数学理卷·2019届江苏省东台市创新学校高二11月月考（2017-11） 9页

‎2017-2018学年度第一学期 ‎ 2016级数学(理科）11月份检测试卷 ‎（考试时间：120分钟 满分：160分）‎ 命题人：石磊岩 命题时间：2017.11.23‎ 一、 填空题题5分共70分 ‎1．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＜‎0”‎的否定是　 　．‎ ‎2．椭圆+=1的一个焦点为（0，1）则m=　 　．‎ ‎3．双曲线的离心率为　 　．‎ ‎4．准线方程x=﹣1的抛物线的标准方程为　 　．‎ ‎5．以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为　 　．‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是　 　．‎ ‎7．已知抛物线方程为，则其准线方程为　 　．‎ ‎8．已知A、B、C三点不共线，O为平面ABC外的一点，=++（λ∈R）确定的点P与A、B、C四点共面，则λ的值为　 　．‎ ‎9．已知向量，且，则y=　 　．‎ ‎10．向量=（0，1，0）与=（﹣3，2，）的夹角的余弦值为　 　．‎ ‎11．已知，，•=12，则在方向上的投影为　 　．‎ ‎12．设二面角α﹣CD﹣β的大小为45°，A点在平面α内，B点在CD上，且∠ABC=45°，则AB与平面β所成角的大小为　 　．‎ ‎13．已知F是抛物线x2=4y的焦点，P是抛物线上的一个动点，且A的坐标为 ‎（0，﹣1），则的最小值等于　 　．‎ ‎14．过抛物线x2=4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则•+•的最大值等于　 　．‎ 二、解答题 ‎ 15．(14分)已知函数f（x）=x3+x﹣16．‎ ‎（1）求满足斜率为4的曲线的切线方程；‎ ‎（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程．‎ ‎16．(14分)某河上有座抛物线形拱桥，当水面距顶‎5m时，水面宽为‎8m，一木船宽‎4m高‎2m，载货后木船露在水面上的部分高为m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？‎ ‎17．(14分)已知向量=（x，1，2），=（1，y，﹣2），=（3，1，z），∥，⊥．‎ ‎（1）求向量，，；‎ ‎（2）求向量（+）与（+）所成角的余弦值．‎ ‎18．(16分)已知椭圆E：上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为，点是右准线上任意一点，过作直线的垂线交椭圆于点．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；‎ ‎（3）证明：直线与椭圆E只有一个公共点．‎ ‎ ‎ ‎19．(16分)如图，在直三棱柱A1B‎1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．‎ ‎（1）求证：A1B∥面ADC1； ‎ ‎（2）求直线B‎1C1与平面ADC1所成角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎20．(16分)如图，在平行六面体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．‎ ‎（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2017-2018学年度第一学期 ‎ 2016级数学（理科）11月份检测试卷参考答案 一：填空题 1. ‎∃x∈R，x2﹣x+1≥0 2. 3 3. 4. y2=4x 5.y2=16x ‎ ‎6. 2 7。y=1 8 - 9. -4 10. 11. ‎ ‎12. 30° 13. 14. ﹣16．‎ 二：解答题 ‎15：解：（1）设切点坐标为（x0，y0），‎ 函数f（x）=x3+x﹣16的导数为f′（x）=3x2+1，‎ 由已知得f′（x0）=k切=4，即，解得x0=1或﹣1，‎ 切点为（1，﹣14）时，切线方程为：y+14=4（x﹣1），即4x﹣y﹣18=0；‎ 切点为（﹣1，﹣18）时，切线方程为：y+18=4（x+1），即4x﹣y﹣14=0；…（7分）‎ ‎（2）设切点坐标为（x0，y0），‎ 由已知得f'（x0）=k切=，且，‎ 切线方程为：y﹣y0=k（x﹣x0），‎ 即，‎ 将（0，0）代入得x0=﹣2，y0=﹣26，‎ 求得切线方程为：y+26=13（x+2），即13x﹣y=0．…（14分）‎ ‎16：解：如图所示建立直角坐标系xOy，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），过点（4，﹣5），‎ ‎∴16=﹣2p（﹣5），∴2p=，‎ ‎∴抛物线方程为x2=﹣y，x=2时，y=﹣，‎ ‎∴相距为+=2时不能通行．…（14分）‎ ‎17：解：（1）∵向量=（x，1，2），=（1，y，﹣2），=（3，1，z），‎ 且∥，⊥，‎ ‎∴，‎ 解得x=﹣1，y=﹣1，z=1；‎ ‎∴向量=（﹣1，1，2），=（1，﹣1，﹣2），=（3，1，1）；‎ ‎（2）∵向量（+）=（2，2，3），（+）=（4，0，﹣1），‎ ‎∴（+）•（+）=2×4+2×0+3×（﹣1）=5，‎ ‎|+|==，‎ ‎|+|==；‎ ‎∴（+）与（+）所成角的余弦值为 cosθ===．‎ ‎18：解：（1）由题，，又因为从而得，‎ 所以椭圆E：……………………………………………………………………… 4分 ‎(2)设，，‎ 因为，所以，‎ 所以 又因为且代入化简得……10分 ‎(3)由(2)知，直线的方程为，即，‎ 由得，化简得:，‎ 解得，所以直线与椭圆只有一个交点．………………………… 16分 ‎19：（1）证明：如图，以{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，‎ 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），B1（2，0，4），C1（0，2，4）‎ ‎∴，，，‎ 设平面ADC1的法向量为，由 ‎∴取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为 由此可得，‎ 又A1B⊄平面ADC1，‎ ‎∴A1B∥面ADC1．‎ ‎（2）解：，设直线B‎1C1与平面ADC1所成角为θ，则，‎ 又θ为锐角，‎ ‎∴直线B‎1C1与平面ADC1所成角的余弦值为．‎ ‎20：解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，‎ ‎∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，‎ ‎∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，‎ 以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．‎ ‎∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，‎ ‎∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），‎ D（0，2，0），‎ A1（0，0，），C1（）．‎ ‎=（），=（），，．‎ ‎（1）∵cos＜＞==．‎ ‎∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；‎ ‎（2）设平面BA1D的一个法向量为，‎ 由，得，取x=，得；‎ 取平面A1AD的一个法向量为．‎ ‎∴cos＜＞==．‎ ‎∴二面角B﹣A1D﹣A的余弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．‎