【数学】2019届文科一轮复习人教A版4-1平面向量的概念及线性运算教案 8页

第 章 平面向量、数系的扩充与复 数的引入 第一节 平面向量的概念及线性运算 [考纲传真] (教师用书独具)1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个 向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几 何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向 量线性运算的性质及其几何意义． (对应学生用书第 57 页) [基础知识填充] 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或 模)． (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定： 0 与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运 算 三角形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b ＋c) 平行四边形法则 减法 求a与b的相反向量 －b 的和的运算叫 做 a 与 b 的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量 a 的 积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当λ ＝0 时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3. 共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λA． [知识拓展] 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个 向量终点的向量，即A1A2 → ＋A2A3 → ＋A3A4 → ＋…＋An－1An＝A1An → ，特别地，一个封 闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP → ＝1 2(OA → ＋OB → )． 3．OA → ＝xOB → ＋yOC → (x，y 为实数)，若点 A，B，C 共线，则 x＋y＝1. 4．△ABC 中，PA →＋PB →＋PC →＝0⇔点 P 为△ABC 的重心． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若 a∥b，b∥c，则 a∥C．( ) (3)a∥b 是 a＝λb(λ∈R)的充要条件．( ) (4)△ABC 中，D 是 BC 的中点，则AD → ＝1 2(AC →＋AB → )．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．(2015·全国卷Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD → ，则( ) A．AD → ＝－1 3AB →＋4 3AC → B．AD → ＝1 3AB →－4 3AC → C．AD → ＝4 3AB →＋1 3AC → D．AD → ＝4 3AB →－1 3AC → A [AD → ＝AC →＋CD → ＝AC →＋1 3BC →＝AC →＋1 3(AC →－AB → )＝4 3AC →－1 3AB →＝－1 3AB →＋4 3AC → . 故选 A．] 3．(2018·长春模拟)设点 P 是△ABC 所在平面内一点，且BC →＋BA →＝2BP →，则PC →＋ PA →＝________. 0 [因为BC →＋BA →＝2BP →，由平行四边形法则知，点 P 为 AC 的中点，故PC →＋ PA →＝0.] 4．(教材改编)已知▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且OA → ＝a，OB → ＝b， 则DC → ＝________，BC →＝________(用 a，b 表示)． b－a －a－b [如图，DC → ＝AB →＝OB → －OA → ＝b－a， BC →＝OC → －OB → ＝－OA → －OB → ＝－a－B．] 5．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线，则λ＝ ________. －1 3 [由已知得 a＋λb＝－k(b－3a)， ∴ λ＝－k， 3k＝1， 得 λ＝－1 3 ， k＝1 3. ] (对应学生用书第 58 页) 平面向量的有关概念 给出下列六个命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b； ②若AB →＝DC → ，则 ABCD 为平行四边形； ③若 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则 a 与 b 共线； ⑤λa＝0(λ为实数)，则λ必为零； ⑥a，b 为非零向量，a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥B． 其中假命题的序号为________. 【导学号：79170124】 ①②③④⑤⑥ [①不正确．|a|＝|b|.但 a，b 的方向不确定，故 a，b 不一定是 相等或相反向量； ②不正确．因为AB →＝DC → ，A，B，C，D 可能在同一直线上，所以 ABCD 不一 定是四边形． ③不正确．两向量不能比较大小． ④不正确．当λ＝μ＝0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足λa＝μb，但 a 与 b 不 一定共线． ⑤不正确．当λ＝1，a＝0 时，λa＝0. ⑥不正确．对于非零向量 a，b，a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a，b 同向．] [规律方法] 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分 利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法. 2．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行 向量)和相等向量均与向量的起点无关． 3．若 a 为非零向量，则 a |a| 是与 a 同向的单位向量，－ a |a| 是与 a 反向的单位向 量． [变式训练 1] 设 a0 为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，假 命题的个数是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 D [向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同， 故①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二 是反向，反向时 a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3.] 平面向量的线性运算 (1)(2018·开封模拟)设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中 点，则EB →＋FC →＝( ) A．BC → B．1 2AD → C．AD → D．1 2BC → (2)(2018·广州模拟)在梯形 ABCD 中，AD∥BC，已知 AD＝4，BC＝6，若CD → ＝ mBA →＋nBC → (m，n∈R)，则m n ＝( ) A．－3 B．－1 3 C．1 3 D．3 (1)C (2)A [(1)如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC → ＝EC →＋FB →＝1 2(AC →＋AB → ) ＝1 2·2AD → ＝AD → . (2)如图，过 D 作 DE∥AB，CD → ＝mBA →＋nBC →＝CE →＋ED → ＝－1 3BC →＋BA →， 所以 n＝－1 3 ，m＝1，所以m n ＝－3.故选 A．] [规律方法] 向量的线性运算的求解方法 (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶 点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求 解． (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用 三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化 为与已知向量有直接关系的向量来求解． [变式训练 2] (1)设M为平行四边形 ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA → ＋OB → ＋OC → ＋OD → 等于( ) A．OM → B．2OM → C．3OM → D．4OM → (2)(2018·北京模拟)在△ABC 中，点 M，N 满足AM → ＝2MC → ，BN →＝NC → .若MN → ＝xAB → ＋yAC →，则 x＝________；y＝________. 【导学号：79170125】 (1)D (2)1 2 －1 6 [(1)因为 M 是 AC 和 BD 的中点，由平行四边形法则，得OA → ＋OC → ＝2OM → ，OB → ＋OD → ＝2OM → ，所以OA → ＋OB → ＋OC → ＋OD → ＝4OM → .故选 D． (2)由题中条件得，MN → ＝MC → ＋CN → ＝1 3AC →＋1 2CB →＝1 3AC →＋1 2(AB →－AC → )＝1 2AB →－1 6AC → ＝xAB →＋yAC →，所以 x＝1 2 ，y＝－1 6.] 共线向量定理的应用 设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1)若AB →＝a＋b，BC →＝2a＋8b，CD → ＝3(a－b)，求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线． [解] (1)证明：∵AB →＝a＋b，BC →＝2a＋8b，CD → ＝3(a－b)， ∴BD → ＝BC →＋CD → ＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB → . ∴AB →，BD → 共线，又∵它们有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线． (2)∵ka＋b 和 a＋kb 共线， ∴存在实数λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即 ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)B． ∵a，b 是两个不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1. [规律方法] 共线向量定理的应用 (1)证明向量共线：对于向量 a，b，若存在实数λ，使 a＝λb，则 a 与 b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则 A，B，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点． [变式训练 3] (1)已知向量AB →＝a＋3b，BC →＝5a＋3b，CD → ＝－3a＋3b，则( ) A．A，B，C 三点共线 B．A，B，D 三点共线 C．A，C，D 三点共线 D．B，C，D 三点共线 (2)(2015·全国卷Ⅱ)设向量 a，b 不平行，向量λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数λ＝ ________. (1)B (2)1 2 [(1)∵BD → ＝BC →＋CD → ＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2AB →，∴BD → ，AB →共线， 又有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线．故选 B． (2)∵λa＋b 与 a＋2b 平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)， 即λa＋b＝ta＋2tb，∴ λ＝t， 1＝2t， 解得 λ＝1 2 ， t＝1 2. ]