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  • 2021-06-15 发布

专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数-2018年高考数学(文)热点题型和提分秘籍

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‎【高频考点解读】‎ ‎1.了解任意角的概念 ‎2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化 ‎3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 ‎【热点题型】‎ 热点题型一 象限角与终边相同的角 例1、 (1)终边在直线y=x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为________。‎ ‎(2)如果α是第三象限的角,试确定-α,2α的终边所在位置。‎ ‎【答案】(1) ‎(2)见解析 即+2kπ<-α<π+2kπ(k∈Z),‎ 所以角-α的终边在第二象限。‎ 由π+2kπ<α<+2kπ(k∈Z),‎ 得2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z)。‎ 所以角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴。‎ ‎【提分秘籍】‎ ‎1.终边在某直线上角的求法步骤 ‎(1)数形结合,在平面直角坐标系中画出该直线。‎ ‎(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角。‎ ‎(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。‎ ‎(4)求并集化简集合。‎ ‎2.确定kα,(k∈N*)的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出kα或的范围,然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设角α是第二象限的角,且=-cos,则角属于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【答案】C 热点题型二 扇形的弧长及面积公式 例2、 (1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角。‎ ‎(2)已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大?‎ ‎【解析】(1)设圆心角是θ,半径是r,‎ ‎【提分秘籍】 弧度制应用的关注点 ‎1.弧度制下l=|α|·r,S=lr,此时α为弧度。在角度制下,弧长l=,扇形面积S=,此时n为角度,它们之间有着必然的联系。‎ ‎2.在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知扇形的圆心角是α=120°,弦长AB=‎12 cm,求弧长l。‎ ‎【解析】设扇形的半径为r cm,如图。‎ 由sin60°=,‎ 得r=4(cm),‎ ‎∴l=|α|·r=×4=π(cm)。‎ 热点题型三 三角函数的定义及其应用 例3. (1)若角θ的终边经过点P(-,m)(m≠0)且sinθ=m,则cosθ的值为________。‎ ‎(2)顶点在原点,始边在x轴的正半轴上的角α,β的终边与圆心在原点的单位圆交于A,B两点,若α=30°,β=60°,则弦AB的长为________。‎ ‎【答案】(1)- (2) ‎【提分秘籍】三角函数定义的应用方法 ‎(1)已知角α终边上一点P的坐标,可求角α的三角函数值。先求P到原点的距离,再用三角函数的定义求解。‎ ‎(2)已知角α的某三角函数值,可求角α终边上一点P的坐标中的参数值,可根据定义中的两个量列方程求参数值。‎ ‎(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小,根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知角α的终边与单位圆的交点P,则sinα·tanα=(  )‎ A.- B.± C.- D.± ‎【答案】C ‎【解析】由|OP|2=+y2=1,得y2=,y=±。‎ 得y=时,sinα=,tanα=-,此时,sinα·tanα=-。‎ 当y=-时,sinα=-,tanα=,‎ 此时,sinα·tanα=-,故选C。‎ ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017北京】在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若,=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为和关于轴对称,所以,那么, (或),‎ 所以.‎ ‎1.【2016高考新课标3理数】在中,,边上的高等于,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎2.【2016高考新课标2理数】若,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ,‎ 且,故选D. ‎ ‎【2015高考新课标1,理2】 =( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】原式= ==,故选D.‎ ‎(2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图11,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图像大致为(  )‎ 图11‎ ‎  A           B C          D ‎【答案】C ‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎ 1.sin(-270°)= (  )‎ A.-1 B‎.0 ‎ C. D.1‎ ‎【解析】选D. 因为-270°角的终边位于y轴的非负半轴上,在其上任取一点(0,y),则r=y,所以sin(-270°)= ==1.‎ ‎2.已知α是第四象限角,则π-α是 (  )‎ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 ‎【解析】选C. 因为α,π-α的终边关于y轴对称,所以由题意得π-α是第三象限角.‎ ‎3.小明出国旅游,当地时间比中国时间晚一个小时,他需要将表的时针旋转,则转过的角的弧度数是 (  )‎ A. B. C.- D.-‎ ‎【解析】选B. 由题意小明需要把表调慢一个小时,逆时针旋转时针弧度.‎ ‎4.已知角α的终边上一点的坐标为,则角α的终边在第    象限(  )‎ A.一 B.二 C.三 D.四 ‎【解析】选D. 因为=,所以α在第四象限.‎ ‎5.下列命题中正确的是 (  )‎ A.若两扇形面积的比是1∶4,则它们弧长的比是1∶2‎ B.若扇形的弧长一定,则面积存在最大值 C.若扇形的面积一定,则弧长存在最小值 D.任意角的集合可与实数集R之间建立一一对应关系 ‎6.若tanα<0,且sinα>cosα,则α在 (  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[]‎ ‎【解析】选B. 因为tanα<0,所以α在第二或第四象限,又sinα>cosα,所以α在第二象限.‎ ‎7.对于第四象限角的集合,下列四种表示中错误的是 (  )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【解析】选C. 先选定一周,A:270°到360°再加360°的整数倍,B:-90°到0°再加360°的整数倍,D:630°到720°再加360°的整数倍,故A,B,D都正确,只有C错误.‎ ‎8.已知角α的始边与x轴的正半轴重合,顶点在坐标原点,角α终边上的一点P到原点的距离为,若α=,则点P的坐标为 (  )‎ A.(1,) B.(,1)‎ C.() D.(1,1)‎ ‎【解析】选D.设点P的坐标为(x,y),则由三角函数的定义得 即 故点P的坐标为(1,1).‎ ‎9.下列终边相同的角是 (  )‎ A.kπ+与,k∈Z B.kπ±与,k∈Z C.kπ+与2kπ±,k∈Z D.(2k+1)π与(4k±1)π,k∈Z ‎10.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周,点P所旋转过的弧AP的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致为 (  )‎ ‎【解析】选C.如图,取AP的中点为D,设∠DOA=θ,‎ 则d=2sinθ,l=2θR=2θ,‎ 所以d=2sin.‎ ‎11.已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等,且符号相同,那么α的值为     .‎ ‎【答案】或 ‎【解析】根据正弦线和余弦线的定义知,‎ 当α=和时,其正弦线和余弦线长度相等,且符号相同.‎ ‎12.若sinθ·cosθ<0,=cosθ,则点P在 (  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎13.已知角α的终边经过点P(‎3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则a的取值范围是     .‎ ‎【答案】(-2,3]‎ ‎【解析】由得 所以-20时,r=5a,sinθ+cosθ=-.[‎ ‎18.已知|cosθ|=-cosθ,且tanθ<0,试判断的符号.‎ ‎【解析】由|cosθ|=-cosθ可得cosθ≤0,所以角θ的终边在第二、三象限或y轴上或x轴的负半轴上;又tanθ<0,所以角θ的终边在第二、四象限,从而可知角θ的终边在第二象限.易知-10,sin(cosθ)<0,故<0,即符号为负.‎ ‎19.如图,动点P,Q从点A(4,0)出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求P,Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P,Q各自走过的弧长.‎ ‎【解析】设P,Q第一次相遇时所用的时间是t,‎ 则t·+t·=2π,所以t=4(秒),即P,Q第一次相遇时所用的时间为4秒.‎ 设第一次相遇点的坐标为C(xC,yC),‎ ‎ ‎

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