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- 2021-06-15 发布
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第1章 1.4.1、2
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.下列命题中的假命题是( )
A.∃x∈R,lg x=0 B.∃x∈R,tan x=1
C.∀x∈R,x2>0 D.∀x∈R,2x>0
解析: A中当x=1时,lg x=0,是真命题.
B中当x=+kπ时,tan x=1,是真命题.
C中当x=0时,x2=0不大于0,是假命题.
D中∀x∈R,2x>0是真命题.
答案: C
2.下列命题中,真命题是( )
A.∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数
B.∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数
C.∀m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数
D.∀m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数
解析: ∵当m=0时,f(x)=x2(x∈R).
∴f(x)是偶函数
又∵当m=1时,f(x)=x2+x(x∈R)
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
∴A对,B、C、D错.故选A.
答案: A
3.下列4个命题:
p1:∃x∈(0,+∞),xlogx;
p3:∀x∈(0,+∞),x>logx;
p4:∀x∈,xx成立.
所以p1是假命题,排除A、B;
对于命题p3,在平面直角坐标系中作出函数y=x与函数
y=logx的图象,可知在(0,+∞)上,函数y=x的图象并不是始终在函数y=logx图象的上方,所以p3是假命题,排除C.故选D.
答案: D
4.若命题p:∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.a≤-3或a>2 B.a≥2
C.a>-2 D.-20”用“∃”或“∀”可表述为________.
答案: ∃x0<0,使(1+x0)(1-9x0)>0
6.已知命题p:∃x0∈R,tan x0=;命题q:∀x∈R,x2-x+1>0,则命题“p且q”是________命题.(填“真”或“假”)
解析: 当x0=时,tan x0=,
∴命题p为真命题;
x2-x+1=2+>0恒成立,
∴命题q为真命题,
∴“p且q”为真命题.
答案: 真
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.指出下列命题中哪些是全称命题,哪些是特称命题,并判断真假:
(1)若a>0,且a≠1,则对任意实数x,ax>0.
(2)对任意实数x1,x2,若x10(a>0且a≠1)恒成立,∴命题(1)是真命题.
(2)存在x1=0,x2=π,x10.
∴命题(4)是假命题.
8.选择合适的量词(∀、∃),加在p(x)的前面,使其成为一个真命题:
(1)x>2;
(2)x2≥0;
(3)x是偶数;
(4)若x是无理数,则x2是无理数;
(5)a2+b2=c2(这是含有三个变量的语句,则p(a,b,c)表示)
解析: (1)∃x∈R,x>2.
(2)∀x∈R,x2≥0;∃x∈R,x2≥0都是真命题.
(3)∃x∈Z,x是偶数.
(4)存在实数x,若x是无理数,则x2是无理数.(如)
(5)∃a,b,c∈R,有a2+b2=c2.
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9.(10分)若∀x∈R,函数f(x)=mx2+x-m-a的图象和x轴恒有公共点,求实数a的取值范围.
解析: (1)当m=0时,f(x)=x-a与x轴恒相交,所以a∈R;
(2)当m≠0时,二次函数f(x)=mx2+x-m-a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ=1+4m(m+a)≥0恒成立,
即4m2+4am+1≥0恒成立.
又4m2+4am+1≥0是一个关于m的二次不等式,恒成立的充要条件是Δ=(4a)2-16≤0,解得-1≤a≤1.
综上所述,当m=0时,a∈R;
当m≠0,a∈[-1,1].