2018版高考数学（人教A版理）一轮复习：第4章 第3节 课时分层训练26 6页

课时分层训练(二十六)　‎ 平面向量的数量积与平面向量应用举例 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝(　　) ‎ ‎【导学号：01772152】‎ A．－　　 B.0　‎ C.　　 D.3‎ A　[依题意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－.]‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)‎ A．－8 B.－6‎ C.6 D.8‎ D　[法一：因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)．‎ 因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8.‎ 法二：因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8.]‎ ‎3．平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是 (　　) ‎ ‎【导学号：01772153】‎ A．矩形 B.正方形 C．菱形 D.梯形 C　[因为＋＝0，所以AB＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又(－)·＝·＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．]‎ ‎4．(2016·安徽黄山二模)已知点A(0,1)，B(－2,3)，C(－1,2)，D(1,5)，则向量在方向上的投影为(　　)‎ A. B.－ C. D.－ D　[∵＝(－1,1)，＝(3,2)，‎ ‎∴在方向上的投影为||cos〈，〉＝＝＝＝－.故选D.]‎ ‎5．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. C　[∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，‎ ‎∴2|a|2＋a·b＝0，‎ 即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.‎ ‎∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝.]‎ 二、填空题 ‎6．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.‎ ‎－2　[∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，‎ ‎∴a·b＝0.‎ 又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.]‎ ‎7．在△ABC中，若·＝·＝·，则点O是△ABC的________(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”)．‎ 垂心　[∵·＝·，‎ ‎∴·(－)＝0，‎ ‎∴·＝0，‎ ‎∴OB⊥CA，即OB为△ABC底边CA上的高所在直线．‎ 同理·＝0，·＝0，故O是△ABC的垂心．]‎ ‎8．如图431，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．‎ ‎ 【导学号：01772154】‎ 图431‎ ‎22　[由题意知：＝＋＝＋，‎ ＝＋＝＋＝－，‎ 所以·＝·＝2－·－2，即2＝25－·AB－×64，解得·＝22.]‎ 三、解答题 ‎9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.‎ ‎(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；‎ ‎(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．‎ ‎[解]　由已知得，a·b＝4×8×＝－16.2分 ‎(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.4分 ‎②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，‎ ‎∴|4a－2b|＝16.6分 ‎(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，8分 ‎∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，‎ 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.‎ 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直.12分 ‎10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．‎ ‎(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；‎ ‎(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．‎ ‎[解]　(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则 ＋＝(2,6)，－＝(4,4).3分 所以|＋|＝2，|－|＝4.‎ 故所求的两条对角线长分别为4，2.5分 ‎(2)由题设知＝(－2，－1)，‎ －t＝(3＋2t,5＋t).8分 由(－t)·＝0，‎ 得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，‎ 从而5t＝－11，所以t＝－.12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2016·河南商丘二模)已知a，b均为单位向量，且a·b＝0.若|c－4a|＋|c ‎－3b|＝5，则|c＋a|的取值范围是 (　　)‎ A．[3，]　　　　　　 B.[3,5]‎ C．[3,4] D.[，5]‎ B　[∵a，b均为单位向量，且a·b＝0，‎ ‎∴设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，‎ 代入|c－4a|＋|c－3b|＝5，得＋＝5.‎ 即(x，y)到A(4,0)和B(0,3)的距离和为5.‎ ‎∴c的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段，‎ 又|c＋a|＝，表示M(－1,0)到线段AB上点的距离，‎ 最小值是点(－1,0)到直线3x＋4y－12＝0的距离，‎ ‎∴|c＋a|min＝＝3.‎ 又最大值为|MA|＝5，‎ ‎∴|c＋a|的取值范围是[3,5]．故选B.]‎ ‎2．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝，n＝，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．‎ 　　[设Q(c，d)，由新的运算可得 ＝m⊗＋n＝＋ ‎＝，‎ 由 消去x得d＝sin ，‎ 所以y＝f(x)＝sin ，‎ 易知y＝f(x)的值域是.‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·. ‎ ‎【导学号：01772155】‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．‎ ‎[解]　(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.‎ 根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，‎ 所以sin Acos B＝sin(C＋B)，2分 即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，‎ 所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.5分 ‎(2)因为|－|＝，所以||＝，7分 即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，‎ 即ac≤3(2＋)，9分 故△ABC的面积S＝acsin B≤，‎ 即△ABC的面积的最大值为.12分