2021高考数学大一轮复习单元质检五平面向量数系的扩充与复数的引入理新人教A版 6页

单元质检五　平面向量、数系的扩充与复数的引入 ‎(时间:45分钟　满分:100分)‎ ‎　单元质检卷第10页　 ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)‎ ‎1.(2019河北衡水高三下学期大联考)已知i为虚数单位,复数‎1+ai‎2-i是纯虚数,则实数a等于(　　)‎ A.2 B.‎‎1‎‎2‎ C.-2 D.-‎‎1‎‎2‎ 答案:A 解析:‎1+ai‎2-i‎=‎(1+ai)(2+i)‎‎5‎=‎2-a‎5‎+‎‎2a+1‎‎5‎i,‎ 由题意,得‎2-a‎5‎‎=0,‎‎2a+1‎‎5‎‎≠0,‎解得a=2.‎ ‎2.(2019广东深圳高三二调)在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,F为AE的中点.设AB=a,AD=b,则FB=(　　)‎ A.-‎3‎‎4‎a+‎1‎‎2‎b B.‎1‎‎2‎a+‎3‎‎4‎b C.‎1‎‎2‎a-‎3‎‎4‎b D.‎3‎‎4‎a-‎1‎‎2‎b 答案:D 解析:　FB‎=AB-AF=AB-‎1‎‎2‎AE=AB-‎1‎‎2‎AD‎+‎‎1‎‎2‎AB=‎3‎‎4‎AB-‎1‎‎2‎AD=‎‎3‎‎4‎a-‎1‎‎2‎b.‎ ‎3.(2019广东汕头二模)已知向量a,b的夹角为π‎2‎,且a=(2,-1),|b|=2,则|a+2b|=(　　)‎ A.2‎3‎ B.3 C.‎21‎ D.‎‎41‎ 答案:C 解析:∵|a+2b|2=(a+2b)2=a2+2a·b+4b2=|a|2+2a·b+4|b|2=5+4×4=21,∴|a+2b|=‎21‎.‎ ‎4.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则BD‎·‎CD=(　　)‎ 6‎ A.-‎3‎‎2‎a2 B.-‎3‎‎4‎a2 ‎ C.‎3‎‎4‎a2 D.‎3‎‎2‎a2‎ 答案:D 解析:如图,设BA=a,BC=b,‎ 则BD‎·‎CD=(BA‎+‎BC)·BA=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+‎1‎‎2‎a2=‎3‎‎2‎a2.‎ ‎5.已知复数z=a+a+i‎3-i(a∈R,i为虚数单位),若复数z的共轭复数的虚部为-‎1‎‎2‎,则复数z在复平面内对应的点位于(　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:A 解析:由题意,得z=a+a+i‎3-i=a+‎(a+i)(3+i)‎‎(3-i)(3+i)‎‎=‎13a-1‎‎10‎+‎‎(a+3)i‎10‎,‎ ‎∴z‎=‎13a-1‎‎10‎-‎‎(a+3)i‎10‎.‎ 又复数z的共轭复数的虚部为-‎1‎‎2‎,‎ ‎∴-a+3‎‎10‎=-‎1‎‎2‎,解得a=2.‎ ‎∴z=‎5‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎i,∴复数z在复平面内对应的点位于第一象限.‎ ‎6.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上存在一点P使AP‎·‎BP有最小值,则点P的坐标是(　　)‎ A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)‎ 答案:C 解析:设点P坐标为(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),‎ AP‎·‎BP‎=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.‎ 当x=3时,AP‎·‎BP有最小值1.‎ 6‎ 故点P坐标为(3,0).‎ ‎7.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ为实数,(b+λa)⊥c,则λ的值为(　　)‎ A.-‎3‎‎11‎ B.-‎11‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎3‎‎5‎ 答案:A 解析:由题意,得b+λa=(1,0)+λ(1,2)=(1+λ,2λ).‎ 因为c=(3,4),(b+λa)⊥c,‎ 所以(b+λa)·c=0,‎ 即(1+λ,2λ)·(3,4)=3+3λ+8λ=0,‎ 解得λ=-‎3‎‎11‎,故选A.‎ ‎8.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且向量a,b的夹角为π‎4‎.若a-λb与b垂直,则实数λ的值为(　　)‎ A.-‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎2‎ C.-‎2‎‎4‎ D.‎‎2‎‎4‎ 答案:D 解析:因为a-λb与b垂直,且a·b=1×2×cosπ‎4‎‎=‎‎2‎,所以(a-λb)·b=‎2‎-4λ=0,解得λ=‎2‎‎4‎,故选D.‎ ‎9.(2019广东深圳高三适应性考试)在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,AP‎=‎1‎‎3‎AB,AQ=‎‎1‎‎2‎AD,若CP‎·‎CQ=12,则∠ADC=(　　)‎ A.‎5π‎6‎ B.‎3π‎4‎ C.‎2π‎3‎ D.‎π‎2‎ 答案:C 解析:因为CP‎=BP-‎BC=-‎2‎‎3‎AB‎-AD,CQ=DQ-‎DC=-‎1‎‎2‎AD‎-‎AB,所以CP‎·CQ=‎‎-‎2‎‎3‎AB-‎AD·-‎1‎‎2‎AD‎-‎AB=‎2‎‎3‎×9+‎4‎‎3‎×3×2cos∠BAD+‎1‎‎2‎×4=8+8cos∠BAD=12,所以cos∠BAD=‎1‎‎2‎,∠BAD=π‎3‎,∠ADC=‎2π‎3‎.‎ ‎10.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=(‎2‎cos α,‎2‎sin α),则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是(　　)‎ 6‎ A.‎0,‎π‎4‎ B.π‎4‎‎,‎‎5π‎12‎ ‎ C.‎5π‎12‎‎,‎π‎2‎ D.‎π‎12‎‎,‎‎5π‎12‎ 答案:D 解析:由题意,得OA‎=OC+‎CA=(2+‎2‎cosα,2+‎2‎sinα),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,‎ 如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量OA与向量OB的夹角分别达到最大值和最小值,故选D.‎ ‎11.已知|OA|=|OB|=2,点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,则|OA-tOB|(t∈R)的最小值为(　　)‎ A.‎2‎ B.‎‎3‎ C.2 D.‎‎5‎ 答案:B 解析:依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上;由点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,∠AOB=180°-2×30°=120°,(OA-tOB)2=4+4t2-2t×22cos120°=4t2+4t+4=4t+‎‎1‎‎2‎‎2‎+3的最小值为3,因此|OA-tOB|的最小值为‎3‎.‎ ‎12.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,且a·b=1.若e为平面单位向量,则(a+b)·e的最大值为(　　)‎ A.‎6‎ B.6 C.‎7‎ D.7‎ 答案:C 解析:(a+b)·e=a·e+b·e≤|a·e|+|b·e|=a·e‎|e|‎‎+‎b·e‎|e|‎,其几何意义为a在e方向上的投影的绝对值与b在e方向上的投影的绝对值的和,当e与a+b共线时,取得最大值,(|a·e|+|b·e|)max=|a+b|=‎|a‎|‎‎2‎+|b‎|‎‎2‎+2a·b‎=‎‎7‎,则(a+b)·e的最大值为‎7‎,故选C.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)‎ ‎13.(2019浙江,11)复数z=‎1‎‎1+i(i为虚数单位),则|z|=　　　　. ‎ 答案:‎‎2‎‎2‎ 6‎ 解析:|z|=‎1‎‎|1+i|‎‎=‎1‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎.‎ ‎14.(2019广西崇左天等高级中学高三模拟)已知两个单位向量a和b的夹角为120°,则a+b在b方向上的投影为　　　　　. ‎ 答案:‎‎1‎‎2‎ 解析:设向量a+b与b的夹角为θ.‎ 因为(a+b)·b=a·b+b2=‎1‎‎2‎,所以|a+b|cosθ=‎(a+b)·b‎|b|‎‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎15.已知正方形ABCD的边长为1,P为正方形ABCD内一点,则(PA‎+‎PB)·(PC‎+‎PD)的最小值为　　　　　. ‎ 答案:-1‎ 解析:如图,建立平面直角坐标系.‎ 则A(0,1),B(0,0),C(1,0),D(1,1).‎ 设P(x,y),则PA=(-x,1-y),PB=(-x,-y),PC=(1-x,-y),PD=(1-x,1-y),(PA‎+‎PB)·(PC‎+‎PD)=(-2x,1-2y)·[2(1-x),1-2y]=(1-2y)2-4(1-x)x=(1-2y)2+(2x-1)2=1,‎ 当x=‎1‎‎2‎,y=‎1‎‎2‎时,(PA‎+‎PB)·(PC‎+‎PD)有最小值,且最小值为-1.‎ ‎16.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=‎1-‎x‎2‎上的一个动点,则BP‎·‎BA的取值范围是　　　　　　　. ‎ 答案:[0,‎2‎+1]‎ 解析:如图,画出函数y=‎1-‎x‎2‎的图象.‎ 6‎ 这是以O(0,0)为圆心,以1为半径的一个半圆.不妨用虚线把这个半圆补充为一个圆.‎ 设BP与BA的夹角为θ,则θ∈‎0,‎π‎2‎.‎ 当θ∈‎0,‎π‎4‎时,cosπ‎4‎‎-θ‎=‎‎|BP|‎‎2‎,当θ∈π‎4‎‎,‎π‎2‎时,cosθ-‎π‎4‎‎=‎‎|BP|‎‎2‎.‎ 因为y=cosx,x∈R是偶函数,‎ 所以|BP|=2cosθ-‎π‎4‎,θ∈‎0,‎π‎2‎.‎ BP‎·‎BA‎=|BP||BA|cosθ ‎=2‎2‎cosθ-‎π‎4‎cosθ=2cos2θ+2sinθcosθ ‎=sin2θ+cos2θ+1=‎2‎sin‎2θ+‎π‎4‎+1.‎ 因为θ∈‎0,‎π‎2‎,所以2θ+π‎4‎‎∈‎π‎4‎‎,‎‎5π‎4‎.‎ 当2θ+π‎4‎‎=‎π‎2‎,即θ=π‎8‎时,BP‎·‎BA取最大值‎2‎+1,‎ 当2θ+π‎4‎‎=‎‎5π‎4‎,即θ=π‎2‎时,BP‎·‎BA取最小值0,‎ 所以BP‎·‎BA的取值范围是[0,‎2‎+1].‎ 6‎