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- 2021-06-15 发布
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第18练 用导数研究函数的单调性
[基础保分练]
1.设函数f(x)＝x2－16lnx在区间[a－1，a＋2]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A.(1,3) B.(2,3) C.(1,2] D.[2,3]
2.(2019·嘉兴模拟)已知函数f(x)＝ax3＋ax2＋x(a∈R)，下列选项中不可能是函数f(x)的图象的是( )
3.定义域为R的函数f(x)对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且其导函数f′(x)满足>0，则当2eaf(a)，f(a)>eaf(1)
B.f(1)>eaf(a)，f(a)eaf(1)
D.f(1)β
C.α<β D.α＝2β
6.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能的是( )
7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf′(x)>f(x)，若f(2)＝0，则不等式>0的解集为( )
A.{x|－22}
C.{x|－22}
D.{x|x<－2或00恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数，已知函数f(x)＝x3－x2＋1在区间D上为凹函数，则x的取值范围是________.
10.(2019·嘉兴测试)已知f(x)＝2lnx＋x2－5x＋c在区间(m，m＋1)上为递减函数，则m的取值范围为________.
[能力提升练]
1.设函数f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数，已知f′(x)0时，xlnx·f′(x)<－f(x)，则使得(x2－4)f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(－2,0)∪(0,2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－2,0)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2)∪(0,2)
5.已知函数f(x)＝ex－e－x－2sinx，则不等式f(2x2－1)＋f(x)≤0的解集为________.
6.若函数ex·f(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________.
①f(x)＝2－x； ②f(x)＝3－x；
③f(x)＝x3； ④f(x)＝x2＋2.
答案精析
基础保分练
1.C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.B 7.C 8.B 9. 10.
能力提升练
1.B [设F(x)＝，则F′(x)＝<0，即函数F(x)在R上单调递减，因为f′(x)＝f′(4－x)，即导函数y＝f′(x)关于直线x＝2对称，
所以函数y＝f(x)是中心对称图形，且对称中心为(2,1)，
由f(4)＝0，即函数y＝f(x)过点(4,0)，
其关于点(2,1)的对称点(0,2)也在函数y＝f(x)上，
所以有f(0)＝2，所以F(0)＝＝2，
而不等式f(x)－2ex<0，即<2，
即F(x)0，
故使得不等式f(x)－2ex<0成立的x的取值范围是(0，＋∞)，故选B.]
2.C [根据导函数的几何意义，易得函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，
由图易得当x＝0或x＝2时，f(x)＝0，则函数g(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0,2)∪(2,＋∞)，排除选项B，D；g′(x)＝，由图易得当x∈(0,1)时，f(x)>f′(x)，即g′(x)＝>0，所以函数g(x)＝在(0,1)上是增函数，故选项A错误；又由图易得当x∈时，f(x)0)，
其导数g′(x)＝(lnx)′f(x)＋lnxf′(x)＝f(x)＋lnxf′(x)，
又由当x>0时，lnx·f′(x)<－f(x)，
得g′(x)＝f(x)＋lnx·f′(x)<0，
即函数g(x)在(0，＋∞)上为减函数，
又由g(1)＝ln1·f(1)＝0，
则在区间(0,1)上，g(x)＝lnx·f(x)>g(1)＝0，又由lnx<0，得f(x)<0；
在区间(1，＋∞)上，g(x)＝lnx·f(x)0，得f(x)<0，
则在(0,1)和(1，＋∞)上f(x)<0，
当x>0时，xlnx·f′(x)<－f(x)，
令x＝1得，0<－f(1)，则f(1)<0，
即在(0，＋∞)上f(x)<0，
又由f(x)为奇函数，则在区间(－∞，0)上，都有f(x)>0，
(x2－4)f(x)>0⇔
或解得x<－2或00，则f′(x)＝ex＋e-x－2cosx，
∵x>0，∴ex＋e-x>2＝2，
∴f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴函数f(x)是R上的增函数，
∴f(2x2－1)≤－f(x)＝f(－x)，
∴2x2－1≤－x，∴－1≤x≤.
6.①④
解析 对于①，f(x)＝2－x，则g(x)＝exf(x)＝ex·2-x＝x为实数集上的增函数；
对于②，f(x)＝3-x，则g(x)＝exf(x)＝ex·3-x＝x为实数集上的减函数；
对于③，f(x)＝x3，则g(x)＝exf(x)＝ex·x3，
g′(x)＝ex·x3＋3ex·x2＝ex·x2(x＋3)，
当x<－3时，g′(x)<0，
当x>－3时，g′(x)>0，
∴g(x)＝exf(x)在定义域R上先减后增；
对于④，f(x)＝x2＋2，则g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋2)，
g′(x)＝ex(x2＋2)＋2xex＝ex(x2＋2x＋2)>0在实数集R上恒成立，
∴g(x)＝exf(x)在定义域R上是增函数.
∴具有M性质的函数的序号为①④.
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