2018届二轮复习 圆锥曲线的基本问题 学案（ 江苏专用） 6页

专题11：圆锥曲线的基本问题(两课时)‎ 班级 姓名 ‎ 一、课前测试 ‎1．(1)椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是 ．‎ ‎(2)双曲线－＝1的离心率e(1，2)，则k的取值范围是 ．‎ ‎(3)若a≠0，则抛物线y＝4ax2的焦点坐标为 ．‎ 答案：(1)3或5．(2)(－12，0)．(3)(0，)．‎ ‎2．(1)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2．若△PF‎1F2的面积为9，则b的值为 ．‎ ‎(2)已知定点A(3，2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点P是抛物线上的动点，当PA＋PF最小时，点P的坐标为 ．‎ 答案：(1)3．(2)(2，2)．‎ ‎3．(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F到过顶点A(－a，0)，B(0，b)的直线的距离等于，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎ (2) 椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，以F‎1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎ (3)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，在椭圆上存在一点M满足·＝0，则椭圆离心率的取值范围是 ．‎ ‎(4)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P，使PF1＝2PF2，则双曲线离心率的取值范围为 ．‎ ‎ ‎ 答案：(1)．(2)－1． (3)[，1)．(4)(1，3]． ‎ 二、方法联想 ‎1．方程的标准形式 在进行圆锥曲线的基本量的计算时，首先要是标准方程，对椭圆、双曲线来说要分清焦点在哪轴上，对抛物线来说，首先要确定抛物线的开口方向．‎ 变式：(1)以y＝±x为渐近线的双曲线的离心率是 ．‎ 答案：或 (已知双曲线的渐近线，讨论焦点的位置，确定基本量的关系)‎ ‎(2)以抛物线y＝4x的焦点为焦点，以y＝±x为渐近线的双曲线的标准方程为 ．‎ 答案：－＝1 (已知两个圆锥曲线，判断焦点的位置，确定基本量的的关系)‎ ‎2．圆锥曲线定义的应用 ‎ 涉及到圆锥曲线上的点与焦点的连线，应联系到圆锥曲线的第一定义和第二定义．在运算时，可以设点的坐标，也可以设焦半径，解焦点三角形．‎ 变式：(1)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别是A，B，线段MN的中点在C上，则AN＋BN＝________．‎ 答案：16(利用中位线性质，转化成椭圆的定义)‎ ‎(2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________．‎ 答案：2(几何图形与圆锥曲线联系，利用几何性质求解)‎ ‎(3)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．‎ 答案：(利用双曲线与渐近线的几何性质求解)‎ ‎3．离心率或范围的计算 椭圆离心率范围为(0，1)．双曲线离心率范围为(1，＋∞)．‎ 求椭圆、双曲线的离心率，本质上是要找出关于基本量a，b，c的一个齐次关系，从而求出离心率；‎ 求椭圆、双曲线的离心率的范围，有两种情形，①题中给出的是关于基本量a，b，c的齐次不等关系；②题中给出的是关于基本量a，b，c与某一变化的量之间的一个等量关系，即f(P)＝g(a，b，c)，根据g(a，b，c)在f(P)的值域内，可得关于基本量a，b，c的齐次不等关系．‎ 变式：(1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．‎ 答案：（已知离心率，求渐近线的倾斜角）‎ ‎ (2)双曲线－＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是 ．‎ 答案： (0，12)；(已知离心率的范围，求参数取值范围)‎ ‎(3)已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左右焦点分别是F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF‎1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若PF1＝10，椭圆和双曲线的离心率分别是e1，e2，则e1·e2的取值范围是 ．‎ 答案：(,＋∞)(已知有联系的两个圆锥曲线，求离心率的取值范围)‎ ‎(4)设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________．‎ 答案：(三角形与圆锥曲线相结合，求离心率的取值范围)‎ ‎　‎ 三、例题分析 例1 已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF1为半径作圆M．当圆M与椭圆的右准线l有公共点时，求△MF‎1F2面积的最大值．‎ 答案：（1）椭圆C的方程为＋＝1．‎ ‎（2）△MF‎1F2面积的最大值为．‎ ‎〖教学建议〗‎ 主要问题归类与方法：‎ ‎1．椭圆的焦距是‎2c，长轴长是‎2a，短轴长是2b．‎ ‎2．椭圆右准线方程为x＝，直线与圆有公共点的条件是：圆心到直线距离小于等于圆的半径．‎ ‎3．点M在椭圆上，则点M的坐标满足椭圆方程，同时，横、纵坐标都有范围．‎ 例2 设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1．‎ ‎（1）若PF1＝2＋，PF2＝2－，求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若PF1＝PQ，求椭圆的离心率e． ‎ 答案：（1）＋y2＝1；（2）－．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎1．主要问题归类与方法：‎ 椭圆的定义．根据垂直条件及椭圆定义求出PF1，PF2．‎ ‎2．方法选择与优化建议：‎ 第（2）问中有两种方法选择，方法一：设P点坐标，利用PQ⊥PF1及点P在椭圆上求出点坐标，再计算出PF1＝a＋，再根据等腰直角三角形PQF1的周长为‎4a，列出方程，得到答案；方法二：根据等腰直角三角形PQF1的周长为‎4a及椭圆定义，求出PF1，PF2，再根据直角三角形PF‎1F2列出方程，得到答案． ‎ 例3 椭圆的中心为原点，离心率e＝，一条准线的方程是x＝2．‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设动点P满足：＝＋2，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为－‎ eq F(1,2).问：是否存在定点F，使得PF与点P到直线l：x＝2的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。‎ 答案：（1）＋＝1.‎ ‎（2）存在定点F（，0），使得PF与点P到直线l：x＝2的距离之比为定值．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎1．主要问题归类与方法：‎ ‎1．椭圆中的基本量的计算，准线方程、离心率． ‎ ‎2．利用设点法研究动点P的轨迹方程．‎ ‎3．椭圆的第二定义．‎ ‎2．方法选择与优化建议：‎ 设点消元是关键．由条件“直线OM与ON的斜率之积为－”可得：x1x2＋2y1y2＝0．合理使用这个结论，求出动点P的轨迹方程．‎ ‎ 四、反馈练习 ‎1．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是________．‎ 答案：3或 ‎（考查：椭圆的标准方程及基本量计算）‎ ‎2．双曲线2x2－y2＋6＝0上的点P到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________．‎ 答案：2＋4‎ ‎（考查：双曲线的定义）‎ ‎3．若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则M到该抛物线焦点的距离为________．‎ 答案： ‎(考查：待定系数法)‎ ‎4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为________．‎ 答案：＋＝1. ‎ ‎（考查：椭圆的定义）‎ ‎5．已知a＞b＞0，椭圆C1：＋＝1，双曲线C2：－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________．‎ 答案：y＝±x.‎ ‎（考查内容：离心率、渐近线方程）‎ ‎6．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为__________．‎ 答案：－＝1‎ ‎(考查：双曲线的渐近线，双曲线、抛物线中的基本量计算)‎ ‎7．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于D点，且＝2，则C的离心率为________．‎ 答案： 　‎ ‎(考查：椭圆的第二定义，离心率的计算)‎ ‎8．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得＝e，则该椭圆离心率e的取值范围是________．‎ 答案：[－1，1)‎ ‎(考查：椭圆的定义，椭圆上的点到焦点的距离的范围)‎ ‎9．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．‎ 答案： ＋＝1　‎ ‎(考查：圆的切线，椭圆的基本量)‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d2＝d1，则椭圆C的离心率为__________．‎ 答案： ‎ ‎(考查：椭圆中的基本量的计算)‎ ‎11. 椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为 ．‎ 答案： ‎(考查：椭圆中的基本量的计算)‎ x y O l F P ‎12．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F．若C的右准线l的方程为x＝4，离心率e＝．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设点P为直线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O，F，P 三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．‎ 答案：（1）椭圆C的标准方程为＋＝1．‎ ‎（2）圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程为x2＋y2－2x－4y＝0．‎ ‎（考查：椭圆中的基本量的计算，利用待定系数法求圆的方程，在运算上有三种选择：①选择一般方程，②选择标准方程，③利用圆的几何性质设圆心．）‎ ‎13． 已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A(2，0)，点P(2e，)在椭圆上(e为离心率)．‎ ‎（1）求椭圆M的标准方程；‎ ‎（2）若点B，C(C在第一象限）都在椭圆上，满足＝λ，·＝0，求实数λ的值．‎ 答案：（1）椭圆M的标准方程为＋y2＝1；（2）． ‎ ‎(考查：（1）利用待定系数法求椭圆方程，（2）直线与椭圆相交，重点是字母的选择，有两种选择①直线OC的斜率，②点C的坐标．本题中条件＝λ，·＝0给出的平行关系和垂直关系)‎ ‎14．已知椭圆的方程＋＝1．‎ ‎（1）若椭圆的焦点在x轴上，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若m＝6．①点M的坐标为（1，0），P是椭圆上的动点，求PM的最小值；‎ ‎②过椭圆右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线l交x轴于点N．试问是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．‎ 答案：（1）4＜m＜8．‎ ‎（2）①PM的最小值为，此时对应点P坐标为（，±）． ②为定值，且＝．‎ ‎（考查：利用“点差法”解决有关弦的中点问题，利用椭圆第二定义解决过焦点的弦长问题，利用平面几何性质简化运算）．‎