数学理卷·2018届江西省新余一中高三毕业班第四次模拟考试（2017 10页

江西省新余一中 2018 届毕业年级第四次模拟考试 数学试卷（理） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知复数 21( ) 2 iz  （其中i 为虚数单位），则 z  （ ） A．1 B． i C． 1 D．i 2.已知集合 2{ 4 0}A x x x   ， { }B x x a  ，若 A B ，则实数 a 的取值范围（ ） A． (0,4] B． ( 8,4) C．[4, ) D． (4, ) 3.下列说法中，正确的是（ ） A．命题“若 a b ，则 2 2 1a b  ”的否命题为“若 a b ，则 2 2 1a b  ” B．命题“存在 x R ，使得 2 1 0x x   ”的否定是：“任意 x R ，都有 2 1 0x x   ” C．若命题“非 p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题，那么命题 q 一定是真命题 D． “ a b ”是“ 2 2ac bc ”的充分不必要条件 4.若 3cos( )4 5    ，则sin 2  （ ） A． 7 25 B． 1 5 C. 1 5  D． 7 25  5.已知 ,a b R ，则“ 1ab  ”是“直线 1 0ax y   和直线 1 0x by   平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C.必要不充分条件 D．既不充分 又不必要条件 6.若把函数 ( ) 3sin(2 )3f x x   的图象向右平移 （ 0  ）个单位后所得图象关于坐标 原点对称，则 的最小值为（ ） A． 6  B． 12  C. 3  D． 4  7.在等比数列{ }na 中， 1 82xa a  ， 3 2 81xa a   ，且前 n 项和 121nS  ，则此数列的项数 n 等于（ ） A．4 B．5 C.6 D．7 8.设函数 ( )f x 的导函数为 ' ( )f x ，若 ( )f x 为偶函数，且在 (0,1) 上存在极大值，则 ' ( )f x 的 图象可能为（ ） A. B. C. D. 9.如图，已知 OAB ，若点C 满足 2AC CB  ，OC OA OB     ，（ , R   ），则 1 1    （ ） A． 1 3 B． 2 3 C. 2 9 D． 9 2 10.抛物线 2 2y px （ 0p  ）的焦点为 F ，其准线经过双曲线 2 2 2 2 1x y a b   ( 0, 0)a b  的 左焦点，点 M 为这两条曲线的一个交点，且 MF P ，则双曲线的离心率为（ ） A． 2 B． 2 2 C. 2 1 2  D． 2 1 11.设函数 3 1, 1 ( ) 2 , 1x x x f x x     ，则满足 ( )( ( )) 2 f af f a  的实数 a 的取值范围是（ ） A． 2[ ,1]3 B．[0,1] C. 2[ , )3  D．[1, ) 12.已知数列 na 满足 1 4 3a  ，且 1 1 ( 1)n n na a a    （ *n N ），则 1 2 2017 1 1 1 a a a   的 整数部分是（ ） A．0 B．1 C.2 D．3 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量 (6, 2)a   ， (3, )b m ，且 //a b   ，则 a b   ． 14.等比数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1( 2)n nS b a   ，则 a b  ． 15.设曲线 cosy x 与 x 轴、 y 轴、直线 6x  围成的封闭图形的面积为b ，若 2( ) 2ln 2g x x bx kx   在[1, ) 上单调递减，则实数 k 的取值范围是 ． 16.直线 0ax by c   与圆 2 2: 16O x y  相交于两点 ,M N ，若 2 2 2c a b  ，P 为圆O 上任意一点，则 PM PN  的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数 ( ) 2 1f x x a   ， ( )g x x m   （ ,a m R ），若关于 x 的不等式 ( ) 1g x   的整数解有且仅有一个值为 3 . （1）求实数 m 的值； （2）若函数 ( )y f x 的图象恒在函数 ( )y g x 的图象上方，求实数 a 的取值范围. 18. 已知数列{ }na 满足： 1 2 3 n na a a a n a      ，（ 1,2,3,n  ） （1）求证：数列{ 1}na  是等比数列； （2）令 (2 )( 1)n nb n a   ，（ 1,2,3,n  ），如果对任意 *x N ，都有 21 4nb t t  ，求 实数t 的取值范围. 19. 已知函数 1 ln( ) xf x x  （1）若 0a  且函数 ( )f x 在区间 1( , )2a a  上存在极值，求实数 a 的取值范围； （2）如果当 1x  时，不等式 ( ) 1 kf x x   恒成立，求实数 k 的取值范围. 20. 如果，在 Rt ABC 中， 2ACB   ， 3AC  ， 2BC  ， P 是 ABC 内的一点. （1）若 P 是等腰直角三角形 PBC 的直角顶点，求 PA 的长； （2）若 2 3BPC   ，设 PCB   ，求 PBC 的面积 ( )S  的解析式，并求 ( )S  的最大 值. 21. 如图，四边形 ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，且平面 ABCD  平面CDEF ， 090BAD  ， //AB CD ， 1 2AB AD DE CD   ， M 是线段 AE 上的动点. （1）试确定点 M 的位置，使 //AC 平面 DMF ，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求平面 DMF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 已知函数 2( ) 2lnf x x ax x   . （1）当 0a  时，讨论 ( )f x 的单调递增区间； （2）若 ( )f x 有两个极值点 1 2,x x ，且 1 2 1 1 3 x xe    ，求 1 2( ) ( )f x f x 取值范围，（其中 e 为自然对数的底数） 第四次模拟考试数学试卷（理） 答案 一、BCCDC ABCDD CC 二、13、 /14、﹣ ．15、. k≥0 16、[﹣6.10]． 17.解：（Ⅰ）由 ，即 ， ， ， 不等式的整数解有且仅有一个值为-3，则 ， 解得 . （Ⅱ）因为 的图像恒在函数 的图像上方，故 ， 对任意 恒成立， 设 ，则 ， 在 单调递减，在 单调递增， 当 时， 取得最小值 4， 实数 的取值范围是 . 18.(1)  1na 是以- 2 1 为首项， 2 1 为公比的等比数列。 （2） 2 1 4 1  tt 或 19、解：（1）因为 ， x 0，则 ， 当 时， ；当 时， . 所以 在（0，1）上单调递增；在 上单调递减，所以函数 在 处取得极 大值. 因为函数 在区间 （其中 ）上存在极值， 所以 解得 . （2）不等式 即为 记 所以 令 ，则 ， ， 在 上单调递增， ，从而 ， 故 在 上也单调递增， 所以 ，所以 . 20. 解 (1)解法一：∵P 是等腰直角三角形 PBC 的直角顶点，且 BC＝2， ∴∠PCB＝ 4  ， PC＝ 2 ，又∵∠ACB＝ 2  ，∴∠ACP＝ 4  ， 在△PAC 中，由余弦定理得 PA2＝AC2＋PC2－2AC·PCcos 4  ＝5， ∴PA＝ 5 . (2)在△PBC 中，∠BPC＝ 2 3  ，∠PCB＝θ， ∴∠PBC＝ 3  －θ，由正弦定理得 2 2sin 3  ＝ sin PB  ＝ sin( )3 PC   ， ∴PB＝ 4 3 3 sinθ，PC＝ 4 3 3 sin( )3   ，∴△PBC 的面积 S(θ)＝ 1 2PB·PCsin 2 3  ＝ 4 3 3 sin( )3   sinθ＝2sinθcosθ－ 2 3 3 sin2θ＝sin2θ＋ 3 3 cos2θ－ 3 3 ＝ 2 3 3 sin(2 )6   － 3 3 ，θ∈ (0, )3  ， ∴当θ＝ 6  时，△PBC 面积的最大值为 3 3 . 21、【解答】解：（Ⅰ）当 M 是线段 AE 的中点时，AC∥平面 DMF． 证明如下： 连结 CE，交 DF 于 N，连结 MN， 由于 M、N 分别是 AE、CE 的中点，所以 MN∥AC， 由于 MN⊂平面 DMF，又 AC 不包含于平面 DMF， ∴AC∥平面 DMF．（4 分） （Ⅱ）过点 D 作平面 DMF 与平面 ABCD 的交线 l， ∵AC∥平面 DMF，∴AC∥l， 过点 M 作 MG⊥AD 于 G， ∵平面 ABCD⊥平面 CDEF， DE⊥CD， ∴DE⊥平面 ABCD，∴平面 ADE⊥平面 ABCD， ∴MG⊥平面 ABCD， 过 G 作 GH⊥l 于 H，连结 MH，则直线 l⊥平面 MGH，∴l⊥MH， ∴∠MHG 是平面 MDF 与平面 ABCD 所成锐二面角的平面角． 设 AB=2，则 DG=1，GH=DGsin∠GDH=DGsin∠DAC=1× = ，MG= =1 ∴cos∠MHG= = ， ∴所求二面角的余弦值为 ． 22、(1) 为减函数，，为增函数，在（），（在（ )),,0)( 2121 xxxxxf  （2）因为 ，即令 若 有两个极值点，则方程 g(x)=0 有两个不等的正根，所以 ＞０, (舍)或 时，且 ， ． 又 ，于是， ． ，则 恒成立， 在 单 调 递 减 ， ， 即 ， 故 的取值范围为 ． 第四次模拟考试数学试卷（理） 答案 一、BCCDC ABCDD CC 二、13、 /14、﹣ ．15、. k≥0 16、[﹣6.10]． 17.解：（Ⅰ）由 ，即 ， ， ， 不等式的整数解有且仅有一个值为-3，则 ， 解得 . （Ⅱ）因为 的图像恒在函数 的图像上方，故 ， 对任意 恒成立， 设 ，则 ， 在 单调递减，在 单调递增， 当 时， 取得最小值 4， 实数 的取值范围是 . 18.(1)  1na 是以- 2 1 为首项， 2 1 为公比的等比数列。 （2） 2 1 4 1  tt 或 19、解：（1）因为 ， x 0，则 ， 当 时， ；当 时， . 所以 在（0，1）上单调递增；在 上单调递减，所以函数 在 处取得极 大值. 因为函数 在区间 （其中 ）上存在极值， 所以 解得 . （2）不等式 即为 记 所以 令 ，则 ， ， 在 上单调递增， ，从而 ， 故 在 上也单调递增， 所以 ，所以 . 20. 解 (1)解法一：∵P 是等腰直角三角形 PBC 的直角顶点，且 BC＝2， ∴∠PCB＝ π 4 ， PC＝，又∵∠ACB＝ π 2 ，∴∠ACP＝ π 4 ， 在△PAC 中，由余弦定理得 PA2＝AC2＋PC2－2AC·PCcos π 4 ＝5， ∴PA＝. (2)在△PBC 中，∠BPC＝ 2π 3 ，∠PCB＝θ， ∴∠PBC＝ π 3 －θ，由正弦定理得 2π 3 ＝ PB sinθ＝ π －θ， ∴PB＝ 3 3sinθ，PC＝ 3 3sin π －θ，∴△PBC 的面积 S(θ)＝ 1 2PB·PCsin 2π 3 ＝ 3 3sin π －θsinθ＝2sinθcosθ－ 3 3sin2θ＝sin2θ＋ 3 3cos2θ－ 3 3 ＝ 3 3sin π 6 － 3 3，θ∈ π 3 ， ∴当θ＝ π 6 时，△PBC 面积的最大值为 3 3. 21、【解答】解：（Ⅰ）当 M 是线段 AE 的中点时，AC∥平面 DMF． 证明如下： 连结 CE，交 DF 于 N，连结 MN， 由于 M、N 分别是 AE、CE 的中点，所以 MN∥AC， 由于 MN⊂平面 DMF，又 AC 不包含于平面 DMF， ∴AC∥平面 DMF．（4 分） （Ⅱ）过点 D 作平面 DMF 与平面 ABCD 的交线 l， ∵AC∥平面 DMF，∴AC∥l， 过点 M 作 MG⊥AD 于 G， ∵平面 ABCD⊥平面 CDEF， DE⊥CD， ∴DE⊥平面 ABCD，∴平面 ADE⊥平面 ABCD， ∴MG⊥平面 ABCD， 过 G 作 GH⊥l 于 H，连结 MH，则直线 l⊥平面 MGH，∴l⊥MH， ∴∠MHG 是平面 MDF 与平面 ABCD 所成锐二面角的平面角．（8 分） 设 AB=2，则 DG=1，GH=DGsin∠GDH=DGsin∠DAC=1× = ，MG= =1（11 分） ∴cos∠MHG= = ， ∴所求二面角的余弦值为 ．（12 分） 22、(1) 为减函数，，为增函数，在（），（在（ )),,0)( 2121 xxxxxf  （2）因为 ，即令 若 有两个极值点，则方程 g(x)=0 有两个不等的正根，所以 ＞０, (舍)或 时，且 ， ． 又 ，于是， ． …………………… ，则 恒成立， 在 单 调 递 减 ， ， 即 ， 故 的取值范围为 ．