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  • 2021-06-15 发布

2018届二轮复习 圆锥曲线的基本问题 学案( 江苏专用)

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专题11:圆锥曲线的基本问题(两课时)‎ 班级 姓名 ‎ 一、课前测试 ‎1.(1)椭圆+=1的焦距是2,则m的值是 .‎ ‎(2)双曲线-=1的离心率e(1,2),则k的取值范围是 .‎ ‎(3)若a≠0,则抛物线y=4ax2的焦点坐标为 .‎ 答案:(1)3或5.(2)(-12,0).(3)(0,).‎ ‎2.(1)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1⊥PF2.若△PF‎1F2的面积为9,则b的值为 .‎ ‎(2)已知定点A(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点P是抛物线上的动点,当PA+PF最小时,点P的坐标为 .‎ 答案:(1)3.(2)(2,2).‎ ‎3.(1)椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F到过顶点A(-a,0),B(0,b)的直线的距离等于,则椭圆的离心率为 .‎ ‎ (2) 椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,以F‎1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为 .‎ ‎ (3)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,在椭圆上存在一点M满足·=0,则椭圆离心率的取值范围是 .‎ ‎(4)双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,在双曲线上存在点P,使PF1=2PF2,则双曲线离心率的取值范围为 .‎ ‎ ‎ 答案:(1).(2)-1. (3)[,1).(4)(1,3]. ‎ 二、方法联想 ‎1.方程的标准形式 在进行圆锥曲线的基本量的计算时,首先要是标准方程,对椭圆、双曲线来说要分清焦点在哪轴上,对抛物线来说,首先要确定抛物线的开口方向.‎ 变式:(1)以y=±x为渐近线的双曲线的离心率是 .‎ 答案:或 (已知双曲线的渐近线,讨论焦点的位置,确定基本量的关系)‎ ‎(2)以抛物线y=4x的焦点为焦点,以y=±x为渐近线的双曲线的标准方程为 .‎ 答案:-=1 (已知两个圆锥曲线,判断焦点的位置,确定基本量的的关系)‎ ‎2.圆锥曲线定义的应用 ‎ 涉及到圆锥曲线上的点与焦点的连线,应联系到圆锥曲线的第一定义和第二定义.在运算时,可以设点的坐标,也可以设焦半径,解焦点三角形.‎ 变式:(1)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别是A,B,线段MN的中点在C上,则AN+BN=________.‎ 答案:16(利用中位线性质,转化成椭圆的定义)‎ ‎(2)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=________.‎ 答案:2(几何图形与圆锥曲线联系,利用几何性质求解)‎ ‎(3)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为________.‎ 答案:(利用双曲线与渐近线的几何性质求解)‎ ‎3.离心率或范围的计算 椭圆离心率范围为(0,1).双曲线离心率范围为(1,+∞).‎ 求椭圆、双曲线的离心率,本质上是要找出关于基本量a,b,c的一个齐次关系,从而求出离心率;‎ 求椭圆、双曲线的离心率的范围,有两种情形,①题中给出的是关于基本量a,b,c的齐次不等关系;②题中给出的是关于基本量a,b,c与某一变化的量之间的一个等量关系,即f(P)=g(a,b,c),根据g(a,b,c)在f(P)的值域内,可得关于基本量a,b,c的齐次不等关系.‎ 变式:(1)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=,则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________.‎ 答案:(已知离心率,求渐近线的倾斜角)‎ ‎ (2)双曲线-=1的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是 .‎ 答案: (0,12);(已知离心率的范围,求参数取值范围)‎ ‎(3)已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点,且左右焦点分别是F1,F2,这两条曲线在第一象限的交点为P,△PF‎1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1=10,椭圆和双曲线的离心率分别是e1,e2,则e1·e2的取值范围是 .‎ 答案:(,+∞)(已知有联系的两个圆锥曲线,求离心率的取值范围)‎ ‎(4)设△ABC是等腰三角形,∠ABC=120°,则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________.‎ 答案:(三角形与圆锥曲线相结合,求离心率的取值范围)‎ ‎ ‎ 三、例题分析 例1 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,若椭圆C的焦距为2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设M为椭圆上任意一点,以M为圆心,MF1为半径作圆M.当圆M与椭圆的右准线l有公共点时,求△MF‎1F2面积的最大值.‎ 答案:(1)椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)△MF‎1F2面积的最大值为.‎ ‎〖教学建议〗‎ 主要问题归类与方法:‎ ‎1.椭圆的焦距是‎2c,长轴长是‎2a,短轴长是2b.‎ ‎2.椭圆右准线方程为x=,直线与圆有公共点的条件是:圆心到直线距离小于等于圆的半径.‎ ‎3.点M在椭圆上,则点M的坐标满足椭圆方程,同时,横、纵坐标都有范围.‎ 例2 设椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.‎ ‎(1)若PF1=2+,PF2=2-,求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若PF1=PQ,求椭圆的离心率e. ‎ 答案:(1)+y2=1;(2)-.‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎1.主要问题归类与方法:‎ 椭圆的定义.根据垂直条件及椭圆定义求出PF1,PF2.‎ ‎2.方法选择与优化建议:‎ 第(2)问中有两种方法选择,方法一:设P点坐标,利用PQ⊥PF1及点P在椭圆上求出点坐标,再计算出PF1=a+,再根据等腰直角三角形PQF1的周长为‎4a,列出方程,得到答案;方法二:根据等腰直角三角形PQF1的周长为‎4a及椭圆定义,求出PF1,PF2,再根据直角三角形PF‎1F2列出方程,得到答案. ‎ 例3 椭圆的中心为原点,离心率e=,一条准线的方程是x=2.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设动点P满足:=+2,其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-‎ eq F(1,2).问:是否存在定点F,使得PF与点P到直线l:x=2的距离之比为定值;若存在,求F的坐标,若不存在,说明理由。‎ 答案:(1)+=1.‎ ‎(2)存在定点F(,0),使得PF与点P到直线l:x=2的距离之比为定值.‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎1.主要问题归类与方法:‎ ‎1.椭圆中的基本量的计算,准线方程、离心率. ‎ ‎2.利用设点法研究动点P的轨迹方程.‎ ‎3.椭圆的第二定义.‎ ‎2.方法选择与优化建议:‎ 设点消元是关键.由条件“直线OM与ON的斜率之积为-”可得:x1x2+2y1y2=0.合理使用这个结论,求出动点P的轨迹方程.‎ ‎ 四、反馈练习 ‎1.若椭圆+=1的离心率e=,则m的值是________.‎ 答案:3或 ‎(考查:椭圆的标准方程及基本量计算)‎ ‎2.双曲线2x2-y2+6=0上的点P到一个焦点的距离为4,则它到另一个焦点的距离为________.‎ 答案:2+4‎ ‎(考查:双曲线的定义)‎ ‎3.若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为,则M到该抛物线焦点的距离为________.‎ 答案: ‎(考查:待定系数法)‎ ‎4.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为________.‎ 答案:+=1. ‎ ‎(考查:椭圆的定义)‎ ‎5.已知a>b>0,椭圆C1:+=1,双曲线C2:-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为________.‎ 答案:y=±x.‎ ‎(考查内容:离心率、渐近线方程)‎ ‎6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为__________.‎ 答案:-=1‎ ‎(考查:双曲线的渐近线,双曲线、抛物线中的基本量计算)‎ ‎7.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于D点,且=2,则C的离心率为________.‎ 答案:  ‎ ‎(考查:椭圆的第二定义,离心率的计算)‎ ‎8.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若椭圆上存在点P,使得=e,则该椭圆离心率e的取值范围是________.‎ 答案:[-1,1)‎ ‎(考查:椭圆的定义,椭圆上的点到焦点的距离的范围)‎ ‎9.设椭圆+=1(a>b>0),过点作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是__________.‎ 答案: +=1 ‎ ‎(考查:圆的切线,椭圆的基本量)‎ ‎10.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2.若d2=d1,则椭圆C的离心率为__________.‎ 答案: ‎ ‎(考查:椭圆中的基本量的计算)‎ ‎11. 椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于A,B两点,若△FAB的周长最大时,△FAB的面积为ab,则椭圆的离心率为 .‎ 答案: ‎(考查:椭圆中的基本量的计算)‎ x y O l F P ‎12.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心在坐标原点O,右焦点为F.若C的右准线l的方程为x=4,离心率e=.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设点P为直线l上一动点,且在x轴上方.圆M经过O,F,P 三点,求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程.‎ 答案:(1)椭圆C的标准方程为+=1.‎ ‎(2)圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程为x2+y2-2x-4y=0.‎ ‎(考查:椭圆中的基本量的计算,利用待定系数法求圆的方程,在运算上有三种选择:①选择一般方程,②选择标准方程,③利用圆的几何性质设圆心.)‎ ‎13. 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的右顶点为A(2,0),点P(2e,)在椭圆上(e为离心率).‎ ‎(1)求椭圆M的标准方程;‎ ‎(2)若点B,C(C在第一象限)都在椭圆上,满足=λ,·=0,求实数λ的值.‎ 答案:(1)椭圆M的标准方程为+y2=1;(2). ‎ ‎(考查:(1)利用待定系数法求椭圆方程,(2)直线与椭圆相交,重点是字母的选择,有两种选择①直线OC的斜率,②点C的坐标.本题中条件=λ,·=0给出的平行关系和垂直关系)‎ ‎14.已知椭圆的方程+=1.‎ ‎(1)若椭圆的焦点在x轴上,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)若m=6.①点M的坐标为(1,0),P是椭圆上的动点,求PM的最小值;‎ ‎②过椭圆右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线l交x轴于点N.试问是否为定值,如果是,求出这个定值;如果不是,请说明理由.‎ 答案:(1)4<m<8.‎ ‎(2)①PM的最小值为,此时对应点P坐标为(,±). ②为定值,且=.‎ ‎(考查:利用“点差法”解决有关弦的中点问题,利用椭圆第二定义解决过焦点的弦长问题,利用平面几何性质简化运算).‎

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