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  • 2021-06-15 发布

专题41 直线、平面垂直的判定及其性质(押题专练)-2018年高考数学(文)一轮复习精品资料

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‎1.设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是(  )‎ A.a⊥α,b∥β,α⊥β     B.a⊥α,b⊥β,α∥β C.a⊂α,b⊥β,α∥β D.a⊂α,b∥β,α⊥β 解析:选C.∵b⊥β,α∥β,∴b⊥α.又∵a⊂α,∴b⊥a.故选C。‎ ‎2.如图所示,O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中点,则下列直线中与B1O垂直的是(  )‎ A.A1D B.AA1‎ C.A1D1 D.A1C1‎ 解析:选D。由题意知,A1C1⊥平面DD1B1B,又OB1⊂面DD1B1B,所以A1C1⊥OB1。‎ ‎3.在如图所示的四个正方体中,能得出AB⊥CD的是(  )‎ ‎4.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则(  )‎ A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l 解析:选D.根据所给的已知条件作图,如图所示。‎ 由图可知α与β相交,且交线平行于l.‎ ‎5.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2),则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是(  )‎ A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.异面且垂直 D.异面但不垂直 ‎6.设l为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是(  )‎ A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β C.若l⊥α,l∥β,则α∥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β 解析:选B.对于选项A,若l∥α,l∥β,则α和β可能平行也可能相交,故错误;对于选项B,若l⊥α,l⊥β,则α∥β,故B正确;对于选项C,若l⊥α,l∥β,则α⊥β,故C错误;‎ 对于选项D,若α⊥β,l∥α,则l与β的位置关系有三种可能:l⊥β,l∥β,l⊂β,故D错误.故选B。‎ ‎7.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题正确的是(  )‎ A.m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n B.m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n C.m⊥α,m⊥n,n⊂β,则α⊥β D.m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β 解析:选B。m与n的位置关系为平行,异面或相交,∴A错误;根据面面垂直的性质可知B正确;由题中的条件无法推出α⊥β,∴C错误;只有当m与n相交时,结论才成立,∴D错误.故选B。‎ ‎8.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:‎ ‎①若m⊂α,n∥α,则m∥n;‎ ‎②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;‎ ‎③若α∩β=n,m∥n,则m∥α,且m∥β;‎ ‎④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.‎ 其中真命题的个数为(  )‎ A.0         B.1‎ C.2 D.3‎ 解析:选B.①m∥n或m,n异面,故①错误;②根据面面平行的性质以及线面垂直的性质可知②正确;③m∥α或m⊂α,m∥β或m⊂β,故③错误;④根据面面垂直的性质以及面面平行的判定可知④错误,所以真命题的个数为1,故选B.‎ ‎9.如图,在三棱锥PABC中,不能证明AP⊥BC的条件是(  )‎ A.AP⊥PB,AP⊥PC B.AP⊥PB,BC⊥PB C.平面BPC⊥平面APC,BC⊥PC D.AP⊥平面PBC ‎10.如图所示,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,下列说法正确的是________(填上所有正确的序号).‎ ‎①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC;‎ ‎②不论D折至何位置都有MN⊥AE;‎ ‎③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.‎ 解析:取AE的中点F,连接MF,NF,则MF∥DE,NF∥AB∥CE,‎ 从而平面MFN∥平面DEC,故MN∥平面DEC,①正确;‎ 又AE⊥MF,AE⊥NF,所以AE⊥平面MFN,从而AE⊥MN,②正确;‎ 又MN与AB是异面直线,则③错误.‎ 答案:①②‎ ‎11.假设平面α∩平面β=EF,AB⊥α,CD⊥β,垂足分别为B,D,如果增加一个条件,就能推出BD⊥EF,现有下面四个条件:‎ ‎①AC⊥α;②AC与α,β所成的角相等;③AC与BD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.‎ 其中能成为增加条件的是________.(把你认为正确的条件序号都填上)‎ 解析:如果AB与CD在一个平面内,可以推出EF垂直于该平面,又BD在该平面内,所以BD⊥EF,故要证BD⊥EF,只需AB,CD在一个平面内即可,只有①③能保证这一条件.‎ 答案:①③‎ ‎12.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α∥β;②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行,则l∥α;③设α∩β=l,若α内有一条直线垂直于l,则α⊥β;④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直.其中所有的真命题的序号是________.‎ 答案:①②‎ ‎13.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PD,∠BAD=60°,E是AD的中点,点Q在侧棱PC上.‎ ‎(1)求证:AD⊥平面PBE;‎ ‎(2)若Q是PC的中点,求证:PA∥平面BDQ;‎ ‎(3)若VPBCDE=2VQABCD,试求的值.‎ 解:(1)证明:由E是AD的中点,PA=PD可得AD⊥PE.‎ 又底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,‎ 所以AB=BD,又E是AD的中点,所以AD⊥BE,‎ 又PE∩BE=E,所以AD⊥平面PBE.‎ ‎(2)证明:连接AC,交BD于点O,连接OQ.(图略),‎ 因为O是AC的中点,‎ Q是PC的中点,所以OQ∥PA,‎ 又PA⊄平面BDQ,OQ⊂平面BDQ,所以PA∥平面BDQ.‎ ‎(3)设四棱锥PBCDE,QABCD的高分别为h1,h2.‎ 所以VPBCDE=S四边形BCDEh1,‎ VQABCD=S四边形ABCDh2.‎ 又VPBCDE=2VQABCD,且S四边形BCDE=S四边形ABCD,‎ ‎∴==.‎ ‎14.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,PA⊥BD.‎ ‎(1)求证:PB=PD;‎ ‎(2)若E,F分别为PC,AB的中点,EF⊥平面PCD,求三棱锥DACE的体积.‎ ‎(2)如图,设PD的中点为Q,连接AQ,EQ,EO,因为EQ綊CD=AF,‎ 所以AFEQ为平行四边形,所以EF∥AQ,因为EF⊥平面PCD,‎ 所以AQ⊥平面PCD,所以AQ⊥PD,PD的中点为Q,所以AP=AD=.‎ 由AQ⊥平面PCD,可得AQ⊥CD,又AD⊥CD,AQ∩AD=A,‎ 所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PA,又BD⊥PA,BD∩CD=D,‎ 所以PA⊥平面ABCD.‎ 故VDACE=VEACD=×PA×S△ACD=×××××=,‎ 故三棱锥DACE的体积为.‎ ‎15.如图,四边形ABCD为正方形,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=4,AE=2,EF=1.‎ ‎(1)求证:BC⊥AF;‎ ‎(2)若点M在线段AC上,且满足CM=CA,求证:EM∥平面FBC;‎ ‎(3)试判断直线AF与平面EBC是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.‎ 因为CM=AC,所以MN=AB.又EF∥AB且EF=AB,所以EF綊MN,‎ 所以四边形EFNM为平行四边形,所以EM∥FN.‎ 又FN⊂平面FBC,EM⊄平面FBC,所以EM∥平面FBC.‎ ‎(3)直线AF垂直于平面EBC.‎ 证明如下:由(1)可知,AF⊥BC.‎ 在四边形ABFE中,AB=4,AE=2,EF=1,∠BAE=∠AEF=90°,‎ 所以tan∠EBA=tan∠FAE=,则∠EBA=∠FAE.‎ 设AF∩BE=P,因为∠PAE+∠PAB=90°,所以∠PBA+∠PAB=90°,则∠APB=90°,即EB⊥AF.又EB∩BC=B,所以AF⊥平面EBC.‎

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