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- 2021-06-15 发布
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课时作业39 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
一、选择题
1.(2014·广东卷)若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=( )
A.8 B.7 C.6 D.5
解析:画出如图阴影部分所示的可行域,易知z=2x+y在点(2,-1)与(-1,-1)处分别取得最大值m=3和最小值n=-3,∴m-n=6,选C.
答案:C
2.(2014·湖北卷)由不等式组确定的平面区域记为Ω1,不等式组确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机抽取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:
由题意作图,如图所示,Ω1的面积为×2×2=2,图中阴影部分的面积为2-××=,则所求的概率P==,选D.
答案:D
3.若点(x,y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值是( )
A.-6 B.-2
C.0 D.2
解析:由题中条件画出封闭区域如图中阴影部分所示.
结合图形知,z=2x-y在A(-2,2)处取得最小值,且zmin=2×(-2)-2=-6.
答案:A
4.(2014·安徽卷)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )
A.或-1 B.2或
C.2或1 D.2或-1
解析:画出如图阴影部分所示的可行域,z=y-ax表示的直线向上移动取到最大值,z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则当a>0时,z=y-ax与2x-y+2=0平行.所以a=2,而当a<0时,z=y-ax与x+y-2=0平行,所以a=-1,综上a=2或-1.
答案:D
5.(2014·福建卷)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域Ω:若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为( )
A.5 B.29
C.37 D.49
解析:
由题意,画出可行域Ω,圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,所以b=1.
所以圆心在直线y=1上,求得与直线x-y+3=0,x+y-7=0的两交点坐标分别为A(-2,1),B(6,1),所以a∈[-2,6].
所以a2+b2=a2+1∈[1,37],所以a2+b2的最大值为37.故选C.
答案:C
6.某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为( )
A.31 200元 B.36 000元
C.36 800元 D.38 400元
解析:设旅行社租A型车x辆,B型车y辆,租金为z元,则z=1 600x+2 400y=800(2x+3y).
由题中条件可得约束条件为:据此画出可行域如图中阴影部分区域内的整数点.
令z′=2x+3y,结合图形知z′=2x+3y在A(5,12)处取得最小值,且最小值为2×5+3×12=46,∴z的最小值为800×46=36 800.
答案:C
二、填空题
7.若不等式组表示的平面区域是一个四边形,则实数a的取值范围是________.
解析:
平面区域如图中的阴影部分,直线2x+y=6交x轴于点A(3,0),交直线x=1于点B(1,4),当直线x+y=a与直线2x+y=6的交点在线段AB(不包括线段端点)上时,此时不等式组所表示的区域是一个四边形.将点A的坐标代入直线x+y=a的方程得3+0=a,即a=3,将点B的坐标代入直线x+y=a的方程得a=1+4=5,故实数a的取值范围是(3,5).
答案:(3,5)
8.若变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为________.
解析:由题中约束条件画出可行域如图中阴影部分所示.
结合图形知,z=x+y在A(4,2)处取得最大值,且zmax=4+2=6.
答案:6
9.实数x,y满足不等式组则z=|x+2y-4|的最大值为________.
解析:
作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.
z=|x+2y-4|
=·,
即其几何含义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0的距离的倍.
由得B点坐标为(7,9),显然点B到直线x+2y-4=0的距离最大,此时
zmax=21.
答案:21
三、解答题
10.已知D是以点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部).如图所示.
(1)写出表示区域D的不等式组.
(2)设点B(-1,-6),C(-3,2)在直线4x-3y-a=0的异侧,求a的取值范围.
解:(1)直线AB,AC,BC的方程分别为7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0.原点(0,0)在区域D内,故表示区域D的不等式组为:
(2)根据题意有[4×(-1)-3×(-6)-a][4×(-3)-3×2-a]<0,即(14-a)(-18-a)<0,
得a的取值范围是-180时,有两种情况:当k取最小值即抛物线过点A.所以的最小值是;当抛物线y=与直线x-y-1=0相切时,联立方程组消掉y得到x2-kx+k=0,∴Δ=k2-4k=0,∴k=4,此时的最小值是4.综上可知的最小值是4.
答案:4