高考数学专题复习：知能优化训练必修一(2)(2) 5页

第一章1.3.3知能优化训练　必修一 一、选择题 ‎1、函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为(　　)‎ A．－10 B．－71‎ C．－15 D．－22‎ ‎2、函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　　)‎ A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 ‎3、函数y＝4x2(x－2)在x∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________．‎ ‎4、已知函数f(x)＝x3－4x＋4.求：‎ ‎(1)函数的极值；‎ ‎(2)函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．‎ ‎5、函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是(　　)‎ A．f(2)，f(3)　　　　　　　　　 B．f(3)，f(5)‎ C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)‎ ‎6、f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是(　　)‎ A．－2 B．0‎ C．2 D．4‎ ‎7、函数y＝f(x)在[a，b]上(　　)‎ A．极大值一定比极小值大 B．极大值一定是最大值 C．最大值一定是极大值 D．最大值一定大于极小值 ‎8、函数y＝x－sin x，x∈的最大值是(　　)‎ A．π－1 B.－1‎ C．π D．π＋1‎ ‎9、已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D.或－ ‎10、函数y＝的最大值为(　　)‎ A．e－1 B．e C．e2 D. 二、填空题 ‎11、函数y＝xex的最小值为________．‎ ‎12、已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．‎ ‎13、函数f(x)＝ax4－4ax2＋b(a>0,1≤x≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a＝________，b＝________.‎ 三、解答题 ‎14、已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.‎ ‎(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值和最小值．‎ ‎15、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，x＝2是f(x)的一个极值点，求：‎ ‎(1)实数a的值；‎ ‎(2)f(x)在区间[－1,3]上的最大值和最小值．‎ ‎16、设f(x)＝，其中a为正实数．‎ ‎(1)当a＝时，求f(x)的极值点；‎ ‎(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、解析：选B.f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．‎ 由f′(x)＝0得x＝3，－1.‎ 又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，‎ f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.‎ 由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，‎ ‎∴f(x)min＝k－76＝－71.‎ ‎2、 解析：选D.f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.‎ ‎3、－64　0‎ ‎ 解析：由y′＝12x2－16x＝0，得x＝0或x＝.‎ 当x＝0时，y＝0；当x＝时，y＝－；‎ 当x＝－2时，y＝－64；当x＝2时，y＝0.‎ 比较可知ymax＝0，ymin＝－64.‎ ‎4、解：(1)f′(x)＝x2－4，解方程x2－4＝0，‎ 得x1＝－2，x2＝2.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－2)‎ ‎－2‎ ‎(－2,2)‎ ‎2‎ ‎(2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ↗‎ ↘‎ ‎－ ‎↗ 从上表可看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为；而当x＝2时，函数有极小值，且极小值为－.‎ ‎(2)f(－3)＝×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，‎ f(4)＝×43－4×4＋4＝，‎ 与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是，最小值是－.‎ ‎5、解析：选B.∵f′(x)＝－2x＋4，‎ ‎∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，‎ 故f(x)在[3,5]上单调递减，‎ 故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．‎ ‎6、解析：选C.f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或x＝2(舍去)，‎ 当－1≤x<0时，f′(x)>0，当00，则函数y在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.‎ ‎9、解析：选C.当a≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1e时，y′<0；当x0.‎ y极大值＝f(e)＝，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝.‎ 二、填空题 ‎11、－ 解析：令y′＝(x＋1)ex＝0，得x＝－1.‎ 当x<－1时，y′<0；当x>－1时，y′>0.‎ ‎∴ymin＝f(－1)＝－.‎ ‎12、[－4，－2]‎ 解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.‎ 由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．‎ ‎13、2　3‎ 解析：y′＝4ax3－8ax＝4ax(x2－2)＝0，‎ x1＝0，x2＝，x3＝－，‎ 又f(1)＝a－4a＋b＝b－3a，f(2)＝16a－16a＋b＝b，‎ f()＝b－4a，f(0)＝b，f(－)＝b－4a.‎ ‎∴∴a＝2.‎ 三、解答题 ‎14、解：(1)令f′(x)＝3x2－2ax＋3＞0，‎ ‎∴a＜min＝3(当x＝1时取最小值)．‎ ‎∵x≥1，‎ ‎∴a＜3，a＝3时亦符合题意，‎ ‎∴a≤3.‎ ‎(2)f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，‎ ‎∴a＝5，f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3.‎ 令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝(舍去)．‎ 当1＜x＜3时，f′(x)＜0，当3＜x＜5时，f′(x)＞0，‎ 即当x＝3时，f(x)的极小值f(3)＝－9.‎ 又f(1)＝－1，f(5)＝15，‎ ‎∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，‎ 最大值是f(5)＝15.‎ ‎15、解：(1)∵f(x)在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0.‎ ‎∵f′(x)＝3x2＋2ax，‎ ‎∴3×4＋4a＝0，∴a＝－3.‎ ‎(2)由(1)知a＝－3，‎ ‎∴f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x.‎ 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.‎ 当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎－1‎ ‎(－1,0)‎ ‎0‎ ‎(0,2)‎ ‎2‎ ‎(2,3)‎ ‎3‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎－2‎ ↗‎ ‎2‎ ↘‎ ‎－2‎ ‎↗ ‎2‎ 从上表可知f(x)在区间[－1,3]上的最大值是2，最小值是－2.‎ ‎16、解：对f(x)求导得f′(x)＝ex.①‎ ‎(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，‎ 解得x1＝，x2＝.结合①，可知 x ‎(－∞，)‎ ‎(，)‎ ‎(，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ↗‎ 极大值 ↘‎ 极小值 ↗‎ 所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．‎ ‎(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知1＋ax2－2ax≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0