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- 2021-06-15 发布
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九江一中2017—2018学年下学期期末考试
高二数学(理科)试卷
九江一中 高一数学备课组
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.已知复数,则的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.若,则“成等比数列”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.函数在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是,则该双曲线的离心率是( )
2
2
1
1
2
1
俯视图
主视图
左视图
A. B. C. D.
6.已知随机变量服从正态分布,且,则( )
A. B. C. D.
7.一个几何体的三视图如右图所示,则这个几何体的体积为( )
A. B. C. D.8
8.如图所示,程序框图输出的某一实数中,若,则菱形框中应填入( )
A. B. C. D.
输出
开始
结束
是
否
9.中,,且,点满足,则
A. B. C. D.
10.设函数在上单调递增,则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
11.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断,下列近似公式中最精确的一个是
A. B. C. D.
12.关于函数,下列说法正确的是( )
A.是周期函数,周期为 B.关于直线对称
C.在上是单调递减的 D.在上最大值为
第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分
13.已知实数满足,则的最小值为__________.
14.在区间上随机地取三个不同的整数,则“这三个数是一个钝角三角形的三边长”的概率为______.
15.已知,则________.
16.设为抛物线的焦点,为抛物线上两点,若,则 ____________.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.(本小题满分12分)
已知数列的首项,等差数列 满足.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
18.(本小题满分12分)
为了解甲、乙两奶粉厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两奶粉厂生产的产品中分别抽取16件和5件,测量产品中微量元素的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:
编号
1
2
3
4
5
170
178
166
176
180
74
80
77
76
81
(1)已知甲厂生产的产品共有96件,求乙厂生产的产品数量;
(2)当产品中的微量元素满足且时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值(即数学期望).
19.(本小题满分12分)
已知菱形所在平面,,为线段的中点, 为线段上一点,且.
(1)求证: 平面;
(2)若,求二面角
的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是轨迹上位于第一象限且在直线右侧的动点,若以为圆心,线段为半径的圆与有两个公共点.试求圆在右焦点处的切线与轴交点纵坐标的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知函数 (是自然对数的底数).
(1)若函数在上单调递减,求的取值范围;
(2)当时,记,其中为的导函数.证明:对任意,.
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分﹒作答时请写清题号﹒
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程.
已知直线(为参数),曲线(为参数).
(1)设与相交于两点,求;
(2) 曲线为(为参数),点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)解不等式;
(2)若函数的最小值为,且,求的取值范围.
答案
1—12 ACBDC ACBDA BC
13. 14. 15. 16.
17. 解:(1)当时,
当时,
相减得
∴数列是首项为1,公比为2等比数列………………3分
……………………4分
∴
∴ ……………………6分
(2)……………………7分
……………………8分
相减得
……………………12分
18.解:(1)设乙厂生产的产品数量为件,则,解得
所以乙厂生产的产品数量为30件……………………3分
(2)从乙厂抽取的5件产品中,编号为2、5的产品是优等品,即5件产品中有3件是优等品
由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为(件)………………6分
(3)可能的取值为0,1,2
∴的分布列为:
0
1
2
……………………10分
∴……………………12分
19.解:(1)证明:取的中点,连接
∵为的中点,
∴
∴平面.……………………2分
连接交与点,连接
∵为的中点,
∴
∴平面……………………4分
∵
∴平面平面
又平面
∴平面.…………6分
(2)如图,建立空间直角坐标系
则
∴………7分
设平面的法向量为
则,即
不放设得……………………8分
设平面的法向量为
则,即
不放设得……………………10分
则二面角的余弦值为……………………12分
20.解:由题知,原点到直线的距离
M
又,则
∴椭圆方程为
………………4分
(2)设,点到轴的距离为,
∵圆M与y轴有两个交点,∴,
即,
∴,
又,
即,
∴,∴,
∴, ……………………7分
又,∴ ……………………8分
切线方程为,令得
令,则
……………10分
,则,在上为增函数
∴
∴切线与轴交点纵坐标的取值范围为 ……………………12分
(转化为求的斜率范围得到更为简便)
解法2:上面步骤相同
又,∴ ……………………8分
切线方程为,令得
又即
∴切线与轴交点纵坐标的取值范围为 ……………………12分
21.【解析】(1)由得,,
由得.
令,则
令的,
当时,,递减;
当时,,递增.
则的取值范围取值范围是.……………………5分
(2) 当时,,
令,
所以
令得.
因此当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
.
即
又时,
故),
则,
即对任意,.……………………12分
22. 解:(1)直线的普通方程为,的普通方程为.
联立方程组,解得与的交点为,则.
……………………5分
(2) 曲线为(为参数),故点的坐标是,
从而点到直线的距离是,
由此当时,取得最小值,且最小值为.
……………………10分
23. 解:(1)由知,解集为.(过程略)
……………………5分
(2)由条件得,当且仅当时,其最小值,即.
又,
所以,
故的取值范围为,
此时,.……………………10分