江西省萍乡市上栗县上栗中学2020届高三第二次模拟考试数学（理科）试题 25页

数学（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.‎ 考生注意：‎ ‎1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.‎ ‎2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.‎ ‎3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.‎ 第Ⅰ卷（选择题60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数z满足，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ）‎ A. B.1 C. D.2‎ ‎4.已知为抛物线C：（）上一点，抛物线C的焦点为F，则（ ）‎ A.2 B. C.3 D.‎ ‎5.将函数的图像向左平移个单位得到函数，则函数的图像大致为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎6.已知，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.若（）能被9整除，则的最小值为（ ）‎ А.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎8.第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质，其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱，它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知双曲线E：（，）的左右焦点分别为，，以原点O为圆心，为半径的圆与双曲线E的右支相交于A，B两点，若四边形为菱形，则双曲线E的离心率为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为，，，，则（ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎12.已知函数，，，，给出以下四个命题：①为偶函数；②为偶函数；的最小值为0；④有两个零点.其中真命题的是（ ）‎ A.②④ B.①③ C.①③④ D.①④‎ 第Ⅱ卷（非选择题90分）‎ 考生注意：‎ 本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，学生根据要求作答.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.已知向量，满足，，，则与的夹角为______.‎ ‎14.设x，y满足约束条件，则的最大值是______.‎ ‎15.如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为______.‎ ‎16.已知单调数列的前n项和为，若，则首项的取值范围是______.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.已知.‎ ‎（Ⅰ）求证：a，b，c成等差数列；‎ ‎（Ⅱ）若，，求a，c的值 ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图所示的几何体中，四边形是矩形，四边形是梯形，，且，，平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，二面角为，求的值.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系中，已知椭圆C：（）的离心率为，左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，，的中点分别为E，F，的周长为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设的重心为G，若，求直线l的方程.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 己知函数（）.‎ ‎（Ⅰ）若，求的单调性和极值 ‎（Ⅱ）若函数至少有1个零点，求a的取值范围.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发球权.每一局中，获胜规则如下：①率先得到21分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出现，需要领先对方2分才算该局获胜；③如果双方得分出现，先取得30分的一方该局获胜.现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为p；乙发球时，甲得分的概率为q.‎ ‎（Ⅰ）若，记“甲以（，）赢一局”的概率为，试比较与的大小；‎ ‎（Ⅱ）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如右列联表部分数据，若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为p，q的值.‎ ‎①完成列联表，并判断是否有的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？‎ 甲得分 乙得分 总计 甲发球 ‎50‎ ‎100‎ 乙发球 ‎60‎ ‎90‎ 总计 ‎190‎ ‎②已知在某局比赛中，双方战成，且轮到乙发球，记双方再战X回合此局比赛结束，求X的分布列与期望.‎ 参考公式：，其中.‎ 临界值表供参考：‎ P（）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中，曲线E的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，（），交曲线E于点A，B，交曲线E于点C，D.‎ ‎（Ⅰ）求曲线E的普通方程及极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 已知函数的最大值为m.‎ ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c为正数，且，求证：.‎ 理科数学答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.‎ 考生注意：‎ ‎1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.‎ ‎2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.‎ ‎3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.‎ 第Ⅰ卷（选择题60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（C）‎ A. B. C. D.‎ 解：，，故选C.‎ ‎2.已知复数z满足，则（D）‎ A. B. C. D.‎ 解：，故选D.‎ ‎3.已知等比数列的前n项和为，且，，则（A）‎ A. B.1 C. D.2‎ 解：法一：依题意知，，两式相除得，解得，，故选A.‎ 法二：依题意得，，，故选A ‎4.已知为抛物线C：（）上一点，抛物线C的焦点为F，则（B）‎ A.2 B. C.3 D.‎ 解：将代入抛物线C的方程，可得，则，故选B ‎5.将函数的图像向左平移个单位得到函数，则函数的图像大致为（D）‎ A. B.‎ C. D.‎ 解：依题意得，则，，，显然该函数为奇函数，且当时，，故选D.‎ ‎6.已知，则下列结论正确的是（C）‎ A. B. C. D.‎ 解：法一：对于选项A：，错误；对于选项B：，，错误；对于选项C：‎ ‎，在上单调递减，由得，；，在上单调递增，由得，；，正确；故选C.‎ 法二：取，，则，，显然，故A选项错误：，，显然，故B选项错误：，，显然，故C选项正确；，，显然，故D选项错误；故选C.‎ ‎7.若（）能被9整除，则的最小值为（B）‎ А.3 B.4 C.5 D.6‎ 解：，其中能被9整除，能被9整除，则当时，最小，且能被9整除，故选B.‎ ‎8.第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质，其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱，它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（C）‎ A. B. C. D.‎ 解：依题意得“斗冠”的高为米，如图，，，为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，‎ ‎，，，，，故选C.‎ ‎9.已知双曲线E：（，）的左右焦点分别为，，以原点O为圆心，为半径的圆与双曲线E的右支相交于A，B两点，若四边形为菱形，则双曲线E的离心率为（A）‎ A. B.‎ C. D.‎ 解：如图，∵四边形为菱形，，又是圆O的直径，，，，故选A.‎ ‎10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（D）‎ A. B. C. D.‎ 解：依题意得所拨数字共有种可能，若上珠拨的是千位档或百位档，则有种；若上珠拨的是个位档或十位档，则有种，则所拨数字大于200的概率为，故选D.‎ ‎11.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为，，，，则（B）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解：正n边形的中心运动轨迹是由n段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为，每段圆弧的半径r为顶点到中心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长，圆的中心运动轨迹长也为，依题意得边长均为1的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足，，故选B.‎ ‎12.已知函数，，，‎ ‎，给出以下四个命题：①为偶函数；②为偶函数；的最小值为0；④有两个零点.其中真命题的是（C）‎ A.②④ B.①③ C.①③④ D.①④‎ 解：，，为偶函数，①正确；‎ 的定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，②错误；‎ ‎，∴当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，.考查函数，令，，则或，当时，单调递增，单调递减，单调递减；当时，单调递增，单调递增，单调递增，时，，又为偶函数，时，，③正确，考查函数，令得，，，又，，直线与函数恰有两个交点，故有两个零点，④正确.故选C.‎ 第Ⅱ卷（非选择题90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，学生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知向量，满足，，，则与的夹角为.‎ 解：，，，，与的夹角为.‎ ‎14.设x，y满足约束条件，则的最大值是.‎ 解：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过时取得最大值，即，‎ ‎15.如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为.‎ 解：设O为正方形的中心，的中点为M，连接，，，则，，，如图，在截面中，设N为球与平面的切点，则N在上，且，设球的半径为R，则，，，则，，，设球与球相切于点Q，则，设球的半径为r，同理可得，，故小球的体积.‎ ‎16.已知单调数列的前n项和为，若，则首项的取值范围是.‎ 解：当时，，，当时，，，两式相减得①.，，‎ 当时，②，①②得，‎ 数列从第2项起，偶数项成公差为2的等差数列，从第3项起，奇数项成公差为2的等差数列，‎ 数列单调递增，则满足，，解得.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.已知.‎ ‎（Ⅰ）求证：a，b，c成等差数列；‎ ‎（Ⅱ）若，，求a，c的值 解：（Ⅰ）证明：，‎ ‎，‎ ‎，即 由正弦定理得，即a，b，c成等差数列 ‎（Ⅱ），B为锐角，‎ ‎，，‎ 由余弦定理得，即 由得，‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图所示的几何体中，四边形是矩形，四边形是梯形，，且，，平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，二面角为，求的值.‎ 解：（Ⅰ）取的中点E，连接，，，‎ 是矩形，，又平面平面，平面 又平面，‎ 又，平面，，平面 ‎，且，，四边形为平行四边形，‎ ‎，四边形为平行四边形，‎ 平面，又平面，平面平面 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，以E为原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ 设，，，，，则，，，，‎ 易知平面的一个法向量为 设为平面的法向量，由得，‎ 令，得 ‎，解得，‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系中，已知椭圆C：（）的离心率为，左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，，的中点分别为E，F，的周长为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设的重心为G，若，求直线l的方程.‎ 解：（Ⅰ），‎ 连接，，，O分别为，的中点，，，‎ 同理，‎ 的周长为，，‎ 又，.椭圆C的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）过点且斜率不为0，可设l的方程为，设，，‎ 由得 ‎，‎ ‎，又，，即 令，解得 直线l的方程为或 ‎20.（本小题满分12分）‎ 己知函数（）.‎ ‎（Ⅰ）若，求的单调性和极值 ‎（Ⅱ）若函数至少有1个零点，求a的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）法一：当时，，‎ 当时，，，，‎ 当时，，，‎ 在上单调递减，在上单调递增.‎ 在处取得极小值，极小值为，无极大值.‎ 法二：当时，，‎ 在上单调递增，且，‎ 当时，；当时，‎ 在上单调递减，在上单调递增 在处取得极小值，极小值为，无极大值 ‎（Ⅱ），由得 令，则 由得.‎ 令，当时，，在单调递增，‎ ‎，，存在，使得 且当时，，即，当时，，即 ‎，，当时，；当时，，‎ 在上单调递减，在上单调递增 在处取得最小值 ‎，，即，‎ ‎，即 当时，函数无零点，‎ 当时，，函数至少有1个零点，‎ 故a的取值范围是 ‎21.（本小题满分12分）‎ 羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发球权.每一局中，获胜规则如下：①率先得到21分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出现 ‎，需要领先对方2分才算该局获胜；③如果双方得分出现，先取得30分的一方该局获胜.现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为p；乙发球时，甲得分的概率为q.‎ ‎（Ⅰ）若，记“甲以（，）赢一局”的概率为，试比较与的大小；‎ ‎（Ⅱ）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如右列联表部分数据，若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为p，q的值.‎ ‎①完成列联表，并判断是否有的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？‎ 甲得分 乙得分 总计 甲发球 ‎50‎ ‎100‎ 乙发球 ‎60‎ ‎90‎ 总计 ‎190‎ ‎②已知在某局比赛中，双方战成，且轮到乙发球，记双方再战X回合此局比赛结束，求X的分布列与期望.‎ 参考公式：，其中.‎ 临界值表供参考：‎ P（）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 解：（Ⅰ）甲以（，）获胜，则在这个回合的争夺中，前个回合里，甲赢下20个回合，输掉i个回合，且最后一个回合必需获胜.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（Ⅱ）①列联表如 甲得分 乙得分 总计 甲发球 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 乙发球 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 总计 ‎110‎ ‎80‎ ‎190‎ ‎，有的把握认为“比赛得分与接、发球有关”‎ ‎②由列联表知，，此局比赛结束，比分可能是，，，‎ ‎，4，5‎ 若比分为，则甲获胜概率为，乙获胜概率为，，‎ 若比分为，则甲获胜的情况可能为：甲乙甲甲，乙甲甲甲，其概率，‎ 乙获胜的情况可能为：甲乙乙乙，乙甲乙乙，其概率，‎ ‎，‎ 若比分为，则，‎ X的分布列为 X ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ P 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中，曲线E的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，（），交曲线E于点A，B，交曲线E于点C，D.‎ ‎（Ⅰ）求曲线E的普通方程及极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ 解：（Ⅰ）由E的参数方程（为参数），知曲线E是以为圆心，半径为2的圆，‎ 曲线E的普通方程为 令，得，‎ 即曲线E极坐标方程为 ‎（Ⅱ）依题意得，根据勾股定理，，‎ 分将，代入中，得，‎ 设点A，B，C，D所对应的极径分别为，，，，则，，‎ ‎，‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 已知函数的最大值为m ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c为正数，且，求证：.‎ 解：（Ⅰ）的定义域为，‎ ‎，‎ 当且仅当，即或时取等号 ‎，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ‎，，‎ 相加得，当且仅当时取等号.‎