数学文卷·2017届河北省武邑中学高三上学期第五次调研考试（2017 9页

河北省武邑中学2017届高三上学期第五次调研考试 ‎ 数学试题（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合或，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知命题，“为真”是“为假”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.已知等比数列的公比为正数，且，，则（ ）‎ A． B． C． D． 2‎ ‎4.以下四个命题中是真命题的是（ ）‎ A．对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越大； ‎ B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0； ‎ C.若数据的方差为1，则的方差为2； ‎ D．在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好.‎ ‎5.双曲线的离心率，则它的渐近线方程为（ ） ‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知中，上一点满足，若，则（ ）‎ A． B．3 C. D．2‎ ‎7.函数的图象大致形状是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.设变量满足，则的最大值为（ ）‎ A．8 B．3 C. D．‎ ‎9.已知抛物线上一点到焦点的距离与其到对称轴的距离之比为5:4，且，则点到原点的距离为（ ）‎ A．3 B．4 C. D．‎ ‎10.某港口水的深度是时间（，单位：）的函数，记作.下面是某日水深的数据：‎ 经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图象.一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为或以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水程度（船底离水面的距离）为，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留（ ）小时（忽略进出港所需的时间）.‎ A．6 B．12 C.16 D．18‎ ‎11.一块边长为的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数，.若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设函数，则 ．‎ ‎14.我国南北朝时代的数学家组暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比组暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数取上的任意值时，直线被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为 ．‎ ‎15.已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，，则球的表面积为 ．‎ ‎16.已知三边上的高分别为，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 已知数列满足，是等差数列，且，.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 在中，，，分别为角，，的对边，为边的中点，，．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售.该店统计了近10天的饮品销量，如图所示：设为每天饮品的销量，为该店每天的利润.‎ ‎（1）求关于的表达式；‎ ‎（2）从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，为的中点，且.‎ ‎（1）过点作一条射线，使得，求证：平面平面；‎ ‎（2）若点为线段上一点，且平面，求四棱锥的体积.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于长轴的弦长为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）点为椭圆的长轴上的一个动点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，证明为定值.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知函数的最大值为.‎ ‎（1）若，试比较与的大小；‎ ‎（2）是否存在非零实数，使得对恒成立，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 数学试题（文科）答案 一、选择题 ‎1-5:AACDB 6-10:DBAAC 11、12:DB 二、填空题 ‎13. 2 14.8 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1），，两式相减可得，∴.‎ 当时，，∴，所以是以1 为首项，2为公比的等差数列，‎ 所以，，，∴.‎ ‎18.解：（1），，，‎ 由余弦定理，得，‎ 所以.‎ 又，所以，‎ 由正弦定理，得，得.‎ ‎（2）以为邻边作如图所示的平行四边形，如图，‎ 则，‎ ‎，在中，得，‎ 即，解得，即，‎ 所以.‎ ‎19.解：（1）.‎ ‎（2）由（1）可知，日销售量不少于20杯时，日利润不少于96元.日销售量为20倍时，日利润为96元，日销售量为21杯时，日利润为97元.从条形图可以看出，销量为20杯的有3天，销量为21杯的有2天.‎ 销量为20杯的有3天，记为，销量为21杯的有2天，记为，从这5天中任取2天，包括，共10种情况.‎ 其中选出的2天销量为21天的情况只有1种，故其概率为.‎ ‎20.解：（1）证明：在矩形中，连线和交于点，连接，则是的中点，由于是的中点，所以是的中位线，则，‎ 又平面，平面，所以平面，‎ 又，同理得平面，‎ 因为，所以平面平面.‎ ‎（2）∵平面，∴.‎ 在中，∵，，∴，‎ ‎∴，∴，∴.‎ 过作交于，则.‎ ‎∵底面，∴底面，‎ ‎∴.‎ ‎21.解：（1）由，可得椭圆方程.‎ ‎（2）设的方程为，代入并整理得：‎ ‎.‎ 设，，则，‎ 同理.‎ 则 ‎.‎ 所以，是定值.‎ ‎22.解：（1）.‎ 令，得，令，得，故函数在上单调递增，在上单调递减，故.‎ 当时，，∴，∴；‎ 当时，，∴，∴.‎ ‎（2）由（1）知，∴.‎ 设，∴，令，解得.‎ 当时，令，得；令，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 故当时，不满足对恒成立；‎ 当时，同理可得，解得.‎ 故存在非零实数，且的取值范围为.‎