2021高考数学大一轮复习考点规范练29数列的概念与表示理新人教A版 6页

考点规范练29　数列的概念与表示 ‎　考点规范练A册第19页　 ‎ 基础巩固 ‎1.数列1,‎2‎‎3‎‎,‎3‎‎5‎,‎4‎‎7‎,‎‎5‎‎9‎,…的一个通项公式an=(　　)‎ A‎.‎n‎2n+1‎ B‎.‎n‎2n-1‎ C‎.‎n‎2n-3‎ D‎.‎n‎2n+3‎ 答案:B ‎2.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=nn+1‎,则‎1‎a‎5‎等于(　　)‎ A‎.‎‎5‎‎6‎ B‎.‎‎6‎‎5‎ C‎.‎‎1‎‎30‎ D.30‎ 答案:D 解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nn+1‎‎-n-1‎n=‎‎1‎n(n+1)‎,则‎1‎a‎5‎=5×(5+1)=30.‎ ‎3.已知数列{an}满足an+1+an=n,若a1=2,则a4-a2=(　　)‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ 答案:D 解析:由an+1+an=n,得an+2+an+1=n+1,两式相减得an+2-an=1,令n=2,得a4-a2=1.‎ ‎4.(2019广东六校第一次联考)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,bn=(-1)nan(n∈N*),则数列{bn}的前50项和为(　　)‎ A.49 B.50 C.99 D.100‎ 答案:A 解析:由题意得,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,当n=1时,a1=S1=3,所以数列{bn}的前50项和为-3+4-6+8-10+…+96-98+100=1+48=49,故选A.‎ ‎5.若数列{an}满足a1=‎1‎‎2‎,an=1-‎1‎an-1‎(n≥2,且n∈N*),则a2 018等于(　　)‎ A.-1 B‎.‎‎1‎‎2‎ C.1 D.2‎ 答案:A 6‎ 解析:∵a1=‎1‎‎2‎,an=1-‎1‎an-1‎(n≥2,且n∈N*),‎ ‎∴a2=1-‎1‎a‎1‎=1-‎1‎‎1‎‎2‎=-1,∴a3=1-‎1‎a‎2‎=1-‎1‎‎-1‎=2,‎ ‎∴a4=1-‎1‎a‎3‎=1-‎1‎‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎,……依此类推,可得an+3=an,‎ ‎∴a2018=a672×3+2=a2=-1,故选A.‎ ‎6.设数列‎2‎‎,‎‎5‎,2‎2‎‎,‎‎11‎,…,则‎41‎是这个数列的第　　　项. ‎ 答案:14‎ 解析:由已知得数列的通项公式为an=‎‎3n-1‎‎.‎ 令‎3n-1‎‎=‎‎41‎,解得n=14,即为第14项.‎ ‎7.(2019安徽合肥高三调研)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=2Sn(n∈N*),则a10=　　　　　. ‎ 答案:256‎ 解析:因为a1=S1=1,Sn+1=2Sn,所以数列{Sn}是公比为2的等比数列,所以Sn=2n-1,所以a10=S10-S9=29-28=28=256.‎ ‎8.(2019河北衡水中学摸底联考)已知数列{an},若数列{3n-1an}的前n项和Tn=‎1‎‎5‎‎×‎6n-‎1‎‎5‎,则a5=　　　　　. ‎ 答案:16‎ 解析:根据题意,得a1+3a2+32a3+…+3n-1an=‎1‎‎5‎‎×‎6n-‎1‎‎5‎,‎ 故当n≥2时,a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=‎1‎‎5‎‎×‎6n-1-‎1‎‎5‎,‎ 两式相减,得3n-1an=‎1‎‎5‎‎×‎6n-‎1‎‎5‎‎×‎6n-1=6n-1.‎ 即当n≥2时,an=2n-1,故a5=16.‎ ‎9.设数列{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+1‎‎2‎-nan‎2‎+an+1·an=0,则它的通项公式an=　　　　　. ‎ 答案:‎‎1‎n 6‎ 解析:∵(n+1)an+1‎‎2‎-nan‎2‎+an+1·an=0,‎ ‎∴‎‎(n+1)an+1‎-nanan+1‎‎+‎an‎=0.‎ ‎∵{an}是首项为1的正项数列,∴(n+1)an+1=nan,‎ 即an+1‎an‎=‎nn+1‎,故an=anan-1‎‎·an-1‎an-2‎·‎…‎·a‎2‎a‎1‎·‎a1=n-1‎n‎·n-2‎n-1‎·‎…‎·‎1‎‎2‎·‎1=‎‎1‎n‎.‎ ‎10.已知数列{an}的前n项和为Sn.‎ ‎(1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an;‎ ‎(2)若Sn=3n+2n+1,求an.‎ 解:(1)因为Sn=(-1)n+1·n,所以a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2.‎ 当n=1时,a1=S1=1;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)‎ ‎=(-1)n+1·[n+(n-1)]‎ ‎=(-1)n+1·(2n-1).‎ 又a1也适合于此式,所以an=(-1)n+1·(2n-1).‎ ‎(2)当n=1时,a1=S1=6;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2.①‎ 因为a1不适合①式,所以an=‎‎6,n=1,‎‎2·‎3‎n-1‎+2,n≥2.‎ 能力提升 ‎11.已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,Sn为数列{an}的前n项和,则S2 017的值为(　　)‎ A.2 017n-m B.n-2 017m C.m D.n 答案:C 解析:∵an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,‎ ‎∴a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,…,‎ ‎∴an+6=an.‎ 则S2017=S336×6+1=336×(a1+a2+…+a6)+a1=336×0+m=m.‎ 6‎ ‎12.已知函数f(x)是定义在区间(0,+∞)内的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*),则an等于(　　)‎ A.2n-1 B.n C.2n-1 D‎.‎‎3‎‎2‎n-1‎ 答案:D 解析:由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(n∈N*),‎ ‎∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),‎ 两式相减,得2an=3an-1(n≥2).‎ 又当n=1时,S1+2=3a1=a1+2,∴a1=1.‎ ‎∴数列{an}是首项为1,公比为‎3‎‎2‎的等比数列.‎ ‎∴an=‎‎3‎‎2‎n-1‎‎.‎ ‎13.已知数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=　　　　　. ‎ 答案:3n 解析:a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,把n换成n-1,得a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两式相减得an=3n.‎ ‎14.(2019辽宁五校联考)若数列{an}满足a1=-‎1‎‎2‎,an+an+1=‎2‎n‎2‎‎+2n,则a10=　　　　　. ‎ 答案:‎‎111‎‎110‎ 解析:(方法一)因为an+an+1=‎2‎n‎2‎‎+2n,所以an+an+1=‎2‎n(n+2)‎‎=‎1‎n-‎‎1‎n+2‎,所以a1+a2=1-‎1‎‎3‎‎.‎因为a1=-‎1‎‎2‎,所以a2=1-‎1‎‎3‎‎+‎‎1‎‎2‎;因为a2+a3=‎1‎‎2‎‎-‎‎1‎‎4‎,所以a3=‎1‎‎3‎‎-‎‎1‎‎4‎-1;因为a3+a4=‎1‎‎3‎‎-‎‎1‎‎5‎,所以a4=‎1‎‎4‎‎-‎‎1‎‎5‎+1;……所以a10=‎1‎‎10‎‎-‎‎1‎‎11‎+1=‎‎111‎‎110‎‎.‎ 6‎ ‎(方法二)因为an+an+1=‎2‎n‎2‎‎+2n,所以an+1=‎2‎n(n+2)‎-an.因为a1=-‎1‎‎2‎‎=‎‎1‎‎1×2‎-1,所以a2=‎2‎‎3‎‎+‎1‎‎2‎=‎7‎‎6‎=‎‎1‎‎2×3‎+1;a3=‎2‎‎2×4‎‎-‎‎7‎‎6‎=-‎11‎‎12‎‎=‎‎1‎‎3×4‎-1;a4=‎2‎‎3×5‎‎+‎11‎‎12‎=‎21‎‎20‎=‎‎1‎‎4×5‎+1,……归纳,可得an=‎1‎n(n+1)‎+(-1)n,所以a10=‎1‎‎10×11‎+(-1)10=‎‎111‎‎110‎‎.‎ ‎15.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*,bn=Sn-3n.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)若an+1≥an,求a的取值范围.‎ 解:(1)因为an+1=Sn+3n,所以Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,‎ 即Sn+1=2Sn+3n,‎ 由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即bn+1=2bn.‎ 又b1=S1-3=a-3,故{bn}的通项公式为bn=(a-3)·2n-1.‎ ‎(2)由题意可知,a2>a1对任意的a都成立.‎ 由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1.‎ 于是,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,‎ 故an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-212‎3‎‎2‎n-2‎+a-3.‎ 当n≥2时,由an+1≥an,可知12‎3‎‎2‎n-2‎+a-3≥0,即a≥-9.‎ 又a≠3,故所求的a的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).‎ 高考预测 ‎16.已知数列{an}的通项公式是an=-n2+12n-32,其前n项和是Sn,则对任意的n>m(其中m,n∈N*),Sn-Sm的最大值是　　　　　. ‎ 答案:10‎ 解析:由an=-n2+12n-32=-(n-4)(n-8)>0得4