- 30.25 KB
- 2021-06-15 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
考点规范练37 数学归纳法
考点规范练A册第25页
基础巩固
1.在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:C
解析:在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边=1+2=3.
2.欲用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n,总有2n>n3,则验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是( )
A.1 B.9
C.10 D.n>10,且n∈N*
答案:C
解析:210=1024>103.故选C.
3.命题P(n)对于n=1成立,如果n=k成立,那么对于n=k+2也成立.下述结论正确的是( )
A.P(n)对于所有的自然数n都成立
B.P(n)对于所有的正奇数n都成立
C.P(n)对于所有的正偶数n都成立
D.P(n)对于所有大于3的自然数n都成立
答案:B
解析:由于若命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立.
又已知命题P(1)成立,可推出P(3),P(5),P(7),P(9),P(11)…均成立,即P(n)对所有的正奇数n都成立.
4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3,n∈N*,能被9整除”,要利用归纳假设证当n=k+1(k∈N*)时的情况,只需展开( )
A.(k+3)3 B.(k+2)3
6
C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3
答案:A
解析:假设n=k(k∈N*)时,k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设证明,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.故选A.
5.对于不等式n2+n12,1+12+13>1,1+12+13+…+17>32,1+12+13+…+115>2,……你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.
解:一般结论:1+12+13+…+12n-1>n2(n∈N*),证明如下:
(1)当n=1时,由题设条件知命题成立.
6
(2)假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,
即1+12+13+…+12k-1>k2.
当n=k+1时,1+12+13+…+12k-1+12k+…+12k+1-1>k2+12k+12k+1+…+12k+1-1>k2+12k+1+12k+1+…+12k+1=k2+2k2k+1=k+12.
∴当n=k+1时不等式成立.
根据(1)和(2)可知猜想对任何n∈N*都成立.
8.观察下列等式:
1=1,
2+3+4=9,
3+4+5+6+7=25,
4+5+6+7+8+9+10=49,
……
(1)写出第5个等式;
(2)你能作出什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明你的猜想.
解:(1)第5个等式为5+6+7+…+13=81.
(2)猜测第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.
证明:①当n=1时显然成立;
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时成立,
即k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)=(2k-1)2.
则当n=k+1时,(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)
=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(2k-1)+3k+3k+1
=(2k-1)2+(2k-1)+3k+(3k+1)
=4k2-4k+1+8k
=(2k+1)2
=[2(k+1)-1]2.
6
这就是说,当n=k+1时,等式也成立.
根据①②知,等式对任何n∈N*都成立.
9.设a>0,f(x)=axa+x,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*.
(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明你的结论.
(1)解∵a1=1,∴a2=f(a1)=f(1)=a1+a;a3=f(a2)=a2+a;a4=f(a3)=a3+a.猜想an=a(n-1)+a(n∈N*).
(2)证明①易知当n=1时,猜想正确.
②假设当n=k(k∈N*)时,猜想正确,即ak=a(k-1)+a,
则ak+1=f(ak)=a·aka+ak=a·a(k-1)+aa+a(k-1)+a=a(k-1)+a+1=a[(k+1)-1]+a.
故n=k+1时,猜想正确.
由①②知,对于任何n∈N*,都有an=a(n-1)+a.
能力提升
10.利用数学归纳法证明不等式1+12+13+…+12n-12,f(8)>52,f(16)>3,f(32)>72,则其一般结论为 .
答案:f(2n)>n+22(n≥2,n∈N*)
解析:因为f(22)>42,f(23)>52,f(24)>62,f(25)>72,所以当n≥2时,有f(2n)>n+22.
故填f(2n)>n+22(n≥2,n∈N*).
6
6