数学卷·2018届湖北省荆州中学高二下学期3月段考数学试卷（理科） （解析版） 25页

‎2016-2017学年湖北省荆州中学高二（下）3月段考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．双曲线的焦点到其渐近线的距离是（　　）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎2．向量=（1，2，x），=（2，y，﹣1），若||=，且⊥，则x+y的值为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1‎ ‎3．下列选项中，说法正确的是（　　）‎ A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题 B．命题“若=﹣，则||=||”的否命题是真命题 C．x=1是的必要不充分条件 D．ab＞1是a＞1且b＞1的必要不充分条件 ‎4．在6双不同颜色的手套中任取5只，其中恰好2只为同一双的取法共有（　　）种．‎ A．360 B．480 C．1440 D．2880‎ ‎5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎6．如图，已知二面角α﹣l﹣β为60°，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，且AC=2，CD=3，DB=1，则AB的长度为（　　）‎ A．4 B．2 C．3 D． ‎ ‎7．一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，1），（1，0，0），（2，2，0），（2，0，0），画该三棱锥三视图的俯视图时，从x轴的正方向向负方向看为正视方向，从z轴的正方向向负方向看为俯视方向，以xOy平面为投影面，则得到俯视图可以为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在区间[0，1]上随机地选择三个数a，b，c，则不等式“a2+b2+c2≤1”成立的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（　　）‎ A．720种 B．520种 C．600种 D．360种 ‎10．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线x=﹣1的距离之和的最小值是（　　）‎ A．5 B．8 C． D．‎ ‎11．设a、b、m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余．记为a≡b（bmodm）．已知，b≡a（bmod10），则b的值可以是（　　）‎ A．2015 B．2011 C．2008 D．2006‎ ‎12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E，F，G分别是线段B1B，AB和A1C上的动点，观察直线CE与D1F，CE与D1G．给出下列结论：‎ ‎①对于任意给定的点E，存在点F，使得D1F⊥CE；‎ ‎②对于任意给定的点F，存在点E，使得CE⊥D1F；‎ ‎③对于任意给定的点E，存在点G，使得D1G⊥CE；‎ ‎④对于任意给定的点G，存在点E，使得CE⊥D1G．‎ 其中正确结论的序号是（　　）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分）‎ ‎13．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位上升1米后，水面宽　　米．‎ ‎14．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，，∠A1AD=∠A1AB=120°，则对角线BD1的长度为　　．‎ ‎15．已知，则a9等于　　．‎ ‎16．已知平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB=1，AD=CD=2．ADEF是正方形，在正方形ADEF内部有一点M，满足MB，MC与平面ADEF所成的角相等，则点M的轨迹长度为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分）‎ ‎17．已知p：“∀k∈R，直线y=kx+1与椭圆x2+=1有两个不同的公共点”；q：“∃x0∈R，不等式4x0﹣2x0﹣a≤0成立”；若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．已知（n∈N*）展开式中二项式系数和为256．‎ ‎（1）此展开式中有没有常数项？有理项的个数是几个？并说明理由．‎ ‎（2）求展开式中系数最小的项．‎ ‎19．某校高二（22）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：‎ 试根据图表中的信息解答下列问题：‎ ‎（I）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；‎ ‎（II）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3份进行交流，若在交流的试卷中，成绩位于[70，80）分数段的份数为ξ，求ξ的分布列．‎ ‎20．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．‎ ‎（1）求证：AD⊥BM；‎ ‎（2）求DC与平面ADM所成的角的正弦值；‎ ‎（3）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．‎ ‎21．如图，椭圆C：（a＞b＞0）的离心率是，点E（，）在椭圆上，设点A1，B1分别是椭圆的右顶点和上顶点，过点A1，B1引椭圆C的两条弦A1E、B1F．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）若直线A1E与B1F的斜率是互为相反数．‎ ‎（i）直线EF的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由；‎ ‎（ii）设△A1EF、△B1EF的面积分别为S1和S2，求S1+S2的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．‎ ‎（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎（2）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省荆州中学高二（下）3月段考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．双曲线的焦点到其渐近线的距离是（　　）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点坐标以及渐近线方程，进而由点到直线的距离公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，‎ 其焦点在x轴上，且c==3，则其焦点坐标为（±3，0），‎ 其渐近线方程为：y=±x，即x±2y=0，‎ 其焦点到其渐近线的距离d==1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．向量=（1，2，x），=（2，y，﹣1），若||=，且⊥，则x+y的值为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】利用向量的模的计算公式、向量垂直与数量积的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：∵向量=（1，2，x），=（2，y，﹣1），||=，且⊥，‎ ‎∴， =2+2y﹣x=0，‎ 解得x=0，y=﹣1．‎ ‎∴x+y=﹣1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．下列选项中，说法正确的是（　　）‎ A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题 B．命题“若=﹣，则||=||”的否命题是真命题 C．x=1是的必要不充分条件 D．ab＞1是a＞1且b＞1的必要不充分条件 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A，当m=0时，若a＜b，不能得到am2＜bm2；‎ B，若≠﹣时，则||=||”有可能成立；‎ C，x=1时，成立；‎ D，ab＞1不能得到a＞1且b＞1；a＞1且b＞1时，一定有ab＞1；‎ ‎【解答】解：对于A，当m=0时，若a＜b，不能得到am2＜bm2，故错；‎ 对于B，若≠﹣时，则||=||”有可能成立，故错；‎ 对于C，x=1时，成立．故错；‎ 对于D，ab＞1不能得到a＞1且b＞1；a＞1且b＞1时，一定有ab＞1，故正确；‎ 故选：D ‎　‎ ‎4．在6双不同颜色的手套中任取5只，其中恰好2只为同一双的取法共有（　　）种．‎ A．360 B．480 C．1440 D．2880‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】根据分步计数原理知先从6双手套中任选一双，再从其余5双手套中任选3双，每双中各选1只，有C53•23=80种，即可得到总的选法数．‎ ‎【解答】解：根据分步计数原理知 先从6双手套中任选一双有C61种取法，‎ 再从其余5双手套中任选3双，每双中各选1只，有C53•23=80种，‎ 故总的选法数为C61×80=480种．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，‎ 当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，‎ 当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，‎ 当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，‎ 故输出的n值为4，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．如图，已知二面角α﹣l﹣β为60°，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，且AC=2，CD=3，DB=1，则AB的长度为（　　）‎ A．4 B．2 C．3 D． ‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题．‎ ‎【分析】求出线段AB表示的向量与AC、CD，DB，对应的向量的关系，利用向量的数量积求解即可．‎ ‎【解答】解：∵=++，‎ ‎∴2=（++）2=+++2•+2•+2•=4+9+1+2•2•1•cos120°=12‎ ‎∴AB的长度为2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，1），（1，0，0），（2，2，0），（2，0，0），画该三棱锥三视图的俯视图时，从x轴的正方向向负方向看为正视方向，从z轴的正方向向负方向看为俯视方向，以xOy平面为投影面，则得到俯视图可以为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】作出棱锥的直观图，找出各点在xoy平面内的投影得出俯视图．‎ ‎【解答】解：作出棱锥的直观图如图所示：‎ 则A（0，0，1）在平面xoy内的投影为原点O，‎ ‎∴三棱锥的俯视图为等腰直角△OCD，其中棱BD被侧面ACD挡住，故化成虚线．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．在区间[0，1]上随机地选择三个数a，b，c，则不等式“a2+b2+c2≤1”成立的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】以体积为测度，计算相应的体积，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：依题意得，实数a、b、c满足这样的点（a，b，c）可视为在空间直角坐标系下的单位正方体区域（其中原点是该正方体的一个顶点）内的点，其中满足|OM|≤1，的点（a，b，c）可视为在空间直角坐标系下的单位正方体区域内且还在以原点为球心、1为半径的球形区域内的点，该部分的体积恰好等于该球体积的=，因此|OM|≤1的概率为=，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（　　）‎ A．720种 B．520种 C．600种 D．360种 ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，第二类：甲、乙同时参加，利用加法原理即可得出结论．‎ ‎【解答】解：分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，则不同的发言顺序有种；‎ 第二类：甲、乙同时参加，则不同的发言顺序有种．‎ 共有： +=600（种）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线x=﹣1的距离之和的最小值是（　　）‎ A．5 B．8 C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求得圆心与半径，由抛物线的定义可知：可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到直线x=﹣1距离之和的最小，利用勾股定理即可求得丨QF丨．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为E（0，4），半径为1，‎ 根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，‎ 进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到直线x=﹣1距离之和的最小为：‎ 丨QF丨=|EF|﹣r=﹣1=﹣1，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．设a、b、m为整数（m＞‎ ‎0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余．记为a≡b（bmodm）．已知，b≡a（bmod10），则b的值可以是（　　）‎ A．2015 B．2011 C．2008 D．2006‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】根据已知中a和b对模m同余的定义，结合二项式定理，我们可以求出a的个位，结合b=a（bmod10），比照四个 答案中的数字，结合得到答案．‎ ‎【解答】解：∵已知，‎ ‎∴2a=1+2+22+23+…+210=1+（1+2）10，‎ ‎∴=+（1+2）10 =．‎ 而310=95=（10﹣1）5=•105﹣•104+•103﹣•102+•10﹣1，‎ 故a==（•105﹣•104+•103﹣•102+•10）的个位为5，‎ ‎∴a除以10的余数为5．‎ 而 b≡a（bmod10），故b≡a（bmod10），故b除以10的余数为5，‎ 结合所给的选项，应选A，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E，F，G分别是线段B1B，AB和A1C上的动点，观察直线CE与D1F，CE与D1G．给出下列结论：‎ ‎①对于任意给定的点E，存在点F，使得D1F⊥CE；‎ ‎②对于任意给定的点F，存在点E，使得CE⊥D1F；‎ ‎③对于任意给定的点E，存在点G，使得D1G⊥CE；‎ ‎④对于任意给定的点G，存在点E，使得CE⊥D1G．‎ 其中正确结论的序号是（　　）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系，利用排除法能得出结论．‎ ‎【解答】解：①只有D1F⊥平面BCC1B1，即D1F⊥平面ADD1A1时，‎ 才能满足对于任意给定的点E，存在点F，使得D1F⊥CE，‎ ‎∵过D1点于平面DD1A1A垂直的直线只有一条D1C1，‎ 而D1C1∥AB，‎ ‎∴①错误；‎ ‎②当点E与B1重合时，‎ CE⊥AB，且CE⊥AD1，‎ ‎∴CE⊥平面ABD1，‎ ‎∵对于任意给定的点F，都有D1F⊂平面ABD1，‎ ‎∴对于任意给定的点F，存在点E，使得CE⊥D1F，‎ ‎∴②正确；‎ ‎③只有CE⊥D1G在平面BCC1B1中的射影时，D1G⊥CE，‎ ‎∴③正确；④只有CE⊥平面A1CD1时，④才正确，‎ ‎∵过C点的平面A1CD1的垂线与BB1无交点，‎ ‎∴④错误．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分）‎ ‎13．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位上升1米后，水面宽　2　米．‎ ‎【考点】抛物线的应用．‎ ‎【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣1代入抛物线方程求得x0进而得到答案．‎ ‎【解答】解：如图建立直角坐标系，‎ 设抛物线方程为x2=my，‎ 将A（2，﹣2）代入x2=my，‎ 得m=﹣2，‎ ‎∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣1）得x0=，‎ 故水面宽为2m．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，，∠A1AD=∠A1AB=120°，则对角线BD1的长度为　2　．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】由于平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长都为1，底面ABCD为正方形，且AA1和AB与AD的夹角都等于120°，可以推出BB1⊥BD，求出BD1即可求解结果．‎ ‎【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱长都为，底面ABCD为正方形，‎ 且AA1和AB与AD的夹角都等于120°，那么AA1在底面ABCD上的射影垂直BD，‎ 即BB1D1D是矩形，DB=，所以对角线BD1=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．已知，则a9等于　﹣20　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】由条件利用（1+x）10=（﹣1﹣x）10=[（﹣2）+（1﹣x）]10，以及二项展开式的通项公式，求得a9的值．‎ ‎【解答】解：∵（1+x）10=（﹣1﹣x）10=[（﹣2）+（1﹣x）]10，‎ ‎，‎ ‎∴a9=•（﹣2）=﹣20，‎ 故答案为：﹣20．‎ ‎　‎ ‎16．已知平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB=1，AD=CD=2．ADEF是正方形，在正方形ADEF内部有一点M，满足MB，MC与平面ADEF所成的角相等，则点M的轨迹长度为　π　．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题．‎ ‎【分析】由题意，MB，MC与平面ADEF所成的角相等，AB=1，CD=2，可得MD=2MA．以AF为x轴，AD为y轴建立坐标系，求出M的轨迹，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，MB，MC与平面ADEF所成的角相等，AB=1，CD=2，‎ ‎∴MD=2MA．‎ 以AF为x轴，AD为y轴建立坐标系，则A（0，0），D（0，2），‎ 设M（x，y）（x＞0，．y＞0），则x2+（y﹣2）2=4x2+4y2，即x2+（y+）2=，‎ 在第一象限所对的圆心角为，弧长为=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分）‎ ‎17．已知p：“∀k∈R，直线y=kx+1与椭圆x2+=1有两个不同的公共点”；q：“∃x0∈R，不等式4x0﹣2x0﹣a≤0成立”；若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】分别求出p，q为真时的a的范围，根据p，q一真一假求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：若p为真，‎ 则直线y=kx+1过的定点（0，1）必在椭圆内部，‎ 即…‎ 若q为真，则有两个相异的实数根，‎ 即；∴‎ 由p且q为假，p或q为真得：或…‎ ‎∴实数a的取值范围是．…‎ ‎　‎ ‎18．已知（n∈N*）展开式中二项式系数和为256．‎ ‎（1）此展开式中有没有常数项？有理项的个数是几个？并说明理由．‎ ‎（2）求展开式中系数最小的项．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】（1）先根据所给的二项式系数之和为256，得到n的值，写出二项式的通项，因为要求常数项，所以使得通项式的x的指数是0，然后看是否存在r满足条件，有理项的求解使得通项式的x的指数是整数即可；‎ ‎（2）先求展开式中第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值，然后假设第r+1项的系数绝对值最大，建立关系式，解之即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，二项式系数和为2n=256，解得n=8，‎ 通项，‎ 若Tr+1为常数项，当且仅当，即5r=8，且r∈Z，这是不可能的，‎ ‎∴展开式中不含常数项．‎ 若Tr+1为有理项，当且仅当Z，且0≤r≤8，即r=0，2，4，6，8，‎ ‎∴展开式中共有5个有理项；‎ ‎（2）设展开式中第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值分别为，‎ 若第r+1项的系数绝对值最大，则，解得5≤r≤6，‎ 又∵r∈Z，‎ ‎∴r=5或6．‎ ‎∵r=5时，第6项的系数为负，r=6时，第7项的系数为正，‎ ‎∴系数最小的项为．‎ ‎　‎ ‎19．某校高二（22）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：‎ 试根据图表中的信息解答下列问题：‎ ‎（I）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；‎ ‎（II）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3份进行交流，若在交流的试卷中，成绩位于[70，80）分数段的份数为ξ，求ξ的分布列．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（I）由茎叶图中的数据求出分数在[50，60）上的频数、频率，求出样本容量，‎ 再计算分数在[70，80）上的频数值；‎ ‎（II）按分层抽样原理，利用抽样数之比等于相应频率之比，‎ 求出各分数段抽取的人数，得ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列．‎ ‎【解答】解：（I）由茎叶图可知，分数在[50，60）上的频数为4人，‎ 频率为0.008×10=0.08，‎ 参赛人数为=50人，‎ 分数在[70，80）上的频数为 ‎50﹣（4+14+8+4）=20人；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（II）按分层抽样的原理，三个分数段抽样数之比等于相应频率之比，‎ 又[70，80），[80，90）和[90，100]分数段频率之比等于5：2：1，‎ 由此可抽出样本中分数在[70，80）的有5人，‎ 分数在[80，90）的有2人，分数在[90，100]的有1人；‎ 根据题意知ξ=0，1，2，3；‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 分布列如下：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p ‎﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎20．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．‎ ‎（1）求证：AD⊥BM；‎ ‎（2）求DC与平面ADM所成的角的正弦值；‎ ‎（3）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】（1）先证明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，证明BM⊥平面ADM，从而可得AD⊥BM；‎ ‎（2）以M为坐标原点，MA为x轴，MB为y轴，建立空间直角坐标系，求出面ADM的法向量，利用向量的夹角公式，即可求DC与平面ADM所成的角的正弦值；‎ ‎（3）求出面AMD的法向量、面AEM的法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角E﹣AM﹣D的余弦值为，即可得出结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，‎ ‎∴AM=BM=，‎ ‎∴BM⊥AM，‎ ‎∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM ‎∴BM⊥平面ADM ‎∵AD⊂平面ADM ‎∴AD⊥BM…‎ ‎（2）解：以M为坐标原点，MA为x轴，MB为y轴，建立空间直角坐标系，‎ 则D 面ADM的法向量为；设DC与面ADM所成的角为θ．‎ ‎∴，‎ ‎∴DC与面ADM所成的角的正弦值为．…‎ ‎（3）解：同（2）中建立空间直角坐标系 面AMD的法向量为 设==‎ 设面AEM的法向量为，‎ ‎∴‎ 令，∴…‎ 由题意解得：‎ 即E在DB中点时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为…‎ ‎　‎ ‎21．如图，椭圆C：（a＞b＞0）的离心率是，点E（，）在椭圆上，设点A1，B1分别是椭圆的右顶点和上顶点，过点A1，B1引椭圆C的两条弦A1E、B1F．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）若直线A1E与B1F的斜率是互为相反数．‎ ‎（i）直线EF的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由；‎ ‎（ii）设△A1EF、△B1EF的面积分别为S1和S2，求S1+S2的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率是，点E（，）在椭圆上，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）（i）求出A1（2，0），B1（0，1），从而得到=﹣， =，进而求出直线B1F，与椭圆联立，求出F，由此能求出直线EF的斜率为定值．‎ ‎（ii）求出直线EF和方程和|EF|，再分别求出点A1（2，0）到直线EF的距离和点B1（0，1）到直线EF的距离，由此能求出S1+S2．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：（a＞b＞0）的离心率是，点E（，‎ ‎）在椭圆上，‎ ‎∴，解得a=2，b=1，‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）（i）∵E（，）在椭圆上，点A1，B1分别是椭圆的右顶点和上顶点，过点A1，B1引椭圆C的两条弦A1E、B1F．‎ ‎∴A1（2，0），B1（0，1），∴==﹣，∴=，‎ ‎∴直线B1F：，即y=+1，‎ 联立，消去y，并整理，得x2+x=0，‎ 解得x=0或x=﹣1，∴或，‎ ‎∴F（﹣1，﹣），‎ ‎∴kEF==，‎ ‎∴直线EF的斜率为定值．‎ ‎（ii）直线EF：y﹣=（x﹣），即x﹣2y﹣=0，‎ ‎|EF|==，‎ 点A1（2，0）到直线x﹣2y﹣=0的距离d1==，‎ 点B1（0，1）到直线x﹣2y﹣=0的距离d2==，‎ ‎∵△A1EF、△B1EF的面积分别为S1和S2，‎ ‎∴S1+S2===．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．‎ ‎（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎（2）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）消去直线l的参数可得普通方程，利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入化解可得曲线C直角坐标方程．‎ ‎（2）利用直线参数方程的几何意义和韦达定理求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）直线l的参数方程：（t为参数），消去参数t，可得x﹣y=2．‎ ‎∴直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．‎ 曲线C：ρsin2θ=4cosθ，‎ 可得（ρsinθ）2=4ρcosθ，‎ 根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，‎ 可得y2=4x ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．‎ ‎（2）直线l的参数方程（t为参数）代入y2=4x，‎ 得到t2﹣12t+48=0，‎ 得M，N对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1+t2=12，t1t2=48＞0．‎ ‎∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12．‎ 另解：由联立解得：．‎ 由两点间距离公式，得：|PM|+|PN|=12．‎ ‎　‎ ‎2017年4月18日