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- 2021-06-15 发布
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课时分层训练(四十七) 圆的方程
A组 基础达标
(建议用时:30分钟)
一、选择题
1.(2017·福建漳州模拟)圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为( )
A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y-2)2=1
C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+(y+2)2=1
A [(1,2)关于直线y=x对称的点为(2,1),∴圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.]
2.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为( )
A.2 B.
C.1 D.
D [圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=2,则圆心坐标为(1,-2).
故圆心到直线x-y-1=0的距离d==.]
3.(2017·山西运城二模)已知圆(x-2)2+(y+1)2=16的一条直径通过直线x-2y+3=0被圆所截弦的中点,则该直径所在的直线方程为( )
A.3x+y-5=0 B.x-2y=0
C.x-2y+4=0 D.2x+y-3=0
D [易知圆心坐标为(2,-1).
由于直线x-2y+3=0的斜率为,
∴该直径所在直线的斜率k=-2.
故所求直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.]
4.经过原点并且与直线x+y-2=0相切于点(2,0)的圆的标准方程是( )
A.(x-1)2+(y+1)2=2 B.(x+1)2+(y-1)2=2
C.(x-1)2+(y+1)2=4 D.(x+1)2+(y-1)2=4
A [设所求圆的圆心为(a,b).
依题意(a-2)2+b2=a2+b2,①
=1,②
解①②得a=1,b=-1,
则半径r==,
∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.]
5.(2017·重庆四校模拟)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为( )
A.6 B.4
C.3 D.2
B [如图所示,圆心M(3,-1)与直线x=-3的最短距离为|MQ|=3-(-3)=6,又圆的半径为2,故所求最短距离为6-2=4.]
二、填空题
6.(2016·浙江高考)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.
(-2,-4) 5 [由二元二次方程表示圆的条件可得a2=a+2,解得a=2或-1.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0,配方得2+(y+1)2=-<0,不表示圆;
当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,则圆心坐标为(-2,-4),半径是5.]
7.已知点M(1,0)是圆C:x2+y2-4x-2y=0内的一点,那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.
【导学号:01772294】
x+y-1=0 [圆C:x2+y2-4x-2y=0的圆心为C(2,1),
则kCM==1.
∵过点M的最短弦与CM垂直,∴最短弦所在直线的方程为y-0=-1(x-1),即x+y-1=0.]
8.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为__________.
【导学号:01772295】
(x-1)2+y2=2 [因为直线mx-y-2m-1=0恒过定点(2,-1),所以圆心(1,0)到直线mx-y-2m-1=0的最大距离为d==,所以半径最大时的半径r=,所以半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.]
三、解答题
9.已知直线l:y=x+m,m∈R,若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P,且点P在y轴上,求该圆的方程.
【导学号:01772296】
[解] 法一:依题意,点P的坐标为(0,m),2分
因为MP⊥l,所以×1=-1,5分
解得m=2,即点P的坐标为(0,2),8分
圆的半径r=|MP|==2,
故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.12分
法二:设所求圆的半径为r,则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2,2分
依题意,所求圆与直线l:x-y+m=0相切于点P(0,m),
则6分
解得10分
所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.12分
10.(2015·广东高考改编)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
(1)求圆C1的圆心坐标;
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.
[解] (1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,2分
所以圆C1的圆心坐标为(3,0).5分
(2)设M(x,y),依题意·=0,
所以(x-3,y)·(x,y)=0,则x2-3x+y2=0,
所以2+y2=.7分
又原点O(0,0)在圆C1外,
因此中点M的轨迹是圆C与圆C1相交落在圆C1内的一段圆弧.
由消去y2得x=,
因此<x≤3.10分
所以线段AB的中点M的轨迹方程为2+y2=.12分
B组 能力提升
(建议用时:15分钟)
1.(2017·佛山模拟)设P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为( )
A.6 B.25
C.26 D.36
D [(x-5)2+(y+4)2表示点P(x,y)到点(5,-4)的距离的平方.点(5,-4)到圆心(2,0)的距离d==5.
则点P(x,y)到点(5,-4)的距离最大值为6,从而(x-5)2+(y+4)2的最大值为36.]
2.已知平面区域恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为________.
(x-2)2+(y-1)2=5 [由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆.
∵△OPQ为直角三角形,
∴圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r==,
因此圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.]
3.已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
【导学号:01772297】
(1)求圆C的方程;
(2)设Q为圆C上的一个动点,求·的最小值.
[解] (1)设圆心C(a,b),
由已知得M(-2,-2),
则解得2分
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2.5分
(2)设Q(x,y),则x2+y2=2,
·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)
=x2+y2+x+y-4=x+y-2. 8分
令x=cos θ,y=sin θ,
所以·=x+y-2
=(sin θ+cos θ)-2
=2sin-2,
所以·的最小值为-4. 12分