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- 2021-06-15 发布
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3.4 基本不等式:≤
双基达标 (限时20分钟)
1.若x>0,y>0,且x+y=4,则下列不等式中恒成立的是 ( ).
A.≤ B.+≥1
C.≥2 D.≥1
解析 若x>0,y>0,由x+y=4,得=1,
∴+=(x+y)=≥(2+2)=1.
答案 B
2.下列各函数中,最小值为2的是 ( ).
A.y=x+
B.y=sin x+,x∈
C.y=
D.y=+
解析 对于A:不能保证x>0,
对于B:不能保证sin x=,
对于C:不能保证=,
对于D:y=+≥2.
答案 D
3.若02,则a+的最小值是________.
解析 ∵a>2,∴a-2>0.
∴a+=(a-2)++2≥2+2=4.
当且仅当a-2=,即a=3时,等号成立.
答案 4
5.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是________.
解析 ab=a+b+3≥2+3,∴≥3,即ab≥9.
答案 [9,+∞)
6.已知x>0,y>0,lg x+lg y=1,求+的最小值.
解 法一 由已知条件lg x+lg y=1可得:x>0,y>0,且xy=10.
则+=≥=2,
所以min=2,当且仅当即时等号成立.
法二 由已知条件lg x+lg y=1可得:
x>0,y>0,且xy=10,
+≥2 =2 =2(当且仅当即时取等号).
综合提高 (限时25分钟)
7.设a>0,b>0.若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为 ( ).
A.8 B.4 C.1 D.
解析 因为3a·3b=3,所以a+b=1,
+=(a+b)
=2++≥2+2
=4,
当且仅当=,即a=b=时,“=”成立,故选B.
答案 B
8.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是 ( ).
A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m
解析 设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长为l,则ab=2,∴ab=4,l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(m).因为要求够用且浪费最少,故选C.
答案 C
9.(2011·潍坊高二检测)在4×□+9×□=60的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上________和________.
解析 设两数为x,y,即4x+9y=60,
又+==≥×(13+12)=,当且仅当=,且4x+9y=60,即x=6,y=4时,等号成立.
答案 6 4
10.函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m,n>0,则+的最小值为________.
解析 函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(-2,-1),(-2)·m+(-1)·n+1=0,
2m+n=1,m,n>0,
+=·(2m+n)
=4++
≥4+2 =8,
当且仅当,即时等号成立.
答案 8
11.求函数y=的值域.
解 函数的定义域为R,
y==1+.
(1)当x=0时,y=1;
(2)当x>0时,y=1+≤1+=4.
当且仅当x=时,即x=1时,ymax=4;
(3)当x<0时,y=1+
=1-≥1-=-2.
当且仅当-x=-时,即x=-1时,ymin=-2.
综上所述:-2≤y≤4,即函数的值域是[-2,4].
12.(创新拓展)(2012·济宁高二检测)某建筑公司用8 000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房.经初步估计得知,如果将楼房建为x(x≥12)层,则每平方米的平均建筑费用为Q(x)=3 000+50x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费最小值是多少?
(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)
解 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元,依题意得
f(x)=Q(x)+
=50x++3 000(x≥12,x∈N),
f(x)=50x++3 000
≥2 +3 000=5 000(元).
当且仅当50x=,即x=20时上式取“=”
因此,当x=20时,f(x)取得最小值5 000(元).
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用最小值为5 000元.