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- 2021-06-15 发布
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《抛物线》同步训练题3
一、选择题
1、以椭圆的右焦点F２为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为
F１，且直线ＭＦ１与此圆相切，则椭圆的离心率ｅ为 （ ）
A． B． C ．２－ D．－１
2、过椭圆+=1（0)的线段AB的端点在双曲线b2x2－a2y2=a2b2的右支上, 则AB中点M的横坐标的最小值为
14、设P为双曲线y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 ．
三、解答题
15、（12分）已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.
16、（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值．
17、（12分）已知抛物线的弦AB与直线y=1有公共点，且弦AB的中点N到y轴的距离为1，求弦AB长度的最大值，并求此直线AB所在的直线的方程．
18、（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这三条曲线的方程；
（2）已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
19、（14分）设F1、F2分别为椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.
（1）若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明．
20、（12分）已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0, y0），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N．
（1）求点N的坐标（用x0表示）；
（2）过点N与MN垂直的直线交抛物线于P、Q两点，若|MN|=4，求△MPQ的面积．
以下是答案
一、选择题
1、D；
2、C；
3、C；
4、C；
5、A；解析：由已知，直线l的方程为ay+bx－ab=0，原点到直线l的距离为c，则有，又c2=a2+b2，∴4ab=c2，两边平方，得16a2（c2－a2）=3c4，两边同除以a4，并整理，得3e4－16e2+16=0，∴e2=4或e2=.而0＜a＜b，得e2=＞2，∴e2=4.故e=2．评述：本题考查点到直线的距离，双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大，特别是求出e后还须根据b＞a进行检验.
6、D；解析：x=化为x2＋3y2＝1（x＞0）．
7、B；
8、B；
9、D
10、A；
二、填空题
11、；
12、；解析：原方程可化为＋y2＝1，a2＝4，b2＝1，∴a＝2，b＝1，c＝．当等腰直角三角形，设交点（x，y）（y＞0）可得2－x＝y，代入曲线方程得：y＝∴S＝×2y2＝．
13、；
14、x2－4y2＝1；解析：设P（x0，y0）∴M（x，y），∴∴2x＝x0，2y＝y0
∴－4y2＝1x2－4y2＝1．
三、解答题
15、解：∵（1）原点到直线AB：的距离．
故所求双曲线方程为
（2）把中消去y，整理得 .
设的中点是，则
即
故所求k=±.
说明：为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.
16、本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知训，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.
（1）解：设椭圆方程为
则直线AB的方程为
化简得.
令则
共线，得
（2）证明：由（I）知，所以椭圆可化为.
在椭圆上，
即 ①
由（1）知
又又，代入①得
故为定值，定值为1.
17、解：设、，中点
当AB直线的倾斜角90°时，AB直线方程是（2分）
当AB直线的倾斜角不为90°时，相减得
所以（4分）
设AB直线方程为：，由于弦AB与直线y=1有公共点，故当y=1时，
所以，
故
故当
18、解：（Ⅰ）设抛物线方程为，将代入方程得，
；
由题意知椭圆、双曲线的焦点为；
对于椭圆，；
对于双曲线，
（2）设的中点为，的方程为：，以为直径的圆交于两点，中点为
令
19、解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.又点A（1，）在椭圆上，因此=1得b2=3，于是c2=1.
所以椭圆C的方程为=1，焦点F1（－1，0），F2（1，0）.
（2）设椭圆C上的动点为K（x1，y1），线段F1K的中点Q（x，y）满足：
， 即x1=2x+1，y1=2y.
因此=1.即为所求的轨迹方程.
（3）类似的性质为：若M、N是双曲线：=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中=1.
又设点P的坐标为（x，y），由，
得kPM·kPN=，将m2－b2代入得kPM·kPN=.
评述：本题考查椭圆的基本知识，求动点轨迹的常用方法.第（3）问对考生的逻辑思维能力、分析和解决问题的能力及运算能力都有较高的要求，根据提供的信息，让考生通过类比自己找到所证问题，这是高考数学命题的方向，应引起注意
20、（1）设A(x1, y1)、B(x2、y2)，由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得x1+x 2=2x0．
得线段AB垂直平分线方程：
令y=0，得x=x0+4, 所以N(x0+4, 0)．
（2）由M(x0, y0) , N(x0+4, 0), |MN|=4, 得x0=2．
由抛物线的对称性，可设M在第一象限，所以M(2, 4), N(6,0)．
直线PQ: y=x－6, 由得△MPQ的面积是64．
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