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  • 2021-06-15 发布

高考数学专题复习:《抛物线》同步训练题3

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‎《抛物线》同步训练题3‎ 一、选择题 ‎1、以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心,交椭圆于点M、N,椭圆的左焦点为 ‎ F1,且直线MF1与此圆相切,则椭圆的离心率e为 ( )‎ ‎ A. B. C .2- D.-1‎ ‎2、过椭圆+=1(0)的线段AB的端点在双曲线b2x2-a2y2=a2b2的右支上, 则AB中点M的横坐标的最小值为 ‎ ‎14、设P为双曲线y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是 .‎ 三、解答题 ‎15、(12分)已知双曲线的离心率,过的直线到原点的距离是 ‎(1)求双曲线的方程;‎ ‎ (2)已知直线交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值.‎ ‎16、(14分)已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,与共线.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设M为椭圆上任意一点,且,证明为定值.‎ ‎17、(12分)已知抛物线的弦AB与直线y=1有公共点,且弦AB的中点N到y轴的距离为1,求弦AB长度的最大值,并求此直线AB所在的直线的方程.‎ ‎18、(12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点,它们在轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点.‎ ‎(1)求这三条曲线的方程;‎ ‎ (2)已知动直线过点,交抛物线于两点,是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎19、(14分)设F1、F2分别为椭圆C: =1(a>b>0)的左、右两个焦点.‎ ‎(1)若椭圆C上的点A(1,)到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;‎ ‎(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程;‎ ‎(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明.‎ ‎20、(12分)已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M(x0, y0),F是抛物线的焦点,且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列,线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N.‎ ‎ (1)求点N的坐标(用x0表示);‎ ‎(2)过点N与MN垂直的直线交抛物线于P、Q两点,若|MN|=4,求△MPQ的面积.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D;‎ ‎2、C;‎ ‎3、C;‎ ‎4、C;‎ ‎5、A;解析:由已知,直线l的方程为ay+bx-ab=0,原点到直线l的距离为c,则有,又c2=a2+b2,∴4ab=c2,两边平方,得16a2(c2-a2)=3c4,两边同除以a4,并整理,得3e4-16e2+16=0,∴e2=4或e2=.而0<a<b,得e2=>2,∴e2=4.故e=2.评述:本题考查点到直线的距离,双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大,特别是求出e后还须根据b>a进行检验.‎ ‎6、D;解析:x=化为x2+3y2=1(x>0).‎ ‎7、B;‎ ‎8、B;‎ ‎9、D ‎10、A;‎ 二、填空题 ‎11、;‎ ‎12、;解析:原方程可化为+y2=1,a2=4,b2=1,∴a=2,b=1,c=.当等腰直角三角形,设交点(x,y)(y>0)可得2-x=y,代入曲线方程得:y=∴S=×2y2=.‎ ‎13、;‎ ‎14、x2-4y2=1;解析:设P(x0,y0)∴M(x,y),∴∴2x=x0,2y=y0‎ ‎∴-4y2=1x2-4y2=1.‎ 三、解答题 ‎15、解:∵(1)原点到直线AB:的距离.‎ ‎ 故所求双曲线方程为 ‎ ‎(2)把中消去y,整理得 .‎ ‎ 设的中点是,则 ‎ ‎ 即 故所求k=±.‎ 说明:为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.‎ ‎16、本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知训,考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.‎ ‎(1)解:设椭圆方程为 则直线AB的方程为 化简得.‎ 令则 ‎ 共线,得 ‎(2)证明:由(I)知,所以椭圆可化为.‎ 在椭圆上,‎ 即 ①‎ 由(1)知 又又,代入①得 ‎ 故为定值,定值为1.‎ ‎17、解:设、,中点 当AB直线的倾斜角90°时,AB直线方程是(2分)‎ 当AB直线的倾斜角不为90°时,相减得 所以(4分)‎ 设AB直线方程为:,由于弦AB与直线y=1有公共点,故当y=1时,‎ 所以,‎ 故 ‎ ‎ 故当 ‎ ‎18、解:(Ⅰ)设抛物线方程为,将代入方程得,‎ ‎;‎ 由题意知椭圆、双曲线的焦点为;‎ 对于椭圆,;‎ 对于双曲线,‎ ‎(2)设的中点为,的方程为:,以为直径的圆交于两点,中点为 令 ‎19、解:(1)椭圆C的焦点在x轴上,由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2.又点A(1,)在椭圆上,因此=1得b2=3,于是c2=1.‎ 所以椭圆C的方程为=1,焦点F1(-1,0),F2(1,0).‎ ‎(2)设椭圆C上的动点为K(x1,y1),线段F1K的中点Q(x,y)满足:‎ ‎, 即x1=2x+1,y1=2y.‎ 因此=1.即为所求的轨迹方程.‎ ‎(3)类似的性质为:若M、N是双曲线:=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.‎ 设点M的坐标为(m,n),则点N的坐标为(-m,-n),其中=1.‎ 又设点P的坐标为(x,y),由,‎ 得kPM·kPN=,将m2-b2代入得kPM·kPN=.‎ 评述:本题考查椭圆的基本知识,求动点轨迹的常用方法.第(3)问对考生的逻辑思维能力、分析和解决问题的能力及运算能力都有较高的要求,根据提供的信息,让考生通过类比自己找到所证问题,这是高考数学命题的方向,应引起注意 ‎20、(1)设A(x1, y1)、B(x2、y2),由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得x1+x2=2x0.‎ 得线段AB垂直平分线方程:‎ 令y=0,得x=x0+4, 所以N(x0+4, 0).‎ ‎(2)由M(x0, y0) , N(x0+4, 0), |MN|=4, 得x0=2.‎ 由抛物线的对称性,可设M在第一象限,所以M(2, 4), N(6,0).‎ 直线PQ: y=x-6, 由得△MPQ的面积是64.‎

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