高中数学选修2-1公开课课件1_4全称量词与存在量词 13页

1.4 全称量词与存在量词 P21 思考： 下列语句是命题吗？ (1) 与 (3) ， (2) 与 (4) 之间有什么关系？ (1)x>3 ； (2)2x+1 是整数； (3) 对所有的 x∈R ， x>3 ； ( 4 ) 对任意一个 x∈Z ， 2x+1是整数 。 语句 (1)(2) 不能判断真假，不是命题； 语句 (3)(4) 可以判断真假，是命题。 全称量词、全称命题定义： 短语 “ 所有的 ”“ 任意一个 ” 在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 “ ” 表示。 含有全称量词的命题，叫做全称命题。 常见的全称量词还有 “一切” “每一个” “任给” “所有的”等 。 全称命题举例： 全称命题符号记法： 命题：对任意的 n∈Z ， 2n+1 是奇数； 所有的正方形都是矩形。 通常，将含有变量 x 的语句用 p(x), q(x), r(x),… 表示，变量 x 的取值范围用 M 表示，那么， 全称命题“对 M 中任意一个 x ，有 p(x) 成立 ”可用符号简记为： 读作“对任意 x 属于 M ，有 p(x) 成立”。 解： （ 1 ）假命题； （ 2 ）真命题； （ 3 ）假命题。 例 1 判断下列全称命题的真假： （ 1 ） 所有的素数都是奇数； （ 2 ） （ 3 ）对每一个无理数 x ， x 2 也是无理数。 小 结： —— 需要对集合 M 中每个元素 x ，证明 p(x) 成立 —— 只需在集合 M 中找到一个元素 x 0 ，使得 p(x 0 ) 不成立即可 （举反例） P23 练习： 1 判断下列全称命题的真假： （ 1 ）每个指数函数都是单调函数； （ 2 ）任何实数都有算术平方根 ； （ 3 ） P22 思考： 下列语句是命题吗？ (1) 与 (3) ， (2) 与 (4) 之间有什么关系？ (1)2x+1=3 ； (2)x 能被 2 和 3 整除； (3) 存在一个 x 0 ∈R ，使 2x+1=3 ； ( 4 ) 至少有一个 x 0 ∈Z ， x 能被 2 和 3 整除。 语句 (1)(2) 不能判断真假，不是命题； 语句 (3)(4) 可以判断真假，是命题。 存在量词、特称命题定义： 短语 “ 存在一个 ”“ 至少有一个 ” 在逻辑中通常叫做存在量词， 并用符号 “ ” 表示。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。 常见的存在量词还有 “有些”“有一个” “对某个”“有的”等 。 特称命题举例： 特称命题符号记法： 命题：有的平行四边形是菱形； 有一个素数不是奇数。 通常，将含有变量 x 的语句用 p(x), q(x), r(x),… 表示，变量 x 的取值范围用 M 表示，那么， 特称命题“存在 M 中的一个 x 0 ，使 p(x 0 ) 成立 ”可用符号简记为： 读作“存在一个 x 0 属于 M ，使 p(x 0 ) 成立”。 解： （ 1 ）假命题； （ 2 ）假命题； （ 3 ）真命题。 例 2 判断下列特称命题的真假： （ 1 ）有一个实数 x 0 ，使 x 0 2 +2x 0 +3=0 ； （ 2 ）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （ 3 ）有些整数只有两个正因数。 小 结： —— 需要证明集合 M 中，使 p(x) 成立的元素 x 不存在。 —— 只需在集合 M 中找到一个元素 x 0 ，使得 p(x 0 ) 成立即可 （举例证明） P23 练 习： 2 判断下列特称命题的真假： （ 1 ） （ 2 ）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； （ 3 ） 解： （ 1 ）真命题； （ 2 ）真命题； （ 3 ）真命题。 练习 （ 2 ）存在这样的实数它的平方等于它本身。 （ 3 ）任一个实数乘以 -1 都等于它的相反数； （ 4 ）存在实数 x ， x 3 ＞ x 2 ； 3 、用符号“ ”与“ ”表达下列命题： （ 1 ）实数都能写成小数形式； 小结： 2 、全称命题的符号记法。 1 、全称量词、全称命题的定义。 3 、判断全称命题真假性的方法。 4 、存在量词、特称命题的定义。 5 、特称命题的符号记法。 6 、判断特称命题真假性的方法。 同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法： 命题 全称命题 特称命题 ① 所有的 x∈M ， p(x) 成立 ②对一切 x∈M ， p(x) 成立③对每一个 x∈M ， p(x) 成 立 ④任选一个 x∈M ， p(x) 成 立 ⑤凡 x∈M ，都有 p(x) 成立 ① 存在 x 0 ∈M ，使 p(x) 成立②至少有一个 x 0 ∈M ，使 p(x) 成立 ③对有些 x 0 ∈M ，使 p(x) 成 立 ④对某个 x 0 ∈M ，使 p(x) 成 立 ⑤有一个 x 0 ∈M ，使 p(x) 成 立 表述方法 作业 1 、 P31 第 5 题。 2 、设 a 、 b 、 c 均为非零实数，求证：方程 ax 2 +2bx+c=0 ， bx 2 +2cx+a=0 ， cx 2 +2ax+b=0 中至少有一个有实数根。