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- 2021-06-15 发布
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2016-2017学年湖南省浏阳一中、攸县一中高二(上)12月联考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设x∈R,则x=1是x3=x的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2.下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是( )
A. B.﹣y2=1 C.x2﹣=1 D.﹣y2=1
3.在△ABC中,若a=2,b=2,B=60°,则角A的大小为( )
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或 120°
4.如图,空间四边形OABC中, =, =, =,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点,则=( )
A.﹣++ B. ﹣+ C. +﹣ D. +﹣
5.已知a>0,x,y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1,则a等于( )
A. B. C.1 D.2
6.在△ABC中,tanA是以﹣4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tanB是以2为公差,9为第五项的等差数列的第二项,则这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
7.已知{an}是递增数列,且对任意n∈N*都有an=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是( )
A.(﹣,+∞) B.(0,+∞) C.[﹣2,+∞) D.(﹣3,+∞)
8.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
9.若不等式x2﹣ax+b<0的解集为(1,2),则不等式<的解集为( )
A.(,+∞) B.(﹣∞,0)∪(,+∞) C.(,+∞) D.(﹣∞,0)∪(,+∞)
10.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且3bcosA﹣3acosB=c,则下列结论正确的是( )
A.tanB•tanA=2B B.tanA=2tanB C.tanB=2tanA D.tanA+tanB=2
11.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn是数列{an}前n项的和,则(n∈N+)的最小值为( )
A.4 B.3 C.2﹣2 D.
12.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点D作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置
13.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100= .
14.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=﹣,则b= .
15.已知正数x,y满足x2+2xy﹣3=0,则2x+y的最小值是 .
16.椭圆C: +=1的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2,﹣1],那么直线PA1斜率的取值范围是 .
三、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知命题p:∀x∈[1,2],x2﹣a≥0,命题q:∃x0∈R,x02+2ax0+2﹣a=0;若命题¬(p∧q)是假命题,求实数a的取值范围.
18.在△ABC中,sin(C﹣A)=1,sinB=.
(Ⅰ)求sinA的值;
(Ⅱ)设AC=,求△ABC的面积.
19.已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长AB=3,
(1)求m的值;
(2)设P是x轴上的一点,且△ABP的面积为9,求P的坐标.
20.已知数列{an}为公差不为零的等差数列,S6=60,且满足.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足,且b1=3,求数列的前n项和Tn.
21.如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.
(1)求证:EG∥平面ADF;
(2)求二面角O﹣EF﹣C的正弦值;
(3)设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
22.如图,椭圆C:经过点P(1,),离心率e=,直线l的方程为x=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由.
2016-2017学年湖南省浏阳一中、攸县一中高二(上)12月联考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设x∈R,则x=1是x3=x的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】由x3=x解得x=0,±1.即可判断出结论.
【解答】解:由x3=x,解得x=0,±1.
∴x=1是x3=x的充分不必要条件.
故选:B.
2.下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是( )
A. B.﹣y2=1 C.x2﹣=1 D.﹣y2=1
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】把曲线的方程化为标准方程,令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程.
【解答】解:A,曲线方程是:,其渐近线方程是=0,整理得y=±2x.正确;
B,曲线方程是:﹣y2=1,其渐近线方程是﹣y2=0,整理得y=±
x.错误;
C,曲线方程是:x2﹣=1,其渐近线方程是x2﹣=0,整理得y=±x.错误;
D,曲线方程是:﹣y2=1,其渐近线方程是﹣y2=0,整理得y=±x.错误;
故选:A.
3.在△ABC中,若a=2,b=2,B=60°,则角A的大小为( )
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或 120°
【考点】梅涅劳斯定理;正弦定理.
【分析】直接利用正弦定理求得sinA,结合三角形中的大边对大角得答案.
【解答】解:∵a=2,b=2,B=60°,
∴由正弦定理,得=,
∴sinA=,
又a<b,∴A=30°.
故选:A.
4.如图,空间四边形OABC中, =, =, =,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点,则=( )
A.﹣++ B. ﹣+ C. +﹣ D. +﹣
【考点】空间向量的加减法.
【分析】由题意,把,,三个向量看作是基向量,由图形根据向量的线性运算,将用三个基向量表示出来,即可得到答案,选出正确选项.
【解答】解: =,
=+﹣+,
=++﹣,
=﹣++,
∵=, =, =,
∴=﹣++,
故选:A.
5.已知a>0,x,y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1,则a等于( )
A. B. C.1 D.2
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移先确定z的最优解,然后确定a的值即可.
【解答】解:先根据约束条件画出可行域,如图示:
,
z=2x+y,
将最大值转化为y轴上的截距的最大值,
当直线z=2x+y经过点B时,z最小,
由得:,代入直线y=a(x﹣3)得,a=;
故选:B.
6.在△ABC中,tanA是以﹣4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tanB是以2为公差,9为第五项的等差数列的第二项,则这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
【考点】两角和与差的正切函数.
【分析】根据等差数列的通项公式求出tanA,tanB的值,结合两角和差的正切公式求出tanC,判断A,B,C的大小即可得到结论.
【解答】解:∵在△ABC中,tanA是以﹣4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,
∴设a3=﹣4,a7=4,d=tanA,
则a7=a3+4d,
即4=﹣4+4tanA,则tanA=2,
∵tanB是以2为公差,9为第五项的等差数列的第二项,
∴设b5=9,b2=tanB,d=2
则b5=b2+3d,
即9=tanB+3×2,则tanB=3,
则A,B为锐角,
tanC=﹣tan(A+B)=﹣=﹣=﹣=1,
则C=也是锐角,则这个三角形为锐角三角形.
故选:A.
7.已知{an}是递增数列,且对任意n∈N*都有an=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是( )
A.(﹣,+∞) B.(0,+∞) C.[﹣2,+∞) D.(﹣3,+∞)
【考点】数列的函数特性;函数恒成立问题.
【分析】由{an}是递增数列,得到an+1>an,再由“an=n2+λn恒成立”转化为“λ>﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立”求解.
【解答】解:∵{an}是递增数列,
∴an+1>an,
∵an=n2+λn恒成立
即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,
∴λ>﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立.
而﹣2n﹣1在n=1时取得最大值﹣3,
∴λ>﹣3,
故选D.
8.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】延长CA到D,根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角,而三角形A1DB为等边三角形,可求得此角.
【解答】解:延长CA到D,使得AD=AC,则ADA1C1为平行四边形,
∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角,
又A1D=A1B=DB=AB,
则三角形A1DB为等边三角形,∴∠DA1B=60°
故选C.
9.若不等式x2﹣ax+b<0的解集为(1,2),则不等式<的解集为( )
A.(,+∞) B.(﹣∞,0)∪(,+∞) C.(,+∞) D.(﹣∞,0)∪(,+∞)
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】由已知不等式的解集可求a,b的值,然后解不等式<即可.
【解答】解:因为不等式x2﹣ax+b<0的解集为(1,2),
所以1+2=a,1×2=b,即a=3,b=2,
所以不等式<为,
整理得,
解得x<0或者x>,
所以不等式的解集为:(﹣∞,0)∪(,+∞).
故选B.
10.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且3bcosA﹣3acosB=c,则下列结论正确的是( )
A.tanB•tanA=2B B.tanA=2tanB C.tanB=2tanA D.tanA+tanB=2
【考点】正弦定理.
【分析】由题意和正弦定理可得3sinBcosA﹣3sinAcosB=sinC=sin(A+B),由三角函数的和差角公式及弦化切的思想可得结论.
【解答】解:∵△ABC的三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且3bcosA﹣3acosB=c,
由正弦定理可得3sinBcosA﹣3sinAcosB=sinC,
∴3sinBcosA﹣3sinAcosB=sin(A+B),
∴3sinBcosA﹣3sinAcosB=sinBcosA+sinAcosB,
即2sinBcosA=4sinAcosB,
两边同除以cosAcosB,
得2tanB=4tanA,
即tanB=2tanA.
故选:C.
11.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn是数列{an}前n项的和,则(n∈N+)的最小值为( )
A.4 B.3 C.2﹣2 D.
【考点】等差数列的性质.
【分析】由题意得(1+2d)2=1+12d,求出公差d的值,得到数列{an}的通项公式,前n项和,从而可得,换元,利用基本不等式,即可求出函数的最小值.
【解答】解:∵a1=1,a1、a3、a13 成等比数列,
∴(1+2d)2=1+12d.
得d=2或d=0(舍去),
∴an =2n﹣1,
∴Sn==n2,
∴=.
令t=n+1,则=t+﹣2≥6﹣2=4
当且仅当t=3,即n=2时,∴的最小值为4.
故选:A.
12.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点D作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】根据题意直线AB的方程为y=(x﹣c)代入双曲线渐近线方程,求出A的坐标,进而求得B的表达式,代入双曲线方程整理求得a和c的关系式,进而求得离心率.
【解答】解:设F(c,0),则直线AB的方程为y=(x﹣c)代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A(,﹣),
由=2,可得B(﹣,﹣),
把B点坐标代入双曲线方程﹣=1,
即=1,整理可得c=a,
即离心率e==.
故选:C.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置
13.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100= 98 .
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出a100.
【解答】解:∵等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,
∴,
解得a1=﹣1,d=1,
∴a100=a1+99d=﹣1+99=98.
故答案为:98.
14.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=﹣,则b= 4 .
【考点】解三角形.
【分析】根据a=2,b+c=7,cosB=﹣,利用余弦定理可得,即可求得b的值.
【解答】解:由题意,∵a=2,b+c=7,cosB=﹣,
∴
∴b=4
故答案为:4
15.已知正数x,y满足x2+2xy﹣3=0,则2x+y的最小值是 3 .
【考点】基本不等式.
【分析】用x表示y,得到2x+y关于x的函数,利用基本不等式得出最小值.
【解答】解:∵x2+2xy﹣3=0,∴y=,
∴2x+y=2x+==≥2=3.
当且仅当即x=1时取等号.
故答案为:3.
16.椭圆C: +=1的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2,﹣1],那么直线PA1斜率的取值范围是 [,] .
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意求A1、A2的坐标,设出点P的坐标,代入求斜率,进而求PA1斜率的取值范围.
【解答】解:由椭圆的标准方程可知,
左右顶点分别为A1(﹣2,0)、A2(2,0),
设点P(a,b)(a≠±2),则
…①, =, =;
则=•=,
将①式代入得=﹣,
∵∈[﹣2,﹣1],
∴∈[,].
故答案为:[,].
三、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知命题p:∀x∈[1,2],x2﹣a≥0,命题q:∃x0∈R,x02+2ax0+2﹣a=0;若命题¬(p∧q)是假命题,求实数a的取值范围.
【考点】复合命题的真假.
【分析】先求出命题p,q为真命题时a的范围,据复合函数的真假得到p,q中均为真,即可求出a的范围.
【解答】解:p真,则a≤1,
q真,则△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,
即a≥1或a≤﹣2,
∵命题¬(p∧q)是假命题,
∴p∧q为真命题,
∴p,q均为真命题,
∴,
∴a≤﹣2,或a=1
∴实数a的取值范围为a≤﹣2,或a=1.
18.在△ABC中,sin(C﹣A)=1,sinB=.
(Ⅰ)求sinA的值;
(Ⅱ)设AC=,求△ABC的面积.
【考点】解三角形.
【分析】(I)利用sin(C﹣A)=1,求出A,C关系,通过三角形内角和结合sinB=,求出sinA的值;
(II)通过正弦定理,利用(I)及AC=,求出BC,求出sinC,然后求△ABC的面积.
【解答】解:(Ⅰ)因为sin(C﹣A)=1,所以,且C+A=π﹣B,
∴,
∴,
∴,
又sinA>0,∴
(Ⅱ)如图,由正弦定理得
∴,
又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
∴
19.已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长AB=3,
(1)求m的值;
(2)设P是x轴上的一点,且△ABP的面积为9,求P的坐标.
【考点】直线与抛物线的位置关系.
【分析】(1)将直线的方程代入抛物线的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得b值,从而解决问题.
(2)设P(a,0),先求点P(a,0)到AB:2x﹣y﹣4=0距离,再根据三角形的面积公式,求出a 值,可求P得坐标.
【解答】解:(1)由,
∴4x2+4(m﹣1)x+m2=0,
由△>0有 16(m﹣1)2﹣16m2>0,
解得 m<;
设A(x1,y1)B(x2,y2),则x1+x2=1﹣m,x1x2=,
∵|AB|===•=3,
解得 m=﹣4.
(2)设点P(a,0),P到直线AB的距离为d,
则d==,
又S△ABP=|AB|•d=9=×3×=3|a﹣2|,
∴|a﹣2|=3,
解得a=5或a=﹣1,
故点P的坐标为(5,0)或(﹣1,0)
20.已知数列{an}为公差不为零的等差数列,S6=60,且满足.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足,且b1=3,求数列的前n项和Tn.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)通过设等差数列{an}的公差为d,利用S6=60、计算可知首项、公差,进而可得结论;
(2)通过bn+1﹣bn=an可知bn﹣bn﹣1=an﹣1(n≥2,n∈N*),利用bn=(bn﹣bn﹣1)
+(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+(b2﹣b1)+b1计算可知当n≥2时bn=n(n+2),验证b1=3也适合,裂项可知=(﹣),进而并项相加即得结论.
【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则,
解得,
∴an=2n+3;
(2)由bn+1﹣bn=an,∴bn﹣bn﹣1=an﹣1(n≥2,n∈N*),
当n≥2时,bn=(bn﹣bn﹣1)+(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+(b2﹣b1)+b1
=an﹣1+an﹣2+…+a1+b1
=(n﹣1)(n﹣2+5)+3
=n(n+2),
又∵b1=3也适合,
∴bn=n(n+2),=(﹣),
∴.
21.如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.
(1)求证:EG∥平面ADF;
(2)求二面角O﹣EF﹣C的正弦值;
(3)设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角.
【分析】(1)取AD的中点I,连接FI,证明四边形EFIG是平行四边形,可得EG∥FI,利用线面平行的判定定理证明:EG∥平面ADF;
(2)建立如图所示的坐标系O﹣xyz,求出平面OEF的法向量,平面OEF的法向量,利用向量的夹角公式,即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值;
(3)求出=(﹣,,),利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
【解答】(1)证明:取AD的中点I,连接FI,
∵矩形OBEF,∴EF∥OB,EF=OB,
∵G,I是中点,
∴GI∥BD,GI=BD.
∵O是正方形ABCD的中心,
∴OB=BD.
∴EF∥GI,EF=GI,
∴四边形EFIG是平行四边形,
∴EG∥FI,
∵EG⊄平面ADF,FI⊂平面ADF,
∴EG∥平面ADF;
(2)解:建立如图所示的坐标系O﹣xyz,则B(0,﹣,0),C(,0,0),E(0,﹣,2),
F(0,0,2),
设平面CEF的法向量为=(x,y,z),则,取=(,0,1)
∵OC⊥平面OEF,
∴平面OEF的法向量为=(1,0,0),
∵|cos<,>|=
∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=;
(3)解:AH=HF,∴==(,0,).
设H(a,b,c),则=(a+,b,c)=(,0,).
∴a=﹣,b=0,c=,
∴=(﹣,,),
∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos<,>|==.
22.如图,椭圆C:经过点P(1,),离心率e=,直线l的方程为x=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由.
【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
【分析】(1)由题意将点P (1,)代入椭圆的方程,得到,再由离心率为e=,将a,b用c表示出来代入方程,解得c,从而解得a,b,即可得到椭圆的标准方程;
(2)方法一:可先设出直线AB的方程为y=k(x﹣1),代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程,设A(x1,y1),B(x2,y2),利用根与系数的关系求得x1+x2=,,再求点M的坐标,分别表示出k1,k2,k3.比较k1+k2=λk3即可求得参数的值;
方法二:设B(x0,y0)(x0≠1),以之表示出直线FB的方程为,由此方程求得M的坐标,再与椭圆方程联立,求得A的坐标,由此表示出k1,k2,k3.比较k1+k2=λk3即可求得参数的值
【解答】解:(1)椭圆C:经过点P (1,),可得①
由离心率e=得=,即a=2c,则b2=3c2②,代入①解得c=1,a=2,b=
故椭圆的方程为
(2)方法一:由题意可设AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x﹣1)③
代入椭圆方程并整理得(4k2+3)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=,④
在方程③中,令x=4得,M的坐标为(4,3k),
从而,, =k﹣
注意到A,F,B共线,则有k=kAF=kBF,即有==k
所以k1+k2=+=+﹣(+)
=2k﹣×⑤
④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1
又k3=k﹣,所以k1+k2=2k3
故存在常数λ=2符合题意
方法二:设B(x0,y0)(x0≠1),则直线FB的方程为
令x=4,求得M(4,)
从而直线PM的斜率为k3=,
联立,得A(,),
则直线PA的斜率k1=,直线PB的斜率为k2=
所以k1+k2=+=2×=2k3,
故存在常数λ=2符合题意