考查了对数运算,解题的关键就是求出幂函数的解析式,同时利用指数幂的运算性质进行计算,考查计算能力,属于中等题.‎ ‎12.已知函数满足,且存在实数使得不等式成立,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】在函数分别令和,可得出建立关于和的方程组,求出这两个值,可得出函数的解析式,再利用导数求出函数的最小值,可解出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得,解得,,‎ 存在实数使得不等式成立,.‎ ‎,令,得,由于函数单调递增,‎ 当时,;当时,.‎ 所以,函数在处取得极小值,亦即最小值,即,‎ ‎,因此,实数的取值范围是,故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数解析式的求解,同时也考查了利用导数研究不等式能成立问题,转化技巧如下:‎ ‎(1),(或)(或);‎ ‎(2),(或)(或).‎ 二、填空题 ‎13.函数在上的最大值与最小值的和为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】判断出函数在上的单调性,可求出该函数的最大值和最小值,相加即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由于函数在上单调递减,则该函数的最大值为 ‎,最小值为,‎ 因此,函数在上的最大值与最小值的和为,故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数在区间上最值的求解,解题时要充分分析函数的单调性,利用函数单调性得出函数的最大值和最小值,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎14.函数的单调递增区间为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过换元,找到内外层函数的单调性,根据复合函数单调性的判断方法,得到单调区间.‎ ‎【详解】‎ 函数,设t=,函数化为,外层函数是减函数,要求整个函数的增区间,只需要求内层函数的减区间,即t=的减区间,为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了复合函数单调区间的求法,满足同增异减的规则,难度中等.‎ ‎15.现有如下假设:‎ 所有纺织工都是工会成员,部分梳毛工是女工,部分纺织工是女工,所有工会成员都投了健康保险,没有一个梳毛工投了健康保险.‎ 下列结论可以从上述假设中推出来的是__________.(填写所有正确结论的编号)‎ ‎①所有纺织工都投了健康保险 ②有些女工投了健康保险 ③有些女工没有投健康保险 ④工会的部分成员没有投健康保险 ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】∵所有纺织工都是工会成员,所有工会成员都投了健康保险 ‎∴所有纺织工都投了健康保险,故①正确;‎ ‎∵所有纺织工都是工会成员,所有工会成员都投了健康保险,部分纺织工是女工 ‎∴有些女工投了健康保险,故②正确;‎ ‎∵部分梳毛工是女工,没有一个梳毛工投了健康保险 ‎∴有些女工没有投健康保险,故③正确;‎ ‎∵所有工会成员都投了健康保险 ‎∴工会的部分成员没有投健康保险是错误的,故④错误.‎ 故答案为①②③.‎ ‎16.函数f(x)=x(x-m)2在x=1处取得极小值,则m=________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】f′(1)=0可得m=1或m=3.‎ 当m=3时,f′(x)=3(x-1)(x-3),‎ ‎13,f′(x)>0,此时x=1处取得极大值,不合题意,所以m=1.‎ 三、解答题 ‎17.(Ⅰ)若,求,;‎ ‎(Ⅱ)在复平面内,复数对应的点在第一象限,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ).‎ ‎【解析】(Ⅰ)利用复数的乘法法则可得出复数,再利用共轭复数的定义和模长公式可求出和;‎ ‎(Ⅱ)根据题意得出,解出这个不等式组可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ),‎ 因此,,;‎ ‎(Ⅱ)由已知得:,解得,或.‎ 因此,实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的乘法、共轭复数、复数的模以及复数的几何意义,解题的关键就是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎18.设,且.‎ ‎(Ⅰ)求的值及的定义域;‎ ‎(Ⅱ)求在区间上的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ),的定义域为;(Ⅱ).‎ ‎【解析】(Ⅰ)利用可求出实数的值,再由真数大于零可求出函数的定义域;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得,设,求出在上的取值范围,再由对数函数的单调性得出函数在区间上的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由得,解得,‎ 由得,因此,函数的定义域为;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得,‎ 令,由得,‎ 则原函数为,,由于该函数在上单调递减,‎ 所以,因此,函数在区间上的最小值是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的计算、对数函数的定义域以及对数型复合函数的最值,对于对数型复合函数的最值,要求出真数的取值范围,并结合同底数的对数函数单调性求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎19.某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关,先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制),剔除平均分在分以下的学生后,共有男生名,女生名.现采用分层抽样的方法,从中抽取了名学生,按性别分为两组,并将两组学生成绩分为组,得到如下所示频数分布表.‎ 分数段 男 女 ‎(Ⅰ)规定分以上为优分(含分),请你根据已知条件作出列联表.‎ 优分 非优分 合计 男生 女生 合计 ‎(Ⅱ)根据你作出的列联表判断是否有以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.‎ 附表及公式:‎ ‎,其中.‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)没有.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由分以上为优分并结合表格中的数据可得出列联表;‎ ‎(Ⅱ)根据列联表中的数据计算出的观测值,再将观测值与进行大小比较,可对题中的结论正误进行判断.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由已知得列联表如下:‎ 优分 非优分 合计 男生 女生 合计 ‎(Ⅱ),‎ 因为,所以没有以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查列联表的完善以及独立性检验基本思想的应用,解题的关键就是结合的计算公式以及临界值表,计算出犯错误的概率,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎20.已知函数f (x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).‎ ‎(Ⅰ)若函数f (x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;‎ ‎(Ⅱ)若曲线y=f (x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.‎ ‎【答案】(I);(II).‎ ‎【解析】【详解】试题分析:(I)由函数的图象过原点可求得,由在原点处的切线斜率为可得进而可求得;(II)由曲线存在两条垂直于轴的切线得有两个不同的根,即,可解得的取值范围.‎ 试题解析:.‎ ‎(Ⅰ)由题意得,解得.‎ ‎(Ⅱ)∵曲线存在两条垂直于轴的切线,‎ ‎∴关于的方程有两个不相等的实数根,‎ ‎∴即 ‎∴‎ ‎∴a的取值范围是 ‎【考点】导数的几何意义.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若函数与图象在上有两个不同的交点,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)函数的增区间为,减区间;(Ⅱ).‎ ‎【解析】(Ⅰ)将代入函数的解析式,求出该函数的定义域和导数,然后分别解不等式和可得出函数的增区间和减区间;‎ ‎(Ⅱ)令得出,问题转化为:当直线与函数在区间上的图象有两个交点时,求实数的取值范围,并利用导数分析函数在区间上的单调性、极值和端点函数值,利用数形结合思想可得出实数的取值范围,即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)当时,,定义域为,‎ 且.‎ 令,即,解得;‎ 令,即,解得.‎ 因此,函数的增区间为,减区间;‎ ‎(Ⅱ)由已知得:在有两个不相等的实数根.‎ 令,,由得.‎ 当时,,此时,函数为减函数;‎ 当时,,此时,函数为增函数.‎ 所以,函数在处取得极小值,‎ 又,且,‎ 当时,直线与函数在区间上的图象有两个交点,,‎ 因此,实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的单调区间,同时也考查了利用导数研究函数的零点个数问题,在求解含单参数的函数零点个数问题时,可充分利用参变量分离法转化为参数直线与定函数的交点个数问题,利用数形结合思想求解,考查化归与转化思想,属于中等题.‎ ‎22.以平面直角坐标系的坐标原点为极点,以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与曲线相交于、两点,求.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】(Ⅰ)在曲线的极坐标方程两边同时乘以,再由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设、在直线上对应的参数分别为、,将直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立,列出和,由可计算出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)在曲线的极坐标方程两边同时乘以得,‎ 曲线的直角坐标方程为;‎ ‎(Ⅱ)设、在直线上对应的参数分别为、,‎ 将直线的参数方程代入,整理得,‎ 则,,,‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标方程与普通方程的互化,同时也考查直线截圆所得弦长的计算,可将直线的参数方程与圆的普通方程联立,利用的几何意义结合韦达定理求解,也可以计算出圆心到直线的距离,利用勾股定理计算出弦长,考查运算求解能力,属于中等题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若,解不等式;‎ ‎(Ⅱ)若,使得成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】(Ⅰ)将代入函数的解析式,然后分、和三种情况分别解不等式,可得出该不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)由题意得出,然后利用绝对值三角不等式求出函数的最小值,解出不等式,可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)若,,即,‎ 当时,,即有;‎ 当时,,不成立;‎ 当时,,解得.‎ 综上,不等式的解集为;‎ ‎(2),使得成立,即有,‎ 由绝对值三角不等式可得,‎ 则,即,解得.‎ 因此,实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的解法,同时也考查了绝对值不等式成立中的参数取值范围的求解,要结合已知条件转化为函数的最值来求解,考查化归与转化思想的应用,属于中等题.‎

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