数学·江苏省连云港市海州区锦屏高中2016-2017学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含解析x 13页

‎2016-2017学年江苏省连云港市海州区锦屏高中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、填空题（每题5分，满分70分）‎ ‎1．数列，﹣，，﹣，…的第5项是　　．‎ ‎2．设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an=　　．‎ ‎3．∀x∈R，x2﹣x+≥0的否定是　　．‎ ‎4．如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的　　条件．‎ ‎5．设x＞0，y＞0，且x+y=18，则xy的最大值为　　．‎ ‎6．数列{an}的前n项和为Sn，若an=，则S5=　　．‎ ‎7．若实数x，y满足不等式组，则该约束条件所围成的平面区域的面积是　　．‎ ‎8．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的　　条件．‎ ‎9．数列1，3，5，…，（2n﹣1）+的前n项和Sn=　　．‎ ‎10．已知x＞0，y＞0，且+=1，则x+y的最小值为　　．‎ ‎11．若一元二次不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，则k的范围是　　．‎ ‎12．已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列关系式中一定成立的是　　．‎ ‎①ab＞ac ‎②c（b﹣a）＜0‎ ‎③cb2＜ab2‎ ‎④ac（a﹣c）＞0．‎ ‎13．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn若对任意自然数n都有=，则的值为　　．‎ ‎14．已知x＞0，y＞0，x+3y+xy=9，则x+3y的最小值为　　．‎ ‎　‎ 二、解答题（满分90分）‎ ‎15．（14分）（1）作出不等式x+y﹣3≤0在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示）； ‎ ‎（2）求不等式x2﹣3x+2＜0的解集．‎ ‎16．（14分）在等差数列{an}中，a1=1，a3=﹣3‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）若数列{an}的前k项和Sk=﹣35，求k的值．‎ ‎17．（14分）已知，求函数的最大值．‎ ‎18．（16分）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？‎ ‎19．（16分）解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．‎ ‎20．（16分）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式 ‎（2）当d＞1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省连云港市海州区锦屏高中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（每题5分，满分70分）‎ ‎1．（2016秋•海州区校级期中）数列，﹣，，﹣，…的第5项是　　．‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【专题】转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】通过观察符号、其绝对值的分子与分母规律即可得出．‎ ‎【解答】解：由数列，﹣，，﹣，…，可得第5项是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了求数列通项公式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（2016秋•海州区校级期中）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an=　　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式求解．‎ ‎【解答】解：等比数列{an}的首项为a1，公比为q，‎ 则它的通项an=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎3．（2016秋•海州区校级期中）∀x∈R，x2﹣x+≥0的否定是　∃x0∈R，x﹣x0+＜0　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．‎ ‎【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，‎ 即∃x0∈R，x﹣x0+＜0，‎ 故答案为：∃x0∈R，x﹣x0+＜0‎ ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（2016秋•海州区校级期中）如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的　充要　条件．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】对应思想；转化法；简易逻辑．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：如果p⇒q，且q⇒p，‎ 则p是q的充要条件，‎ 故答案为：充要．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件的定义，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（2016秋•海州区校级期中）设x＞0，y＞0，且x+y=18，则xy的最大值为　81　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【专题】转化思想；不等式．‎ ‎【分析】利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+y=18，‎ ‎∴18≥，化为xy≤81，当且仅当x=y=9时取等号．‎ 则xy的最大值为81．‎ 故答案为：81．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（2008•苏州模拟）数列{an}的前n项和为Sn，若an=，则S5=　　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】S5=a1+a2+…+a5=，然后利用裂项求和法进行运算．‎ ‎【解答】解：S5=a1+a2+…+a5‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎==．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查数列的求和，解题时要注意裂项求和法的合理应用．‎ ‎　‎ ‎7．（2016秋•海州区校级期中）若实数x，y满足不等式组，则该约束条件所围成的平面区域的面积是　2　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【专题】数形结合；转化法；不等式．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由得，即A（2，3），‎ 由得，即B（0，1），‎ 由得，即C（1，0），‎ 则阴影部分的面积S=S梯形OBAD﹣S△OBC﹣S△ACD=﹣=4﹣=2，‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】本题主要考查三角形面积的计算，根据线性规划作出可行域，利用割补法是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（2016秋•海州区校级期中）“a＞0，b＞0”是“+≥2”的　充分不必要　条件．‎ ‎【考点】不等式的基本性质．‎ ‎【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．‎ ‎【分析】ab＞0⇔+≥2，即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：ab＞0⇔+≥2，‎ ‎∴“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．‎ 故答案为：充分不必要．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（2016秋•海州区校级期中）数列1，3，5，…，（2n﹣1）+的前n项和Sn=　1﹣+n2　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】通过Sn=[1+3+…+（2n﹣1）]+（++…+）、利用分组法求和即得结论．‎ ‎【解答】解：依题意，Sn=[1+3+…+（2n﹣1）]+（++…+）‎ ‎=+‎ ‎=1﹣+n2，‎ 故答案为：1﹣+n2．‎ ‎【点评】本题考查数列的求和，利用分组法求和是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（2014•漳州一模）已知x＞0，y＞0，且+=1，则x+y的最小值为　3+2　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0，且+=1，‎ ‎∴x+y=（x+y）=3+=．当且仅当y=x=2+时取等号．‎ ‎∴x+y的最小值为3+2．‎ 故答案为：3+2．‎ ‎【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（2015秋•兖州市期中）若一元二次不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，则k的范围是　﹣3＜k＜0　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】利用一元二次不等式和函数之间的关系，利用判别式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵一元二次不等式对一切实数x都成立，‎ ‎∴k≠0，且满足，‎ 即，‎ 解得﹣3＜k＜0，‎ 故答案为：﹣3＜k＜0．‎ ‎【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，利用不等式恒成立转化为判别式＜0是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（2016秋•海州区校级期中）已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列关系式中一定成立的是　①　．‎ ‎①ab＞ac ‎②c（b﹣a）＜0‎ ‎③cb2＜ab2‎ ‎④ac（a﹣c）＞0．‎ ‎【考点】不等式的基本性质．‎ ‎【专题】转化思想；不等式．‎ ‎【分析】由a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，可得a＞0，c＜0．进而即可判断出正误．‎ ‎【解答】解：∵a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，∴a＞0，c＜0．‎ ‎①ab﹣ac=a（b﹣c）＞0，∴ab＞ac，正确．‎ ‎②c（b﹣a）＞0，因此不正确．‎ ‎③b=0时，cb2＜ab2不成立．‎ ‎④ac（a﹣c）＜0，因此不成立．‎ 综上可得：只有①一定成立．‎ 故答案为：①．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的基本性质、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（2014•静安区校级三模）设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn若对任意自然数n都有=，则的值为　　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式=，代值计算可得．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：‎ ‎=+‎ ‎===‎ ‎===‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（2013•湖州二模）已知x＞0，y＞0，x+3y+xy=9，则x+3y的最小值为　6　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由于要求x+3y的最小值，故在解题时注意把x+3y看为一个整体，需将已知方程中的xy利用基本不等式转化为x+3y的形式．‎ ‎【解答】解：由于x＞0，y＞0，x+3y+xy=9，‎ 则9﹣（x+3y）=xy=，‎ 当且仅当x=3y时，取“=”‎ 则此时，‎ 由于x＞0，y＞0，解得，‎ 故x+3y=6‎ 故答案为6．‎ ‎【点评】本题考查利用基本不等式求解式子的最值问题，属于基础题，可以训练答题者灵活变形及选用知识的能力．‎ ‎　‎ 二、解答题（满分90分）‎ ‎15．（14分）（2016秋•海州区校级期中）（1）作出不等式x+y﹣3≤0在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示）； ‎ ‎（2）求不等式x2﹣3x+2＜0的解集．‎ ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；一元二次不等式的解法．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法；不等式．‎ ‎【分析】（1）根据不等式，可得不等式x+y﹣3≤0在坐标平面内表示的区域；‎ ‎（2）不等式x2﹣3x+2＜0，可化为（x﹣1）（x﹣2）＜0，即可求不等式x2﹣3x+2＜0的解集．‎ ‎【解答】解：（1）不等式x+y﹣3≤0在坐标平面内表示的区域，如图所示；‎ ‎（2）不等式x2﹣3x+2＜0，可化为（x﹣1）（x﹣2）＜0，‎ ‎∴1＜x＜2，‎ ‎∴不等式x2﹣3x+2＜0的解集为{x|1＜x＜2}．‎ ‎【点评】本题考查不等式表示的平面区域，考查不等式的解法，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）（2016秋•海州区校级期中）在等差数列{an}中，a1=1，a3=﹣3‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）若数列{an}的前k项和Sk=﹣35，求k的值．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【专题】综合题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出数列的公差，即可求数列{an}的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）利用等差数列的求和公式，结合数列{an}的前k项和Sk=﹣35，求k的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{an}中，a1=1，a3=﹣3，‎ ‎∴公差d=（﹣3﹣1）=﹣2，‎ ‎∴an=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n；‎ ‎（Ⅱ）Sk==﹣35，‎ ‎∴k=7．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）（2012•清城区校级模拟）已知，求函数的最大值．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先将函数解析式整理成基本不等式的形式，然后利用基本不等式求得函数的最大值和此时x的取值即可．‎ ‎【解答】（本小题满分6分）‎ 解：∵∴5﹣4x＞0‎ ‎∴=﹣（5﹣4x+）+3≤﹣2+3=1‎ 当且仅当5﹣4x=，即x=1时，上式成立，故当x=1时，ymax=1．‎ ‎∴函数的最大值为1．‎ ‎【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，考查了分析问题和解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（16分）（2016春•黄冈期末）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【专题】应用题；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】设应配备A型车、B型车各x辆，y辆，营运成本为z元；从而可得；z=1600x+2400y；利用线性规划求解．‎ ‎【解答】解：设应配备A型车、B型车各x辆，y辆，营运成本为z元；‎ 则由题意得，‎ ‎；z=1600x+2400y；‎ 故作平面区域如下，‎ 故联立解得，x=5，y=12；‎ 此时，z=1600x+2400y有最小值1600×5+2400×12=36800元．‎ ‎【点评】本题考查了线性规划在实际问题中的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（16分）（2014•开福区校级模拟）解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【专题】计算题；分类讨论．‎ ‎【分析】当a=0时，得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集即为原不等式的解集；当a≠0时，把原不等式的左边分解因式，然后分4种情况考虑：a小于0，a大于0小于1，a大于1和a等于1时，分别利用求不等式解集的方法求出原不等式的解集即可．‎ ‎【解答】解：当a=0时，不等式的解为{x|x＞1}；‎ 当a≠0时，分解因式a（x﹣）（x﹣1）＜0‎ 当a＜0时，原不等式整理得：x2﹣x+＞0，即（x﹣）（x﹣1）＞0，‎ 不等式的解为{x|x＞1或x＜}；‎ 当0＜a＜1时，1＜，不等式的解为{x|1＜x＜}；‎ 当a＞1时，＜1，不等式的解为{x|＜x＜1}；‎ 当a=1时，不等式的解为∅．‎ ‎【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）（2015•湖北）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式 ‎（2）当d＞1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；‎ ‎（2）当d＞1时，由（1）知cn=，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，‎ 解得，或，‎ 当时，an=2n﹣1，bn=2n﹣1；‎ 当时，an=（2n+79），bn=9•；‎ ‎（2）当d＞1时，由（1）知an=2n﹣1，bn=2n﹣1，‎ ‎∴cn==，‎ ‎∴Tn=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，‎ ‎∴Tn=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，‎ ‎∴Tn=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，‎ ‎∴Tn=6﹣．‎ ‎【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．‎