数学理卷·2018届山东省桓台第二中学高三4月月考（2018 13页

‎2018届山东省桓台第二中学高三4月月考 数学（理）试题 本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟． ‎ 第Ⅰ卷（共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若，则 A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合，,若，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎3．已知等比数列满足，，则 A． B． C． D．‎ ‎4．直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎5．下列四个结论中错误的个数是 ‎①若，则 ‎②“命题和命题都是假命题”是“命题是假命题”的充分不必要条件 ‎③若平面内存在一条直线垂直于平面内无数条直线，则平面与平面垂直 ‎④已知数据的方差为，若数据的方差为则的值为 A． B． 　 　 C． 　 D．‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．已知向量与的夹角为，且， ，若，且，则实数的值为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．某程序框图如右图所示，运行该程序输出的值是 A． B． C． D．‎ ‎9．若直线上存在点满足，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数的导函数为，且满足．当时，；若，则实数的取值范围是 A． B． 　 C． D．‎ ‎ 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 第Ⅱ卷(共100分)‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．在区间上随机选取两个数和，则满足的概率为 ．‎ ‎12．观察下列各式：，，，，…，由此推得： ．‎ ‎13．个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有人，则不同的站法种数为 ．‎ ‎14．已知，若，则的最小值是 ．‎ ‎15．设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，过做轴的垂线交双曲线于两点，若，则双曲线的离心率为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 如图，在中，是边的中点， , ．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若角，边上的中线的长为，求的面积．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 如图，已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，为等边三角形， 为内部一点，点在的延长线上，且．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）若，求二面角的余弦值．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 在标有“甲”的袋中有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同．‎ ‎（Ⅰ）若从袋中依次取出个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；‎ ‎（Ⅱ）现从甲袋中取出个红球，个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取球，乙袋中任取球，记取出的红球的个数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 已知数列和满足．若是各项为正数的等比数列，且，．‎ ‎（Ⅰ）求与；‎ ‎（Ⅱ）设，记数列的前项和为．‎ ‎①求；②求正整数，使得对任意，均有．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 已知抛物线，点与抛物线的焦点关于原点对称，过点且斜率为的直线与抛物线交于不同两点，线段的中点为，直线与抛物线交于两点．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（Ⅰ）判断是否存在实数使得四边形为平行四边形．若存在，求出的值；若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知，函数（是自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）若，证明：曲线没有经过点的切线；‎ ‎（Ⅱ）若函数在其定义域上不单调，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）是否存在正整数，当时，函数的图象在轴的上方，若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ 高三理科数学试题参考答案及评分说明 ‎1-5 BCABB 6-10 BCBBC ‎11. ‎ ‎12. ‎ ‎13.‎ ‎14. ‎ ‎15. ‎ ‎16. 解：（Ⅰ）由 ‎ 得 ， ‎ 所以 ……………………………………2分 又 所以 ‎ ……………………………………4分 又 ， 所以 …………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，且 所以，，则…7分 设，则 在中由余弦定理得，………9分 即 ‎ 解得 …………………10分 故． ………………………………12分 x y z D ‎17. 证明：（Ⅰ）因为，，两两垂直，‎ 所以，……………1分 又△为等边三角形，‎ 所以 …………………2分 故 …………………………3分 ‎（Ⅱ）取的中点，连接、 ………4分 因为，，所以 ‎ ‎，所以平面 所以 …………………6分 ‎（Ⅲ）如图建立空间坐标系 因为，可设,则 ‎ 由（Ⅰ）同理可得 …………………7分 因为，‎ 所以 …………………8分 所以 设 （ ）‎ 所以 ‎ 所以 …………………………10分 平面的法向量为 ‎ 设平面的法向量为 则 ‎ 取 则 所以 …………………………11分 ‎ …………………………12分 ‎18. 解：（Ⅰ）记“第一次取到红球”为事件，“后两次均取到白球”为事件，则，．‎ ‎ 所以，“第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率”‎ ‎………………………………4分 ‎（或） ……………………………………4分 ‎（Ⅱ）的所有可能取值为． …………………………………………5分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎． ………………………………………9分 的分布列为：‎ ‎……………………………10分 ‎ …………………………12分 ‎19. 解：（Ⅰ）解：由题意，‎ 知又由，得公比（，舍去）‎ 所以数列的通项为 ……………………………………3分 所以 ‎ 故数列的通项为 …………………………………5分 ‎（Ⅱ）①由（Ⅰ）知　 …………7分 所以………………9分 ‎②因为；当时，‎ 而得 所以，当时，；‎ 综上，对任意恒有，故 ………………………12分 ‎20. 解：（Ⅰ）设直线的方程为，设．‎ 联立方程组，得．‎ 显然，且，即，得且．‎ 得， ………………………………………………4分 ‎，． ‎ 直线的方程为：，‎ 联立方程组，得，‎ 得， ……………………………………6分 若四边形为平行四边形，‎ 当且仅当，即，‎ 得，与且矛盾． …………………………8分 故不存在实数使得四边形为平行四边形 ………………………9分 ‎（Ⅱ）‎ ‎ …………………………11分 由且，得；‎ 当，取得最小值；‎ 当时，取；当时，取；‎ 所以 ………………………………………13分 ‎21. 解证：（Ⅰ）因为，所以，此时，‎ 证法一：设曲线在点处的切线经过点 则曲线在点处的切线 所以 化简得： ………………………………2分 令，则， ‎ 所以当时，，为减函数，‎ 当时，，为增函数，‎ 所以，‎ 所以无解 所以曲线的切线都不经过点………………………………4分 证法二：设曲线在点处的切线经过点 则曲线在点处的切线 所以 化简得： ………………………………2分 令，则，‎ 所以当时，，为减函数，‎ 当时，，为增函数，‎ 所以，‎ 要使存在零点，则须有，所以，即，‎ 所以曲线的切线都不经过点………………………………4分 ‎（Ⅱ）函数的定义域为，因为，‎ 所以在定义域上不单调，等价于有变号零点，‎ ‎ …………………………………………5分 令，得，令（）．‎ 因为，令，，‎ 所以是上的减函数，又，故是的唯一零点，‎ ‎…………………………………………6分 当，，，递增；‎ 当，，，递减；‎ 故当时，取得极大值且为最大值，‎ 所以，即的取值范围是………………………………………8分 ‎（Ⅲ）证法一：函数的图象在轴的上方，即对任意，恒成立．‎ ‎．令（），‎ 所以…………………………9分 ‎（1）当时，，即 ‎①当时，，是减函数，所以；‎ ‎②当时，，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 令，则，所以是增函数，‎ 所以当时， ，即 所以在上是增函数，所以，‎ 当时，取，且使，即，‎ 则，‎ 因为，故存在唯一零点，‎ 即有唯一的极值点且为最小值点……………………10分 所以，又，即，‎ 故，设，‎ 因为，所以是上的减函数，‎ 所以，即 所以当时，对任意，恒成立………………12分 ‎（2）当时，，因为，取，‎ 则，，‎ 所以不恒成立，‎ 综上所述，存在正整数满足要求，即当时，函数的图象在轴的上方 ……………………………14分 证法二：恒成立，等价于的最大值；‎ 当，，所以恒成立………………9分 当时，，‎ ‎，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 设，，‎ 所以在上是减函数，因为，，‎ 所以有唯一零点 ……………………………10分 当时，，即，是增函数，‎ 当时，，即，是减函数，‎ 所以，且，所以 所以 ……………………………12分 设，所以，‎ 所以在上是减函数，所以，‎ 即 ……………………………13分 因为使，所以，只有符合要求，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 综上所述，存在正整数满足要求，即当时，函数的图象在轴的上方 ……………………………14分