数学（理）卷·2018届黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期末考试（2017-01） 9页

大庆铁人中学2016-2017学年高二年级上学期期末考试 数学（理）试题 命题人：郭晓梅 谷淑艳 审题人：车卫东 试卷说明：‎ ‎ 1、本试卷满分100分，考试时间120分钟 ‎ 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束只上交答题卡。‎ 一、选择题：（每小题5分，共计60分，每题只有一个选项符合题目要求）‎ ‎1.抛物线的准线方程是（ ）‎ A． B. C． D．‎ a=c c=b b=a ‎2．将两个数交换，使，下列语句正确的是( )‎ b=a a=b c=a a=b b=c a=b b=a A． B． C． D．‎ 第3题 ‎3.如图，面积为4的矩形ABCD中有一个阴影部分，若往矩形ABCD中随机投掷1000个点，落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为350个，试估计阴影部分的面积为（ ）‎ A．1.4 B.1.6 C．2.6 D．2.4‎ ‎4．已知向量，，且与互相垂直，则＝（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 执行右面的程序框图，若输入，则输出的的值是（ ）‎ 第6题 ‎ A． 38 B. 39 C. 18 D. 19‎ ‎7.在区间内随机取个实数，则直线，直线与轴围成的面积大于的概率是（  ）.‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.下列说法正确的个数为（ ）‎ ‎①统计中用相关系数r来衡量两个变量之间的线性关系的强弱。线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱。‎ ‎②回归直线一定通过样本点的中心.‎ ‎③为了了解某地区参加数学竞赛的1003名学生的成绩情况，准备从中抽取一个容量为50的样本，现采用系统抽样的方法，需要从总体中剔除3个个体，在整体抽样过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽到的概率分别是和。‎ ‎④将一组数据中每个数都加上或者减去同一个常数后，方差恒不变。‎ A．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎9. 袋子中装有大小相同的4个球，其中2个红球和2个白球.游戏一，从袋中取一个球，若取出的是红球则甲获胜，否则乙获胜；游戏二，从袋中无放回地取一个球后再取一个球，若取出的两个球同色则甲获胜，否则乙获胜，则两个游戏（ ）‎ A.只有游戏一公平 B.只有游戏二公平 C.两个游戏都不公平 D.两个游戏都公平 ‎10. 过点的直线与椭圆交于两点, 且点平分弦,则直线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11. 如图所示，在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等，则动点所在曲线的形状为(　 　)‎ ‎       ‎ A B C D 12.已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线的中心，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则( )‎ A. B.‎ C. D.与关系不确定 第II卷非选择题（共90分）‎ 二、填空题：（本大题包括4小题，每小题5分，共计20分，把正确答案填写在答题卡的指定位置）‎ ‎13.如图是甲，乙两名同学次综合测评成绩的茎叶图，甲乙两人中成绩较为稳定的是_______‎ 第13题 第14题 (1) 如图，在平行六面体中，‎ 则=______________‎ (3) 下列4个命题中，正确的是 （写出所有正确的题号）.‎ ‎（1）命题“若则”的否命题为“若则”‎ ‎（2）“”是“”的充分不必要条件 ‎（3）命题“若,则”是真命题 ‎（4）若命题则 ‎16.设椭圆（）的左、右焦点分别为，，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围为______________‎ 三．解答题：（本大题包括6个小题，共计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分）已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：双曲线的离心率；若为真，且为假，求实数的取值范围．‎ ‎18.（本小题满分12分）如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是，是的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值. ‎ ‎19.（本小题满分12分）中日“钓鱼岛争端”问题越来越引起社会关注，我校对高二名学生进行了一次“钓鱼岛”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（满分分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．‎ (1) 填写频率分布表中的空格，补全频率分布直方图,并标出每个小矩形对应的纵轴数据；‎ (2) 请你估算该年级学生成绩的中位数;‎ ‎（3）如果用分层抽样的方法从样本分数在[60,70)和[80,90）的人中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人分数都在[80,90）的概率.‎ ‎20.（本小题满分12分）已知动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知点，过点的直线交曲线于、两点，求证：直线与直线的斜率之积为定值．‎ ‎21.（本小题满分12分） 如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，是边长为2的等边三角形，.‎ ‎（1）求直线与平面所成角的大小；‎ ‎（2）在线段上是否存在一点，使得∥平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，动点满足条件．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设直线与曲线分别交于两点，与轴、轴分别交于两点（且在之间或同时在之外）．问：是否存在定值，对于满足条件的任意实数，都有的面积与的面积相等，若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ 数学（理）试题答案 ‎1-12 BBCBA DACAB CA ‎13.甲 ‎14.‎ ‎15.（2）（3）‎ ‎16.‎ ‎17.解：命题为真时：，即: ………………… 2分 命题为假时: ‎ 命题为真时:………………… 4分 命题为假时: ‎ 由为真，为假可知: 、一真一假………………… 6分 ② 真假时: ………………… 7分 ‎②假真时: ………………… 8分 综上所述: 或………………… 10分 ‎18.（1）设与相交于点P，连接PD，则P为中点 D为AC中点，PD//，‎ 又PD平面，//平面………………… 5分 ‎（2）取AB中点为O,中点为E点，由于为等边三角形所以，又因为是正三棱柱所以 以为原点OA为x轴，OE为y轴OC为z轴，建立空间直角坐标系.‎ 所求二面角的余弦值为………………… 12分 ‎19.（1）‎ ‎………………… 5分 ‎（2）设中位数为,依题意得,解得． 所以中位数约为83.125. …………………7分 ‎（3）由题意知样本分数在[60,70)有8人，样本分数在[80,90)有16人，用分层抽样的方法从样本分数在[60,70)和[80,90）的人中共抽取6人，则抽取的分数在[60,70)和[80,90）的人数分别为2人和4人。‎ 记分数在[60,70)为在[80,90）的为.‎ 从已抽取的人中任选两人的所有可能为：共种.‎ 设“人分数都在[80,90）”为事件，则事件包括 共6种.………………… 8分 所以………………… 12分 ‎20.（1）设点，则，‎ 而动点在抛物线，‎ 代入得的方程为：．…………………4分 ‎（2）设过点的直线为 直线L交于P、Q两点设点，直线L与曲线C 联立方程有：，‎ 显然．‎ ‎∴．………………… 6分 ‎∵，…………… 10分 即代入得………………… 12分 ‎21. （1）因为底面是菱形，,‎ 所以为中点. ‎ 又因为,‎ 所以, ‎ 所以底面. ………………… 2分 由底面是菱形可得,‎ 可知.‎ 以为原点OA为x轴，OB为y轴OP为z轴，建立空间直角坐标系.‎ 由是边长为2的等边三角形，，‎ 可得.‎ 所以. ‎ 所以,.‎ 由已知可得 设平面的法向量为，则 即 令，则，所以. ‎ 因为，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为，‎ 所以直线与平面所成角的大小为. …………………6分 ‎（2）设，则 ‎. ‎ 若使∥平面，需且仅需且平面，‎ 解得, 13分 所以在线段上存在一点，使得∥平面.‎ 此时=.………………… 12分 ‎22. （1）因为满足，整理得，‎ ‎∴轨迹的方程为………………… 4分 ‎（2）联立消去得，‎ ‎，由得．‎ 设，则，………………… 6分 由题意，不妨设，‎ 的面积与的面积总相等恒成立线段的中点与线段的中点重合………………… 8分 ‎∴，解得，………………… 10分 即存在定值，对于满足条件，且（据（）的任意实数，‎ 都有的面积与的面积相等．………………… 12分